📌 Exercice 16 ★★
Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) les systèmes suivants :
1) \(\begin{cases} 3x - 2y = 8 \\ 2x + 5y = -1 \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} 4x - 6y = 10 \\ -2x + 3y = 7 \end{cases}\)
3) \(\begin{cases} x - 3y = 2 \\ 2x + y = -1 \end{cases}\)
4) \(\begin{cases} x + y = 2 \\ 3x - y = 1 \end{cases}\)
5) \(\begin{cases} x - 3y = 2 \\ -x + 3y = -2 \end{cases}\)
6) \(\begin{cases} x + y = 4 \\ \sqrt{2}x - y = 1 \\ x + \sqrt{2}y = 5 \end{cases}\)
7) \(\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x - y = 3 \\ 3x + y = 8 \end{cases}\)
8) \(\begin{cases} 3x + 5y = 1 \\ 2x - 5y = 9 \\ x + \frac{y}{2} = 1 \end{cases}\)
📌 Exercice 17 ★★
1) Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système :
\(\begin{cases} 2x + y = 1 \\ 3x + y = 5 \end{cases}\)
2) En déduire les solutions des systèmes suivants :
a) \(\begin{cases} 2|x| + |y| = 1 \\ 3|x| + |y| = 5 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 5 \end{cases}\)
c) \(\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 1 \\ 3x^2 + y^2 = 5 \end{cases}\)
📌 Exercice 18 ★★
Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) les systèmes suivants :
1) \(\begin{cases} 4\sqrt{x} - 3y = 1 \\ 9\sqrt{x} - 5y = 3 \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} 2|x| - (\sqrt{3} - 1)y = 2 \\ |x| + (\sqrt{3} + 1)y = -\sqrt{3} - 1 \end{cases}\)
3) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 8 \\ 2x^2 - 3y^2 = 1 \end{cases}\)
4) \(\begin{cases} \frac{3}{x+1} - 5y^2 + 7 = 0 \\ \frac{4}{x+1} + 3y^2 - 10 = 0 \end{cases}\)
📌 Exercice 19 ★★ Système avec 3 équations pour 2 inconnues
On considère dans \(\mathbb{R}^2\) le système suivant \((S)\) :
\(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}\)
1) Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système \((S_1)\) :
\(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -7 \end{cases}\)
2) Montrer que le couple solution \((x; y)\) du système \((S_1)\) vérifie l'équation : \(3x - 2y = 0\).
3) En déduire les solutions du système \((S)\).
📌 Exercice 21 ★ Système 3×3
Résoudre dans \(\mathbb{R}^3\) le système suivant :
\(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - 3z = -4 \end{cases}\)
a) Montrer que le système (S) est équivalent au système (S') :
\(\begin{cases} x = -y - z + 6 \\ 3y + z = 9 \\ y - 4z = -10 \end{cases}\)
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système (E) :
\(\begin{cases} 3y + z = 9 \\ y - 4z = -10 \end{cases}\)
c) En déduire l'ensemble des solutions du système (S).
📌 Exercice 22 ★ La forme canonique du trinôme \(x^2 + bx + c\)
1) Montrer que pour tout réel \(b \neq 0\) :
\[ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \]
2) Compléter les égalités suivantes :
a) \(x^2 + 2x = (x + \ldots)^2 - \ldots\)
b) \(x^2 - 5x = (x - \ldots)^2 - \ldots\)
c) \(x^2 - \frac{1}{3}x = (x - \ldots)^2 - \ldots\)
3) En déduire la forme canonique des trinômes suivants :
a) \(x^2 + 2x - 8\)
b) \(x^2 - 5x + \frac{1}{2}\)
c) \(x^2 + \frac{1}{3}x + 1\)