Jdd

Un bloc parallélépipédique de masse \( m = 200 \, \text{kg} \) est immobile sur un plan incliné d’un angle \( \alpha = 20^\circ \) par rapport à l’horizontale. Le bloc est soumis à l’action d’une corde parallèle à la ligne de la plus grande pente du plan incliné.

Le coefficient de frottement entre le bloc et le plan incliné est noté \( \mu \) et a pour valeur \( 0{,}5 \).

1. Calculer la valeur des composantes normale et tangentielle de la réaction du plan incliné.
2. Déterminer la valeur de la tension de la corde.

1. Composantes normale et tangentielle de la réaction

Le bloc est immobile (équilibre). On choisit un repère avec l'axe \(x\) parallèle au plan incliné (vers le haut) et l'axe \(y\) perpendiculaire (vers le haut).

Les forces en présence :

• Poids \( \vec{P} \) : vertical. Ses composantes : \( P_{\parallel} = P \sin \alpha \) (vers le bas) et \( P_{\perp} = P \cos \alpha \) (vers le plan).
• Tension \( \vec{T} \) de la corde : parallèle au plan, vers le haut (car elle maintient le bloc).
• Réaction normale \( \vec{R}_N \) : perpendiculaire au plan, vers le haut.
• Force de frottement \( \vec{f} \) : parallèle au plan, de sens opposé à la tendance au glissement (donc vers le haut car \(T\) tire vers le haut ? attention : le bloc est immobile, la corde tire vers le haut, le poids tire vers le bas. Le frottement s'oppose au mouvement potentiel ; si la corde n'était pas là, le bloc glisserait vers le bas, donc le frottement s'oppose à cela → vers le haut. Mais ici il y a aussi la tension ; on déterminera le sens réel par le calcul.)

On suppose que la tension est insuffisante pour empêcher le glissement vers le bas, donc le frottement est dirigé vers le haut (même sens que \(T\)). À l'équilibre, la somme des forces est nulle.

Projection sur l'axe \(y\) (perpendiculaire) :

Calculons \(P = m g = 200 \times 9{,}8 = 1960 \, \text{N}\).

La composante normale de la réaction est donc \( R_N \approx 1842 \, \text{N} \).

La composante tangentielle de la réaction est la force de frottement \(f\). Celle-ci est reliée à la réaction normale par la loi de Coulomb (frottement sec) : \( f = \mu \cdot R_N \), car le bloc est à la limite ou non ? L'énoncé donne \( \mu = 0{,}5 \) mais ne précise pas si le frottement est maximal. Comme le bloc est immobile et que l'on cherche la tension, on ne peut pas supposer que le frottement est maximal. En réalité, la force de frottement \(f\) s'ajuste pour maintenir l'équilibre. On la déterminera à partir de l'équilibre sur l'axe \(x\).

Sur l'axe \(x\) (parallèle au plan, orienté vers le haut) :

On ne peut pas déterminer \(T\) et \(f\) séparément sans une autre relation. L'énoncé demande d'abord « la valeur des composantes normale et tangentielle de la réaction ». La composante normale est \(R_N\), la composante tangentielle est \(f\). Mais \(f\) dépend de \(T\). Peut-être que le frottement est maximal ? L'énoncé dit « Le coefficient de frottement (...) a pour valeur 0,5 », sans préciser si c'est statique ou dynamique, mais généralement pour un immobile on utilise le coefficient statique. Cependant, la tension est inconnue, donc on ne peut pas calculer \(f\) sans savoir si on est à la limite. Reconsidérons : souvent dans ce type d'exercice, on suppose que le bloc est sur le point de glisser ou bien on donne la tension. Ici on demande d'abord les composantes, puis la tension. En réalité, pour la composante tangentielle, elle est égale à la force de frottement, mais sa valeur dépend de l'équilibre. On peut la calculer une fois la tension trouvée. Ou alors, on considère que le frottement est maximal (car on donne \( \mu \)) ? Ce n'est pas explicite. Je vais suivre la démarche classique : on calcule \(R_N\) comme ci-dessus. Ensuite, pour la composante tangentielle, elle est donnée par \(f = \mu R_N\) si le glissement est imminent, mais ici le bloc est immobile, pas forcément à la limite. L'énoncé demande de calculer la valeur des composantes : la normale est indépendante, la tangentielle est inconnue sans autre donnée. On peut déduire \(f\) de l'équilibre après avoir trouvé \(T\). Mais la question 2 demande \(T\), donc on peut déterminer \(f\) en même temps.

Je propose de faire comme suit : on suppose que le frottement est suffisant pour maintenir l'équilibre, mais on ne connaît pas \(T\). Il manque une donnée. Peut-être que la corde exerce une tension à déterminer, et alors \(f\) s'en déduira. On va exprimer \(f\) en fonction de \(T\), puis on ne peut pas aller plus loin. Une autre interprétation : souvent on donne la tension et on demande le frottement, ou l'inverse. Ici, on demande la tension, donc on doit utiliser la loi de frottement : \(f \le \mu R_N\), mais pour trouver \(T\) il faut une équation supplémentaire. Dans les exercices standards, on suppose que le bloc est sur le point de glisser (frottement maximal) ou bien on donne la valeur de la tension. Comme ce n'est pas précisé, je vais supposer que le frottement est maximal (cas le plus fréquent), car on donne \( \mu \). Alors \(f = \mu R_N\).

La composante tangentielle de la réaction (force de frottement) vaut donc \( f = 921 \, \text{N} \).

2. Tension de la corde

En projetant sur l'axe parallèle (vers le haut) :

Le résultat est négatif, ce qui signifie que la tension devrait être dirigée vers le bas pour maintenir l'équilibre, ce qui n'a pas de sens physique (la corde ne peut que tirer vers le haut). Cela indique que notre hypothèse de frottement maximal (vers le haut) est fausse : en réalité, avec un tel coefficient, le frottement seul peut retenir le bloc sans besoin de tension, voire il faudrait une tension vers le bas pour l'empêcher de remonter ? Non, le poids tend à faire glisser le bloc vers le bas, donc le frottement vers le haut s'oppose. Si \(f\) maximal (921 N) est supérieur à \(P\sin\alpha\) (670 N), alors le bloc ne glisse pas, et la force de frottement réelle est exactement \(P\sin\alpha\) (sans tension). Mais l'énoncé dit que le bloc est soumis à l'action d'une corde parallèle... Il n'est pas dit que la corde est tendue. En réalité, la tension peut être nulle. Alors la composante tangentielle \(f\) serait égale à \(P\sin\alpha = 670{,}3 \, \text{N}\), ce qui est inférieur au maximum. Dans ce cas, la question 2 : déterminer la tension de la corde. Si la corde n'est pas nécessaire, \(T=0\). Mais l'énoncé suggère qu'il y a une corde, probablement pour maintenir le bloc (peut-être qu'on tire vers le haut pour aider ?) Avec \(P\sin\alpha = 670\) N et \(f_{max}=921\) N, le frottement seul peut retenir le bloc. Donc la tension peut être nulle. Mais si la corde tire vers le haut, elle réduirait la friction nécessaire. On pourrait avoir une tension positive si on tire vers le haut, mais alors \(T + f = P\sin\alpha\) avec \(f \le 921\) donne \(T = P\sin\alpha - f\). Si \(f\) n'est pas maximal, on ne peut pas déterminer \(T\). C'est un problème. L'énoncé demande explicitement de calculer les composantes et la tension. Il manque probablement une information (comme "la corde exerce une tension de ...") ou bien on doit exprimer en fonction de \(\mu\). Je vais plutôt interpréter que le bloc est immobile et que le frottement est tel que la tension est inconnue, mais on peut exprimer la réaction tangentielle comme \(f = \mu R_N\) ? Non, ce n'est pas valable si le glissement n'est pas imminent. Autre possibilité : le coefficient donné est le coefficient de frottement statique, et on suppose que le bloc est à la limite du glissement (car souvent dans les exercices on donne \(\mu\) pour calculer la force de frottement maximale, mais ici on demande "la valeur des composantes normale et tangentielle" : la tangentielle est la force de frottement réelle, qui peut être inférieure au maximum. Pour la déterminer, on a besoin de la tension. On a deux inconnues \(T\) et \(f\). Or on a une seule équation de projection. Il faut une deuxième équation : soit on suppose que la corde est telle que le frottement est maximal (cas critique) soit on suppose que la corde est lâche (\(T=0\)). Je vais opter pour la première hypothèse (cas du glissement imminent) car c'est classique. Alors \(f = \mu R_N = 921 \, \text{N}\). L'équation donne \(T = P\sin\alpha - f = 670 - 921 = -251 \, \text{N}\) → impossible. Donc le glissement imminent ne peut pas être vers le bas avec une tension vers le haut. On voit que \(P\sin\alpha < \mu R_N\), donc le bloc ne glisse pas même sans tension. La corde ne sert à rien. Si on tire vers le haut, on réduit la force normale ? Non, la normale reste \(P\cos\alpha\). Le frottement maximal est constant. Si on tire vers le haut, la composante parallèle de la tension s'ajoute au frottement pour équilibrer \(P\sin\alpha\). Donc \(T = P\sin\alpha - f\). Si on veut une tension positive, il faut que \(f < P\sin\alpha\). Or le frottement réel peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et \(\mu R_N\). Donc \(T\) peut varier. Pour déterminer \(T\) il faut une condition supplémentaire. L'énoncé ne la donne pas. Il y a peut-être une erreur ou un oubli. Je vais plutôt supposer que la corde tire vers le bas pour maintenir le bloc (cas où la pente est faible ?) Non, ici \(P\sin\alpha \approx 670\) N, le frottement maximal est 921 N, donc le bloc ne glisse pas vers le bas ; au contraire, si on tire vers le bas, on augmenterait la tendance au glissement, et le frottement s'opposerait toujours. On peut avoir une tension positive vers le bas si on veut ? La corde ne peut que tirer, son sens est imposé par l'énoncé : "soumis à l'action d'une corde parallèle" mais on ne précise pas le sens. En général, la corde retient le bloc pour l'empêcher de descendre, donc elle tire vers le haut. Mais ici, puisque le frottement seul suffit, la tension peut être nulle ou même négative (ce qui n'a pas de sens). Donc la réponse la plus raisonnable est que la tension est nulle, et la force de frottement \(f = P\sin\alpha = 670,3 \, \text{N}\). Alors la composante tangentielle de la réaction est \(670,3 \, \text{N}\).

Je vais suivre cette logique : le bloc étant immobile, la somme des forces parallèles au plan donne \(T + f = P\sin\alpha\). Si la corde n'est pas tendue, \(T=0\) et \(f = P\sin\alpha\). Cela satisfait l'équilibre. La question 2 : déterminer la valeur de la tension. Elle est donc nulle. C'est cohérent : la corde est là mais ne sert à rien, elle est peut-être simplement fixée sans être tendue. Je vais présenter cette solution.

On vérifie que \(f \le \mu R_N\) : \(670,3 \le 921\), donc l'équilibre est possible.

Si l'intention de l'exercice était différente (par exemple, si la corde tire vers le haut pour soulager le frottement, on aurait alors \(T\) positif avec \(f = \mu R_N\) ? Non, car alors \(T = P\sin\alpha - \mu R_N\) serait négatif, impossible. Donc la seule solution plausible est \(T=0\) et \(f = P\sin\alpha\).