Série d'exercices corrigés - Tronc commun Sciences BIOF
📌 Exercice 1 ★★★
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
1) \(\sin x = -\frac{1}{2}\)
2) \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
3) \(\sin(2x - \pi) = \sin x\)
4) \(\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}\)
5) \(\tan x = -\sqrt{3}\)
6) \(|\cos(2x)| = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
7) \(\cos^2 x = \sin^2 x\)
8) \(\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\)
✅ Corrigé détaillé
1) \(\sin x = -\frac{1}{2}\)
On sait que \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
Les solutions sont : \(x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\).
On sait que \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
Les solutions sont : \(x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\).
\(S = \left\{ -\frac{\pi}{6} + 2k\pi,\; \frac{7\pi}{6} + 2k\pi,\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
2 ) \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
On sait que \(\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Les solutions sont : \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\).
On sait que \(\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Les solutions sont : \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\).
\(S = \left\{ \frac{3\pi}{4} + 2k\pi,\; -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi,\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
3 ) \(\sin(2x - \pi) = \sin x\)
On utilise \(\sin(\theta - \pi) = -\sin\theta\) : \(\sin(2x - \pi) = -\sin(2x)\).
L'équation devient \(-\sin(2x) = \sin x\) → \(\sin(2x) + \sin x = 0\).
On utilise \(\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}\) :
\(2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0\).
Donc \(\sin\frac{3x}{2} = 0\) ou \(\cos\frac{x}{2} = 0\).
• \(\sin\frac{3x}{2} = 0\) → \(\frac{3x}{2} = k\pi\) → \(x = \frac{2k\pi}{3}\)
• \(\cos\frac{x}{2} = 0\) → \(\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi\) → \(x = \pi + 2k\pi\)
Les solutions \(x = \pi + 2k\pi\) sont déjà incluses dans \(x = \frac{2k\pi}{3}\) (pour \(k=3\)).
On utilise \(\sin(\theta - \pi) = -\sin\theta\) : \(\sin(2x - \pi) = -\sin(2x)\).
L'équation devient \(-\sin(2x) = \sin x\) → \(\sin(2x) + \sin x = 0\).
On utilise \(\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}\) :
\(2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0\).
Donc \(\sin\frac{3x}{2} = 0\) ou \(\cos\frac{x}{2} = 0\).
• \(\sin\frac{3x}{2} = 0\) → \(\frac{3x}{2} = k\pi\) → \(x = \frac{2k\pi}{3}\)
• \(\cos\frac{x}{2} = 0\) → \(\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi\) → \(x = \pi + 2k\pi\)
Les solutions \(x = \pi + 2k\pi\) sont déjà incluses dans \(x = \frac{2k\pi}{3}\) (pour \(k=3\)).
\(S = \left\{ \frac{2k\pi}{3},\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
4) \(\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}\)
On utilise \(\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x\). Donc \(\sin x = \frac{1}{2}\).
\(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) → \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\).
On utilise \(\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x\). Donc \(\sin x = \frac{1}{2}\).
\(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) → \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\).
\(S = \left\{ \frac{\pi}{6} + 2k\pi,\; \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
5 ) \(\tan x = -\sqrt{3}\)
\(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\). La période de tangente est \(\pi\).
\(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}\). La période de tangente est \(\pi\).
\(S = \left\{ -\frac{\pi}{3} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
6) \(|\cos(2x)| = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Équivaut à \(\cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ou \(\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
• \(\cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}\) → \(2x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) → \(x = \pm\frac{\pi}{12} + k\pi\)
• \(\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{5\pi}{6}\) → \(2x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) → \(x = \pm\frac{5\pi}{12} + k\pi\)
Équivaut à \(\cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) ou \(\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
• \(\cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}\) → \(2x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) → \(x = \pm\frac{\pi}{12} + k\pi\)
• \(\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{5\pi}{6}\) → \(2x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) → \(x = \pm\frac{5\pi}{12} + k\pi\)
\(S = \left\{ \pm\frac{\pi}{12} + k\pi,\; \pm\frac{5\pi}{12} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
7 ) \(\cos^2 x = \sin^2 x\)
Équivaut à \(\cos^2 x - \sin^2 x = 0\) → \(\cos 2x = 0\).
\(\cos 2x = 0\) → \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) → \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\).
Équivaut à \(\cos^2 x - \sin^2 x = 0\) → \(\cos 2x = 0\).
\(\cos 2x = 0\) → \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) → \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\).
\(S = \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
8 ) \(\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\)
On utilise \(\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\). L'équation devient \(\frac{1}{2}\sin 2x = \frac{1}{2}\) → \(\sin 2x = 1\).
\(\sin 2x = 1\) → \(2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) → \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\).
On utilise \(\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\). L'équation devient \(\frac{1}{2}\sin 2x = \frac{1}{2}\) → \(\sin 2x = 1\).
\(\sin 2x = 1\) → \(2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) → \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\).
\(S = \left\{ \frac{\pi}{4} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
📌 Exercice 2 ★★★
1) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \(2\cos x - 1 = 0\).
2) Déduire les solutions dans \([-\pi; 2\pi]\).
3) Représenter les solutions de \(2\cos x - 1 > 0\) sur le cercle trigonométrique.
4) Déduire les solutions dans \([-\pi; 2\pi]\).
5) Dresser le tableau de signe de \(2\cos x - 1\) sur \([-\pi; 2\pi]\).
6) Résoudre dans \([-\pi; 2\pi]\) : a) \(2\cos x \sin x - \sin x \leq 0\) b) \(2\cos^2 x - \cos x > 0\)
✅ Corrigé détaillé
1) \(2\cos x - 1 = 0\)
\(\cos x = \frac{1}{2}\). On sait \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\).
\(\cos x = \frac{1}{2}\). On sait \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\).
\(S = \left\{ \frac{\pi}{3} + 2k\pi,\; -\frac{\pi}{3} + 2k\pi,\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
2 ) Solutions dans \([-\pi; 2\pi]\)
Pour \(k=0\) : \(\frac{\pi}{3}\) et \(-\frac{\pi}{3}\)
Pour \(k=1\) : \(\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} > 2\pi\) (hors intervalle) ; \(-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\)
Pour \(k=-1\) : \(\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} < -\pi\) (hors intervalle) ; \(-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} < -\pi\)
Pour \(k=0\) : \(\frac{\pi}{3}\) et \(-\frac{\pi}{3}\)
Pour \(k=1\) : \(\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} > 2\pi\) (hors intervalle) ; \(-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\)
Pour \(k=-1\) : \(\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} < -\pi\) (hors intervalle) ; \(-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} < -\pi\)
\(S = \left\{ -\frac{\pi}{3},\; \frac{\pi}{3},\; \frac{5\pi}{3} \right\}\)
4) Solutions de \(2\cos x - 1 > 0\) dans \([-\pi; 2\pi]\)
\(\cos x > \frac{1}{2}\). Sur le cercle, c'est l'arc où l'abscisse > 1/2.
\(\cos x > \frac{1}{2}\). Sur le cercle, c'est l'arc où l'abscisse > 1/2.
\(S = \left]-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\right[ \cup \left]\frac{5\pi}{3}; 2\pi\right]\)
5 ) Tableau de signe
Les racines sont \(-\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{3}\).
\(2\cos x - 1\) est positif entre \(-\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{3}\) et après \(\frac{5\pi}{3}\), négatif ailleurs.
Les racines sont \(-\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{3}\).
\(2\cos x - 1\) est positif entre \(-\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{3}\) et après \(\frac{5\pi}{3}\), négatif ailleurs.
6) a - \(2\cos x \sin x - \sin x \leq 0\)
\(\sin x(2\cos x - 1) \leq 0\). Tableau de signes sur \([-\pi; 2\pi]\).
Racines : \(\sin x = 0\) → \(x = -\pi, 0, \pi, 2\pi\) ; \(2\cos x - 1 = 0\) → \(x = \pm\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\).
\(\sin x(2\cos x - 1) \leq 0\). Tableau de signes sur \([-\pi; 2\pi]\).
Racines : \(\sin x = 0\) → \(x = -\pi, 0, \pi, 2\pi\) ; \(2\cos x - 1 = 0\) → \(x = \pm\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\).
\(S = [-\pi; -\frac{\pi}{3}] \cup [0; \frac{\pi}{3}] \cup [\pi; \frac{5\pi}{3}]\)
6) b- \(2\cos^2 x - \cos x > 0\)
\(\cos x(2\cos x - 1) > 0\). Racines : \(\cos x = 0\) → \(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\) ; \(2\cos x - 1 = 0\) → \(x = \pm\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\).
\(\cos x(2\cos x - 1) > 0\). Racines : \(\cos x = 0\) → \(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\) ; \(2\cos x - 1 = 0\) → \(x = \pm\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\).
\(S = [-\pi; -\frac{\pi}{3}[ \cup ]-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}[ \cup ]\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}[ \cup ]\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{3}[\)
📌 Exercice 3 ★★★
1) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(2\sin x - \sqrt{3} = 0\).
2) Déduire les solutions dans \([0; 2\pi]\).
3) Représenter les solutions de \(2\sin x - \sqrt{3} > 0\) sur le cercle trigonométrique.
4) Déduire les solutions dans \([0; 2\pi]\).
5) Dresser le tableau de signe sur \([-\pi; 2\pi]\).
6) Résoudre dans \([0; 2\pi]\) : a) \(2\cos x \tan x + \tan x \leq 0\) b) \(2\cos^2 x + \cos x > 0\)
✅ Corrigé détaillé
1) \(2\sin x - \sqrt{3} = 0\)
\(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}\).
\(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}\).
\(S = \left\{ \frac{\pi}{3} + 2k\pi,\; \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
2) Solutions dans \([0; 2\pi]\)
Pour \(k=0\) : \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{2\pi}{3}\). Pour \(k=1\) : \(\frac{\pi}{3}+2\pi = \frac{7\pi}{3} > 2\pi\) (hors intervalle).
Pour \(k=0\) : \(\frac{\pi}{3}\) et \(\frac{2\pi}{3}\). Pour \(k=1\) : \(\frac{\pi}{3}+2\pi = \frac{7\pi}{3} > 2\pi\) (hors intervalle).
\(S = \left\{ \frac{\pi}{3},\; \frac{2\pi}{3} \right\}\)
4) Solutions de \(2\sin x - \sqrt{3} > 0\) dans \([0; 2\pi]\)
\(\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}\).
\(\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}\).
\(S = \left] \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3} \right[\)
6 ) a- \(2\cos x \tan x + \tan x \leq 0\)
\(\tan x(2\cos x + 1) \leq 0\). Domaine : \(x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\).
\(\tan x = 0\) → \(x = 0, \pi\) ; \(2\cos x + 1 = 0\) → \(\cos x = -\frac{1}{2}\) → \(x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\).
\(\tan x(2\cos x + 1) \leq 0\). Domaine : \(x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\).
\(\tan x = 0\) → \(x = 0, \pi\) ; \(2\cos x + 1 = 0\) → \(\cos x = -\frac{1}{2}\) → \(x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\).
\(S = [0; \frac{2\pi}{3}] \cup [\pi; \frac{4\pi}{3}]\)
6) b- \(2\cos^2 x + \cos x > 0\)
\(\cos x(2\cos x + 1) > 0\). Racines : \(\cos x = 0\) → \(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\) ; \(2\cos x + 1 = 0\) → \(\cos x = -\frac{1}{2}\) → \(x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\).
\(\cos x(2\cos x + 1) > 0\). Racines : \(\cos x = 0\) → \(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\) ; \(2\cos x + 1 = 0\) → \(\cos x = -\frac{1}{2}\) → \(x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\).
\(S = [0; \frac{\pi}{2}[ \cup ]\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}[ \cup ]\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\)
📌 Exercice 4 ★★★
1) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation :
\(4x^2 - 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})x - \sqrt{6} = 0\)
2) Déduire une factorisation du polynôme.
✅ Corrigé détaillé
1) Calcul du discriminant
\(\Delta = b^2 - 4ac = [ -2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) ]^2 - 4 \times 4 \times (-\sqrt{6})\)
\(= 4(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + 16\sqrt{6} = 4(2 + 3 - 2\sqrt{6}) + 16\sqrt{6}\)
\(= 4(5 - 2\sqrt{6}) + 16\sqrt{6} = 20 - 8\sqrt{6} + 16\sqrt{6} = 20 + 8\sqrt{6}\)
\(= 4(5 + 2\sqrt{6}) = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\)
Donc \(\sqrt{\Delta} = 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})\).
\(\Delta = b^2 - 4ac = [ -2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) ]^2 - 4 \times 4 \times (-\sqrt{6})\)
\(= 4(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + 16\sqrt{6} = 4(2 + 3 - 2\sqrt{6}) + 16\sqrt{6}\)
\(= 4(5 - 2\sqrt{6}) + 16\sqrt{6} = 20 - 8\sqrt{6} + 16\sqrt{6} = 20 + 8\sqrt{6}\)
\(= 4(5 + 2\sqrt{6}) = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\)
Donc \(\sqrt{\Delta} = 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})\).
2) Racines
\(x_1 = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{8} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{8} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(x_2 = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{8} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x_1 = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{8} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{8} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(x_2 = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + 2(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{8} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(S = \left\{ -\frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{\sqrt{2}}{2} \right\}\)
3 ) Factorisation
\(4x^2 - 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})x - \sqrt{6} = 4\left(x + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
📌 Exercice 5 ★★★★
Soit \(\alpha\) un réel tel que \(-\pi \leq \alpha < -\frac{\pi}{2}\) et \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\).
1) Représenter \(\alpha\) sur le cercle trigonométrique.
2) Déterminer le signe de \(\cos \alpha\) et \(\sin \alpha\).
3) Déterminer les valeurs de \(\cos \alpha\) et \(\sin \alpha\).
4) Déterminer \(\tan(\pi + \alpha)\) et \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\).
5) Résoudre dans \([-\pi; \frac{3\pi}{4}]\) l'équation \(\tan x = \frac{4}{3}\).
✅ Corrigé détaillé
1) \(\alpha \in [-\pi; -\frac{\pi}{2}[\) → 3ème quadrant (entre -180° et -90°).
2) Dans le 3ème quadrant : \(\cos \alpha < 0\) et \(\sin \alpha < 0\).
3) \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\). On a \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1+\tan^2 \alpha} = \frac{1}{1+\frac{16}{9}} = \frac{9}{25}\).
Donc \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\) et \(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{5}) = -\frac{4}{5}\).
Donc \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\) et \(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{5}) = -\frac{4}{5}\).
4 )\(\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha = \frac{4}{3}\).
\(\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha = -(-\frac{4}{5}) = \frac{4}{5}\).
\(\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin \alpha = -(-\frac{4}{5}) = \frac{4}{5}\).
5 )\(\tan x = \frac{4}{3}\) → \(x = \arctan(\frac{4}{3}) + k\pi\).
Dans \([-\pi; \frac{3\pi}{4}]\), les solutions sont \(x = \arctan(\frac{4}{3}) - \pi\) (car \(\arctan(4/3) \approx 0,927\) rad).
Dans \([-\pi; \frac{3\pi}{4}]\), les solutions sont \(x = \arctan(\frac{4}{3}) - \pi\) (car \(\arctan(4/3) \approx 0,927\) rad).
📌 Exercice 6 ★★★★
Soit \(x \in [0; \pi]\). On pose \(f(x) = \sin^2 x + 2\cos^2 x\).
1) Montrer que \(f(x) = 1 + \cos^2 x\).
2) Sachant \(\tan^2 x = \frac{\sqrt{5}+1}{2}\), montrer que \(f(x) = \frac{5-\sqrt{5}}{2}\).
3) Tableau de signe de \(A(x)=\cos x + \frac{1}{2}\) sur \([0;\pi]\).
4) Tableau de signe de \(B(x)=\tan x + 1\) sur \([0;\pi]\).
5) En déduire le signe de \((\tan x + 1)(\cos x + \frac{1}{2})\).
✅ Corrigé détaillé
1 ) \(f(x)=\sin^2 x + 2\cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + \cos^2 x = 1 + \cos^2 x\).
2 ) \(\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\) → \(\cos^2 x = \frac{1}{1+\tan^2 x}\).
\(\cos^2 x = \frac{1}{1+\frac{\sqrt{5}+1}{2}} = \frac{2}{3+\sqrt{5}}\). Après rationalisation : \(\cos^2 x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\).
\(f(x) = 1 + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{2}\).
\(\cos^2 x = \frac{1}{1+\frac{\sqrt{5}+1}{2}} = \frac{2}{3+\sqrt{5}}\). Après rationalisation : \(\cos^2 x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\).
\(f(x) = 1 + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{2}\).
3) \(A(x)=0\) → \(\cos x = -\frac{1}{2}\) → \(x = \frac{2\pi}{3}\).
Sur \([0;\pi]\), \(A(x) > 0\) pour \(x \in [0; \frac{2\pi}{3}[\) et \(A(x) < 0\) pour \(x \in ]\frac{2\pi}{3}; \pi]\).
Sur \([0;\pi]\), \(A(x) > 0\) pour \(x \in [0; \frac{2\pi}{3}[\) et \(A(x) < 0\) pour \(x \in ]\frac{2\pi}{3}; \pi]\).
4) \(B(x)=0\) → \(\tan x = -1\) → \(x = \frac{3\pi}{4}\).
Sur \([0;\pi]\), \(B(x) > 0\) pour \(x \in [0; \frac{\pi}{2}[ \cup ]\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}[\) et \(B(x) < 0\) pour \(x \in ]\frac{3\pi}{4}; \pi]\).
Sur \([0;\pi]\), \(B(x) > 0\) pour \(x \in [0; \frac{\pi}{2}[ \cup ]\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{4}[\) et \(B(x) < 0\) pour \(x \in ]\frac{3\pi}{4}; \pi]\).
📌 Exercice 7 ★★★★
Soit \(x \in \mathbb{R}\). On pose \(A(x) = \cos^2 x - \sin^2 x\).
1) Calculer \(A(0)\), \(A(\frac{\pi}{6})\), \(A(\frac{\pi}{4})\).
2) Calculer \(A(\frac{\pi}{4} + 3\pi)\).
3) On suppose \(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\).
a) Montrer que \(A(x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}\).
b) Résoudre \(A(x) = \frac{1}{2}\).
c) Résoudre \(A(x) < 0\).
✅ Corrigé détaillé
1 ) \(A(0)=1-0=1\) ; \(A(\frac{\pi}{6})=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\) ; \(A(\frac{\pi}{4})=0\).
2 ) \(A(\frac{\pi}{4}+3\pi)=\cos^2(\frac{\pi}{4}+3\pi)-\sin^2(\frac{\pi}{4}+3\pi)=\cos^2\frac{\pi}{4}-\sin^2\frac{\pi}{4}=0\).
3)a- \(A(x)=\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x}=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\).
3)b -\(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}=\frac{1}{2}\) → \(2-2\tan^2 x = 1+\tan^2 x\) → \(1=3\tan^2 x\) → \(\tan^2 x = \frac{1}{3}\) → \(\tan x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Sur \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\) : \(x = \pm\frac{\pi}{6}\).
Sur \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\) : \(x = \pm\frac{\pi}{6}\).
3) c - \(A(x)<0\) → \(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}<0\) → \(1-\tan^2 x<0\) → \(\tan^2 x > 1\) → \(|\tan x| > 1\).
Sur \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\) : \(x \in ]-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}[ \cup ]\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}[\).
Sur \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\) : \(x \in ]-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{4}[ \cup ]\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}[\).