On considère le corps \( (S) \) de masse \( m = 300 \, \text{kg} \) représenté dans la figure ci-dessous. Les deux fils sont de masses négligeables et forment avec la verticale les angles \( \alpha = 45^\circ \) et \( \beta = 30^\circ \).
- Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le corps (S).
- Représenter les forces qui s’exercent sur (S).
- Déterminer les intensités des forces qui s’exercent sur le corps (S). On donne \( g = 10 \, \text{N/kg} \).
Figure : forces appliquées au corps S (poids vertical, tensions le long des fils).
1. Bilan des forces
Le corps (S) est soumis à trois forces :
- Son poids \( \vec{P} \), vertical vers le bas, d'intensité \( P = m g \).
- La tension \( \vec{T}_\alpha \) du fil de gauche, dirigée le long du fil, faisant un angle \( \alpha = 45^\circ \) avec la verticale.
- La tension \( \vec{T}_\beta \) du fil de droite, dirigée le long du fil, faisant un angle \( \beta = 30^\circ \) avec la verticale.
2. Représentation des forces
Voir la figure ci-dessus : les vecteurs sont dessinés à partir du centre de gravité du corps.
3. Intensités des forces
Le corps est en équilibre : \( \vec{P} + \vec{T}_\alpha + \vec{T}_\beta = \vec{0} \).
Choisissons un repère \((O, x, y)\) avec \(O\) au centre du corps, axe \(x\) horizontal vers la droite, axe \(y\) vertical vers le haut.
Projection des forces :
- \( \vec{P} = (0, -P) \)
- \( \vec{T}_\alpha = (T_\alpha \sin\alpha, -T_\alpha \cos\alpha) \) (car la tension tire vers le haut à gauche)
- \( \vec{T}_\beta = (-T_\beta \sin\beta, -T_\beta \cos\beta) \) (tension vers le haut à droite)
Attention au signe des composantes horizontales : \(T_\alpha\) a une composante horizontale positive (vers la droite) si l'angle est mesuré à gauche de la verticale ? Non : sur le schéma, le fil gauche est incliné vers la gauche, donc la tension exercée par le fil sur le corps est dirigée vers le haut et vers la gauche. Donc sa composante horizontale est négative. Corrigeons :
Reprenons : le corps est tiré vers le point d'attache. Le fil gauche part du corps vers le point d'attache qui est à gauche de la verticale. Donc la force exercée par le fil sur le corps est dirigée vers la gauche (composante horizontale négative) et vers le haut (composante verticale positive). De même, le fil droit tire vers la droite (composante horizontale positive) et vers le haut. Ainsi :
- \( \vec{T}_\alpha = (-T_\alpha \sin\alpha, T_\alpha \cos\alpha) \)
- \( \vec{T}_\beta = (T_\beta \sin\beta, T_\beta \cos\beta) \)
Le poids : \( \vec{P} = (0, -P) \).
L'équilibre donne :
De la première équation : \( T_\beta \sin\beta = T_\alpha \sin\alpha \) ⇒ \( T_\beta = T_\alpha \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} \).
Portons dans la seconde :
Application numérique : \( P = m g = 300 \times 10 = 3000 \, \text{N} \), \( \alpha = 45^\circ \), \( \beta = 30^\circ \).
\( \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071 \), \( \sin45^\circ = 0{,}7071 \), \( \cot30^\circ = \frac{\cos30^\circ}{\sin30^\circ} = \frac{0{,}8660}{0{,}5} = 1{,}732 \).
Ensuite \( T_\beta = T_\alpha \dfrac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ} = 1553 \times \dfrac{0{,}7071}{0{,}5} = 1553 \times 1{,}4142 \approx 2196 \, \text{N} \).
Les intensités sont donc :
- Poids : \( P = 3000 \, \text{N} \)
- Tension du fil gauche (α=45°) : \( T_\alpha \approx 1553 \, \text{N} \)
- Tension du fil droit (β=30°) : \( T_\beta \approx 2196 \, \text{N} \)