Force électrostatique & Équilibre sur plan incliné (BIOF)
 

 Solide sur plan incliné avec ressort

📖 Énoncé

Un solide \(S\) de poids \(P = 10 \, \text{N}\) est posé sur une table inclinée d’un angle \(\alpha = 30^\circ\) sur l’horizontale. Le contact entre le solide et la table est supposé sans frottements. Le solide est maintenu en équilibre sur la table grâce à un ressort dont l’axe est parallèle à la table et de raideur \(k = 200 \, \text{N/m}\).

Calculer l’allongement \(\Delta l\) de ce ressort et déterminer la valeur de la réaction \(\vec{R}\) de la table sur le solide.

📝 Corrigé

1. Bilan des forces extérieures appliquées à \(S\) :

  • La tension \(\vec{T}\) du ressort, parallèle au plan incliné, dirigée vers le haut (car le ressort est étiré).
  • Le poids \(\vec{P}\), vertical, d'intensité \(P = 10 \, \text{N}\).
  • La réaction \(\vec{R}\) du plan incliné, perpendiculaire au plan (absence de frottement).

À l'équilibre, la somme vectorielle des forces est nulle :

\[ \vec{P} + \vec{T} + \vec{R} = \vec{0} \]
⚙️ Projection sur les axes

Choisissons un repère \((Ox)\) parallèle au plan incliné (vers le haut) et \((Oy)\) perpendiculaire au plan (vers le haut).

  • Sur \(Ox\) : \( T - P \sin \alpha = 0 \) → \( T = P \sin \alpha \)
  • Sur \(Oy\) : \( R - P \cos \alpha = 0 \) → \( R = P \cos \alpha \)

La tension du ressort est reliée à l'allongement \(\Delta l\) par la loi de Hooke : \( T = k \cdot \Delta l \).

\[ \Delta l = \frac{T}{k} = \frac{P \sin \alpha}{k} \]
🧮 Application numérique

Données : \( P = 10 \, \text{N} \), \( \alpha = 30^\circ \), \( k = 200 \, \text{N/m} \).

\[ \Delta l = \frac{10 \times \sin 30^\circ}{200} = \frac{10 \times 0{,}5}{200} = \frac{5}{200} = 0{,}025 \, \text{m} = 2{,}5 \, \text{cm} \]
\[ R = P \cos \alpha = 10 \times \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8{,}66 \, \text{N} \]

Réponses :
Allongement du ressort : \(\boxed{\Delta l = 2{,}5 \, \text{cm}}\)
Valeur de la réaction : \(\boxed{R \approx 8{,}66 \, \text{N}}\)

📐 Calcul de la réaction et de la tension

D'après les projections sur les axes :

\[ \cos \alpha = \frac{R}{P} \quad\Rightarrow\quad R = P \cos \alpha \]
\[ R = 10 \times \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8{,}66 \, \text{N} \]

Soit, avec un chiffre significatif : \( R \approx 8{,}7 \, \text{N} \).

\[ \sin \alpha = \frac{T}{P} \quad\Rightarrow\quad T = P \sin \alpha \]
\[ T = 10 \times \sin 30^\circ = 10 \times 0{,}5 = 5 \, \text{N} \]

La tension du ressort est proportionnelle à son allongement (loi de Hooke) :

\[ T = k \cdot \Delta l \quad\Rightarrow\quad \Delta l = \frac{T}{k} \]
\[ \Delta l = \frac{5}{200} = 0{,}025 \, \text{m} = 2{,}5 \, \text{cm} \]

Réponse : l'allongement du ressort est de \(2{,}5 \, \text{cm}\) et la réaction normale vaut \(8{,}7 \, \text{N}\).

 

📌 Remarque

La réaction \(R\) est normale au plan car il n’y a pas de frottement. Elle compense exactement la composante perpendiculaire du poids.

📝 Synthèse des résultats

\[ \text{Exercice 1 : } F = P \tan \alpha,\quad T = \frac{P}{\cos \alpha} \]
\[ \text{Exercice 2 : } \Delta l = \frac{P \sin \alpha}{k},\quad R = P \cos \alpha \]

Ces deux exercices illustrent l’utilisation de la condition d’équilibre (\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)) pour déterminer des forces inconnues, que ce soit dans un pendule électrostatique ou sur un plan incliné.

💡 Conclusion

Ces deux exercices illustrent l'utilisation de la condition d'équilibre (\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)) pour déterminer des forces inconnues, que ce soit dans un pendule électrostatique ou sur un plan incliné