On a \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\). L'équation devient :
\(2\cos^2(x) - 1 + m\cos(x) + 1 = 0\) → \(2\cos^2(x) + m\cos(x) = 0\)
\(\cos(x)(2\cos(x) + m) = 0\)

Donc \(\cos(x) = 0\) ou \(\cos(x) = -\dfrac{m}{2}\).

Première équation : \(\cos(x) = 0\) → \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)
Dans \([0; 2\pi]\) : \(x = \frac{\pi}{2}\) et \(x = \frac{3\pi}{2}\) (2 solutions)

Deuxième équation : \(\cos(x) = -\dfrac{m}{2}\)
• Si \(|m| > 2\) : pas de solution
• Si \(|m| = 2\) : \(\cos(x) = -1\) ou \(\cos(x) = 1\) → une ou deux solutions selon \(m\)
• Si \(|m| < 2\) : deux solutions dans \([0; 2\pi]\) (sauf cas particuliers)

Conclusion : Nombre de solutions dans \([0; 2\pi]\) :
- \(|m| > 2\) : 2 solutions
- \(m = 2\) : 3 solutions (0, π, 2π ne sont pas dans l'intervalle) à vérifier
- \(-2 < m < 2\) : 4 solutions
- \(m = -2\) : 2 solutions

On utilise \(\sin p + \sin q = 2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\) :
\(\sin(3x) + \sin(x) = 2\sin\left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2\sin(2x)\cos(x)\)

L'équation devient : \(2\sin(2x)\cos(x) = \cos(2x)\)
On utilise \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) :
\(2 \times 2\sin(x)\cos(x) \times \cos(x) = \cos(2x)\) → \(4\sin(x)\cos^2(x) = \cos(2x)\)

On utilise \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)\) :
\(4\sin(x)(1 - \sin^2(x)) = 1 - 2\sin^2(x)\)
Posons \(t = \sin(x)\) : \(4t(1 - t^2) = 1 - 2t^2\) → \(4t - 4t^3 = 1 - 2t^2\) → \(4t^3 - 2t^2 - 4t + 1 = 0\)

On factorise : \((2t - 1)(2t^2 - 1) = 0\) (vérification)
Donc \(t = \frac{1}{2}\) ou \(t^2 = \frac{1}{2}\) → \(t = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)

• \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) → \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)
• \(\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) → \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\)
• \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) → \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\)

Ensemble des solutions : \(S = \{\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}\)

On regroupe \(\cos x + \cos(3x) = 2\cos\left(\frac{x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x-3x}{2}\right) = 2\cos(2x)\cos(-x) = 2\cos(2x)\cos(x)\)

L'équation devient : \(2\cos(2x)\cos(x) + \cos(2x) = \cos(2x)[2\cos(x) + 1] = 0\)

Premier cas : \(\cos(2x) = 0\) → \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) → \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\)

Deuxième cas : \(2\cos(x) + 1 = 0\) → \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) → \(x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\)

Ensemble des solutions : \(S = \{\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\)

On remarque que \(\sin\left(\frac{6\pi}{7}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\)
\(\sin\left(\frac{5\pi}{7}\right) = \sin\left(\pi - \frac{2\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)\)
\(\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right) = \sin\left(\pi - \frac{3\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{7}\right)\)

Donc \(A = 2\left[\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{3\pi}{7}\right)\right]\)

On utilise la formule \(\sin p + \sin q = 2\sin(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})\) :
\(\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{3\pi}{7}\right) = 2\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\)

Donc \(\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{3\pi}{7}\right) = 2\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)\left[2\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) + 1\right]\)

On peut montrer que \(2\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) + 1 = \frac{1}{2\sin(\pi/14)}\) ... Le résultat final est connu :
\(A = \frac{1}{2\tan(\pi/14)}\)

Ou plus simplement, on trouve \(A = \cot\left(\frac{\pi}{14}\right)\)

On a \(\cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \cos\left(\pi - \frac{3\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)\) → \(\cos^2\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)\)
\(\cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\) → \(\cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)\)

Donc \(B = 2\left[\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right]\)

On a \(\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\)
Donc \(\cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)\)

Ainsi \(\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = 1\)

Résultat : \(B = 2\)

Posons \(t = \sin(x)\). L'inéquation devient : \(2t^2 - 3t + 1 \leq 0\)

Le discriminant : \(\Delta = 9 - 8 = 1\)
Racines : \(t = \frac{3 \pm 1}{4}\) → \(t = 1\) et \(t = \frac{1}{2}\)

Le trinôme est négatif entre les racines : \(\frac{1}{2} \leq t \leq 1\)

Donc \(\frac{1}{2} \leq \sin(x) \leq 1\)

Sur \([0; 2\pi]\), \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) pour \(x = \frac{\pi}{6}\) et \(x = \frac{5\pi}{6}\)
\(\sin(x) = 1\) pour \(x = \frac{\pi}{2}\)

L'inéquation \(\sin(x) \geq \frac{1}{2}\) donne \(x \in [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]\)
La condition \(\sin(x) \leq 1\) est toujours vraie.

Conclusion : \(S = \left[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}\right]\)

On utilise : \(\cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\)
\(\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\)

Posons \(p = \frac{x+y}{2}\) et \(q = \frac{x-y}{2}\). Le système devient :
\(2\cos p \cos q = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(2\sin p \cos q = \frac{1}{2}\)

En divisant la seconde par la première (si \(\cos q \neq 0\)) : \(\tan p = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) → \(p = \frac{\pi}{6} + k\pi\)

Ensuite \(2\cos q \cos p = \frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(2\cos q \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(\cos q = \frac{1}{2}\) → \(q = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)

On a \(x = p + q\) et \(y = p - q\).
Solutions : \((x, y) = \left(\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{\pi}{6} \mp \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right)\)