📐 TRIGONOMÉTRIE : FORMULAIRE
Tronc commun Sciences BIOF
🔹 Angles associés
\(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)\)
\(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)\)
\(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\)
\(\sin(\pi - x) = \sin(x)\)
\(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\)
\(\sin(\pi + x) = -\sin(x)\)
\(\cos(-x) = \cos(x)\)
\(\sin(-x) = -\sin(x)\)
🔹 Relations entre cos, sin et tan
\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)
\(1 + \tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}\)
🔹 Formules d'addition
\(\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\)
\(\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)\)
\(\tan(a - b) = \dfrac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}\)
+ Formules avec +
\(\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\)
\(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\)
\(\tan(a + b) = \dfrac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}\)
🔹 Formules de duplication
\(\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)\)
\(\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1\)
\(\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a)\)
\(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\)
\(\tan(2a) = \dfrac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}\)
Formules de triplication
\(\cos(3a) = 4\cos^3(a) - 3\cos(a)\)
\(\sin(3a) = 3\sin(a) - 4\sin^3(a)\)
\(\tan(3a) = \dfrac{3\tan(a) - \tan^3(a)}{1 - 3\tan^2(a)}\)
🔹 Formules de linéarisation
\(\cos^2(a) = \dfrac{1 + \cos(2a)}{2}\)
\(\sin^2(a) = \dfrac{1 - \cos(2a)}{2}\)
\(\tan^2(a) = \dfrac{1 - \cos(2a)}{1 + \cos(2a)}\)
Pour le cube
\(\cos^3(a) = \dfrac{\cos(3a) + 3\cos(a)}{4}\)
\(\sin^3(a) = \dfrac{-\sin(3a) + 3\sin(a)}{4}\)
🔹 Transformation (produit → somme)
\(\cos(a)\cos(b) = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b) + \cos(a+b)\right]\)
\(\sin(a)\cos(b) = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a+b) + \sin(a-b)\right]\)
\(\sin(a)\sin(b) = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b) - \cos(a+b)\right]\)
🔹 Transformation (somme → produit)
\(\cos(p) + \cos(q) = 2\cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)
\(\cos(p) - \cos(q) = -2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)
\(\sin(p) + \sin(q) = 2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)
\(\sin(p) - \sin(q) = 2\cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)\)
🔹 Résolution d'équations trigonométriques
\(\cos(U) = \cos(V) \iff \begin{cases} U = V + 2k\pi \\ \text{ou} \\ U = -V + 2k\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})\)
\(\sin(U) = \sin(V) \iff \begin{cases} U = V + 2k\pi \\ \text{ou} \\ U = \pi - V + 2k\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})\)
\(\tan(U) = \tan(V) \iff U = V + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)
Cas particuliers
\(\cos(x) = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)
\(\sin(x) = 0 \iff x = k\pi\)
🔹 Expression avec \(t = \tan\left(\frac{a}{2}\right)\)
\(\cos(a) = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}\)
\(\sin(a) = \dfrac{2t}{1 + t^2}\)
\(\tan(a) = \dfrac{2t}{1 - t^2}\)
💡 Note : Les formules d'Euler et de Moivre permettent d'obtenir des extensions pour les puissances supérieures.
📐 Une bonne connaissance de ces formules est essentielle pour la résolution d'équations trigonométriques et l'étude des fonctions.
📐 Une bonne connaissance de ces formules est essentielle pour la résolution d'équations trigonométriques et l'étude des fonctions.