📖 Énoncé
On pèse un objet métallique au moyen d’un dynamomètre ; on trouve \( F_1 = 10{,}2 \, \text{N} \). On immerge cet objet dans l’eau : le dynamomètre indique alors \( F_2 = 8{,}1 \, \text{N} \).
On donne \( g = 9{,}8 \, \text{N/kg} \).
- Calculer le poids et la masse de cet objet.
- Calculer le volume \( V \) de cet objet.
- En déduire la masse volumique \( \rho \) de cet objet.
📝 Corrigé
1. Poids et masse de l'objet
Le dynamomètre mesure l'intensité du poids lorsque l'objet est dans l'air (aucune poussée). Donc :
\[ P = F_1 = 10{,}2 \, \text{N} \]
La relation entre poids et masse : \( P = m \cdot g \) ⇒ \( m = \dfrac{P}{g} \)
\[ m = \frac{10{,}2}{9{,}8} \approx 1{,}041 \, \text{kg} \]
Soit environ \( 1{,}04 \, \text{kg} \).
2. Volume de l'objet
Lorsque l'objet est immergé, le dynamomètre indique \( F_2 = 8{,}1 \, \text{N} \). La différence entre le poids réel et la mesure est due à la poussée d'Archimède \( \Pi \) :
\[ \Pi = P - F_2 = 10{,}2 - 8{,}1 = 2{,}1 \, \text{N} \]
La poussée d'Archimède est égale au poids du volume d'eau déplacé :
\[ \Pi = \rho_{\text{eau}} \cdot V \cdot g \]
avec \( \rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \). On en tire le volume :
\[ V = \frac{\Pi}{\rho_{\text{eau}} \cdot g} = \frac{2{,}1}{1000 \times 9{,}8} \]
\[ V = \frac{2{,}1}{9800} \approx 2{,}143 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \]
Soit \( V \approx 214 \, \text{cm}^3 \).
3. Masse volumique de l'objet
La masse volumique \( \rho \) est le rapport de la masse au volume :
\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{1{,}041}{2{,}143 \times 10^{-4}} \approx 4858 \, \text{kg/m}^3 \]
On peut aussi utiliser directement \( \rho = \dfrac{P}{V \cdot g} \), ce qui donne la même valeur.
Cette masse volumique est caractéristique d'un métal comme le fer ou l'acier.