📌 Exercice 01
Représenter sur le cercle trigonométrique les points suivants :
\(A(0)\)
\(B(\frac{\pi}{3})\)
\(C(\frac{\pi}{2})\)
\(D(-\frac{\pi}{3})\)
\(E(\pi + \frac{\pi}{3})\)
\(F(\pi - \frac{\pi}{3})\)
\(G(\frac{5\pi}{6})\)
\(H(2\pi)\)
\(K(103\pi)\)
📌 Exercice 02
1) Déterminer l'abscisse curviligne principale des points suivants :
\(A\left(\frac{15\pi}{6}\right)\)
\(B\left(-\frac{21\pi}{4}\right)\)
\(C\left(\frac{2017\pi}{3}\right)\)
\(D\left(\frac{253\pi}{12}\right)\)
\(E\left(-\frac{65\pi}{7}\right)\)
\(F\left(\frac{23\pi}{6}\right)\)
2) Donner tous les abscisses curvilignes du point \(M\left(-\frac{17\pi}{3}\right)\) dans l'intervalle \([- \frac{\pi}{2}, 3\pi]\).
📌 Exercice 03
Représenter sur le cercle trigonométrique les points \(M_k\) dont les abscisses curvilignes sont :
\[ -\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{tel que } k \in \mathbb{Z} \]
📌 Exercice 04
Soit \(ABCD\) un carré tel que \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]\).
Déterminer :
\((\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC})\)
\((\overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DA})\)
\((\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{DC})\)
\((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\)
📌 Exercice 05
(C) est un cercle trigonométrique de centre \(A\) et d'origine \(B\).
1) Représenter sur le cercle trigonométrique les points \(C, D, E\) et \(F\) tels que :
\((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) \equiv \frac{3\pi}{4} [2\pi]\)
\((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]\)
\((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AF}) \equiv -\frac{3\pi}{4} [2\pi]\)
\((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AE}) \equiv \frac{7\pi}{6} [2\pi]\)
2) Déterminer la mesure principale des mesures suivantes :
\((\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{AE})\)
\((\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{AC})\)
\((\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})\)
\((\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE})\)
📌 Exercice 06
On considère dans le plan les triangles \(ABC\) et \(BDC\) représentés dans la figure ci-contre.
Déterminer la mesure principale des mesures suivantes :
\((\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})\)
\((\overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DB})\)
\((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\)
\((\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{DB})\)
\((\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{DB})\)
📌 Exercice 07
Soit \(x\) un nombre réel.
1) Simplifier les expressions suivantes :
\(A(x) = 1 - (\cos x + \sin x)^2\)
\(B(x) = (\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2\)
\(C(x) = \cos^2 x - 2\sin^2 x - 1\)
\(D(x) = \cos^3 x \sin x + \sin^3 x \cos x\)
2) Calculer \(D(0), D(\frac{\pi}{2}), D(\pi)\) et \(D(17\pi)\).
📌 Exercice 08
Soit \(x\) un nombre réel. Simplifier les expressions suivantes :
\[ A(x) = \frac{\cos(\pi - x) - \sin(\pi - x)}{\cos(\pi - x) + \sin(\pi - x)} \times \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \]
\[ B(x) = \frac{\cos^3 x - \sin^3 x}{\cos x - \sin x} + \frac{\cos^3 x + \sin^3 x}{\cos x + \sin x} \]
📌 Exercice 09
Soit \(x \in [0, \frac{\pi}{2}[\). On pose \(A = \cos^2 x + 3\cos x \sin x - 2\sin^2 x\).
1) Montrer que : \(A = \cos^2 x \left(1 + 3\tan x - 2\tan^2 x\right)\).
2) Déterminer la valeur de \(A\) si \(\tan x = 1 + \sqrt{2}\).
📌 Exercice 10
Les questions de cet exercice sont indépendantes :
1) Soit \(x \in [0, \frac{\pi}{2}[\) tel que \(\sin x = \frac{2}{3}\). Calculer \(\cos x\) et \(\tan x\).
2) Soit \(x \in [-\frac{\pi}{2}, 0[\) tel que \(\cos x = \frac{1}{2}\). Calculer \(\sin x\) et \(\tan x\).
3) Sachant que \(\tan\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1\). Montrer que \(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\) puis calculer \(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\).
📌 Exercice 11
1) Écrire, en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\), les expressions suivantes :
\(A = \sin(-x) + \cos(-x) + \sin(\pi + x) + \cos(\pi - x)\)
\(B = \sin(x + 10\pi) - \cos(3\pi - x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\)
\(C = 4\sin(x + 7\pi) - 2\sin(13\pi - x) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)\)
\(D = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cos(\pi - x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \sin(\pi - x)\)
\(E = \cos^2(x + 111\pi) + \sin^2(9\pi - x) + \cos^2\left(x - \frac{9\pi}{2}\right)\)
2) Écrire, en fonction de \(\tan x\), les expressions suivantes :
\(F = \tan(5\pi + x) + \tan(5\pi - x) + \tan\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
\(G = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \tan(\pi - x) - \tan^2\left(x - \frac{9\pi}{2}\right)\)
📌 Exercice 12
Calculer les nombres suivants :
\[ A = \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{6\pi}{7}\right) \]
\[ B = \sin\left(\frac{11\pi}{26}\right) + \sin\left(\frac{3\pi}{26}\right) + \cos\left(\frac{12\pi}{13}\right) + \cos\left(\frac{8\pi}{13}\right) \]
\[ C = \cos\left(\frac{5\pi}{5}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) - 2\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{10}\right) \]
\[ D = \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{5\pi}{8}\right) + \cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right) \]
\[ E = \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) + \tan\left(\frac{2\pi}{5}\right) + \tan\left(\frac{3\pi}{5}\right) + \tan\left(\frac{4\pi}{5}\right) \]
📌 Exercice 13
Soit \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). On pose \(A(x) = \sin x(\cos^2 x - \sin^2 x)\).
① Calculer \(A(0), A(\frac{\pi}{4}), A(\frac{\pi}{3}), A(\frac{\pi}{6})\) et \(A(\frac{5\pi}{6})\).
② Montrer que pour tout \(x\) de \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) : \(A(\frac{\pi}{2} - x) = A(\frac{\pi}{2} + x)\).
📌 Exercice 14
Soit \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). On pose \(A(x) = \frac{1}{2}[(\cos 2x + \sin 2x)^2 - 1]\).
① Calculer \(A(\frac{\pi}{4})\) et \(A(-\frac{\pi}{8})\).
② Montrer que \(A(x) = \sin 2x \cos 2x\).
③ Montrer que \(A(-x) = -A(x)\).
④ Calculer \(A(x) + A(x + \frac{\pi}{4})\).
📌 Exercice 15
Soit \(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\). On pose :
\[ A = 2\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sqrt{3}\sin(\pi - x) + \cos(\pi - x) \]
\[ B = \sqrt{3}\cos^3 x + \sqrt{3}\cos x \sin^2 x + \sin x \]
① Montrer que \(A = \cos x + \sqrt{3}\sin x\) et \(B = \sqrt{3}\cos x + \sin x\).
② Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases} x + \sqrt{3}y = \sqrt{3} \\ \sqrt{3}x + y = 2 \end{cases}\)
③ Déterminer la valeur de \(x\) si \(A = \sqrt{3}\) et \(B = 2\).
📌 Exercice 16
① Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases} x + y = \frac{1}{2} \\ xy = -\frac{1}{4} \end{cases}\)
② En déduire la valeur de \(\cos(\frac{\pi}{5})\) et \(\cos(\frac{3\pi}{5})\) sachant que :
\[ \begin{cases} \cos(\frac{\pi}{5}) + \cos(\frac{3\pi}{5}) = \frac{1}{2} \\ \cos(\frac{\pi}{5}) \times \cos(\frac{3\pi}{5}) = -\frac{1}{4} \end{cases} \]
③ Montrer que : \(1 + 2\cos(\frac{2\pi}{5}) + 2\cos(\frac{4\pi}{5}) = 0\).
📌 Exercice 17
Résoudre dans \(]-\pi, \pi]\) les équations et les inéquations suivantes :
\(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(2\cos x + \sqrt{2} = 0\)
\(\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\)
\(\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(2\cos x + \sqrt{2} < 0\)
\(\cos(x + \frac{\pi}{4}) \ge \frac{1}{2}\)
📌 Exercice 18
Résoudre dans \(]0, 2\pi]\) les équations et les inéquations suivantes :
\(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(2\sin x + \sqrt{3} = 0\)
\(\sin x = \cos(\frac{\pi}{8})\)
\(\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(2\sin x + \sqrt{3} < 0\)
\(\sin x \ge \cos(\frac{\pi}{8})\)
📌 Exercice 19
Résoudre dans \(]-\pi, \pi]\) les équations et les inéquations suivantes :
\(\tan x = \sqrt{3}\)
\(\tan(x + \frac{\pi}{3}) + 1 = 0\)
\(\tan x \le \sqrt{3}\)
\(\tan(x + \frac{\pi}{3}) + 1 > 0\)
📌 Exercice 20
Soit \(x\) un nombre réel. On pose \(A(x) = 2\cos^2 x + \sin x - 1\).
① Calculer \(A(\frac{31\pi}{6})\).
② Vérifier que \(A(x) = (1 - \sin x)(1 + 2\sin x)\).
③ Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(A(x) = 0\).
📌 Exercice 21
Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle I :
(1) \(2\cos^2 x - \cos x = 0\) ; \(I = ]-\pi, \pi]\)
(2) \(\sin^2 x - 2\sin x = 0\) ; \(I = ]0, 2\pi]\)
(3) \(2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0\) ; \(I = ]-\pi, \pi]\)
(4) \(2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\) ; \(I = ]-2\pi, \pi]\)
(5) \(\tan^2 x - \sqrt{3}\tan x = 0\) ; \(I = ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\)
📌 Exercice 22
① a) Calculer \((\sqrt{3} - 1)^2\).
b) Résoudre dans \(]-\pi, \pi]\) : \(4\sin^2 x - 2(\sqrt{3} + 1)\sin x + \sqrt{3} = 0\).
c) Résoudre dans \(]-\pi, \pi]\) : \(4\sin^2 x - 2(\sqrt{3} + 1)\sin x + \sqrt{3} \le 0\).
② a) Calculer \((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\).
b) Résoudre dans \(]-\pi, \pi]\) : \(4\cos^2 x - 2(\sqrt{3} - \sqrt{2})\cos x - \sqrt{6} = 0\).
c) Résoudre dans \(]-\pi, \pi]\) : \(4\cos^2 x - 2(\sqrt{3} - \sqrt{2})\cos x - \sqrt{6} \ge 0\).
📌 Exercice 23
Soit \(ABC\) un triangle tel que : \(AB = \sqrt{3}\), \(AC = 2\), \(BC = \sqrt{2}\) et \(\widehat{BCA} = 3\).
① Calculer \(\sin \widehat{BAC}\), puis déduire la mesure de \(\widehat{BAC}\).
② Vérifier que \(\widehat{ABC} = \frac{5\pi}{12}\), puis calculer \(\sin(\frac{5\pi}{12})\).
③ En déduire que \(\cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\).
📌 Exercice 24
Soit \(ABC\) un triangle tel que : \(\widehat{BCA} = \frac{\pi}{4}\) et \(\widehat{BAC} = \frac{3\pi}{4}\) et \(BC = \sqrt{3}\).
① Calculer \(AB\).