📘 Exercice 6 – Bloc sur plan incliné avec frottement

📖 Énoncé

Un bloc parallélépipédique de masse \( m = 200 \, \text{kg} \) est immobile sur un plan incliné d’un angle \( \alpha = 20^\circ \) par rapport à l’horizontale. Le bloc est soumis à l’action d’une corde parallèle à la ligne de la plus grande pente du plan incliné.

Le coefficient de frottement entre le bloc et le plan incliné est noté \( \mu \) et a pour valeur \( 0{,}5 \).

  1. Calculer la valeur des composantes normale et tangentielle de la réaction du plan incliné.
  2. Déterminer la valeur de la tension de la corde.
α bloc T P P∥ P⊥ RN f

Figure : forces sur le bloc (poids décomposé, réaction normale, frottement, tension de la corde).

📝 Corrigé (officiel)

1. Composantes normale et tangentielle de la réaction

Le bloc est immobile (mouvement rectiligne uniforme) → principe d’inertie : somme vectorielle des forces nulle.

\[ \vec{P} + \vec{R}_N + \vec{f} + \vec{T} = \vec{0} \]

Projetons sur un axe perpendiculaire au plan incliné, orienté vers le haut :

\[ R_N - P \cos \alpha = 0 \quad\Rightarrow\quad R_N = P \cos \alpha \]

Calcul : \( P = m g = 200 \times 9{,}8 = 1960 \, \text{N} \)

\[ R_N = 1960 \times \cos 20^\circ \approx 1960 \times 0{,}9397 \approx 1842 \, \text{N} \]

La composante normale de la réaction vaut donc \( \boxed{R_N = 1842 \, \text{N}} \).

La force de frottement (composante tangentielle) est donnée par la loi de Coulomb :

\[ \mu = \frac{f}{R_N} \quad\Rightarrow\quad f = \mu \cdot R_N \]
\[ f = 0{,}5 \times 1842 = 921 \, \text{N} \]

La composante tangentielle de la réaction est donc \( \boxed{f = 921 \, \text{N}} \).

2. Tension de la corde

Projetons maintenant sur un axe parallèle au plan incliné, orienté dans le sens du mouvement (vers le haut, car la corde tire). Attention : le poids a une composante \( P \sin \alpha \) vers le bas, le frottement \( f \) s’oppose au mouvement potentiel (donc également vers le bas car le bloc aurait tendance à glisser vers le bas), et la tension \( T \) tire vers le haut. L’équilibre donne :

\[ -P \sin \alpha - f + T = 0 \quad\Rightarrow\quad T = P \sin \alpha + f \]
\[ P \sin \alpha = 1960 \times \sin 20^\circ \approx 1960 \times 0{,}3420 \approx 670{,}3 \, \text{N} \]
\[ T = 670{,}3 + 921 \approx 1591 \, \text{N} \]

La tension de la corde vaut donc \( \boxed{T = 1591 \, \text{N}} \).

🧮 Récapitulatif des résultats
  • Réaction normale : \( R_N \approx 1842 \, \text{N} \)
  • Force de frottement (composante tangentielle) : \( f \approx 921 \, \text{N} \)
  • Tension de la corde : \( T \approx 1591 \, \text{N} \)

Remarque : la tension est supérieure à la composante du poids, car le frottement est très important et s’oppose au mouvement ; la corde doit donc fournir un effort supplémentaire pour vaincre à la fois le poids et le frottement.

آخر تعديل: الأحد، 14 يونيو 2026، 11:35 PM