📘 Exercice 7 – Suspension par deux fils (méthode des déterminants)

📖 Énoncé

On considère le corps \( (S) \) de masse \( m = 300 \, \text{kg} \) suspendu par deux fils de masses négligeables. Les fils forment avec la verticale les angles \( \alpha = 45^\circ \) et \( \beta = 30^\circ \).

  1. Bilan des forces sur (S).
  2. Représentation des forces.
  3. Déterminer les intensités des forces \( T_\alpha \) et \( T_\beta \). On donne \( g = 10 \, \text{N/kg} \).
S α β P Tα Tβ

Figure : forces appliquées au corps S.

📝 Corrigé (par déterminants)

1. Bilan des forces : Poids \( \vec{P} \), tensions \( \vec{T}_\alpha \) et \( \vec{T}_\beta \).

2. Représentation : voir figure ci-dessus.

3. Calcul des intensités :

Condition d’équilibre : \( \vec{P} + \vec{T}_\alpha + \vec{T}_\beta = \vec{0} \).

En projetant sur les axes (horizontal \(x\) vers la droite, vertical \(y\) vers le haut) :

\[ \begin{cases} T_{\beta} \sin\beta - T_{\alpha} \sin\alpha = 0 \\ T_{\beta} \cos\beta + T_{\alpha} \cos\alpha - P = 0 \end{cases} \]

On a : \( P = m g = 300 \times 10 = 3000 \, \text{N} \), \( \alpha = 45^\circ \), \( \beta = 30^\circ \).

Le système s’écrit sous forme matricielle :

\[ \begin{pmatrix} \sin\beta & -\sin\alpha \\ \cos\beta & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} T_{\beta} \\ T_{\alpha} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ P \end{pmatrix} \]

Calcul du déterminant principal :

\[ D = \begin{vmatrix} \sin\beta & -\sin\alpha \\ \cos\beta & \cos\alpha \end{vmatrix} = \sin\beta \cos\alpha + \cos\beta \sin\alpha = \sin(\beta+\alpha) = \sin(75^\circ) \]
\[ D = \sin75^\circ \approx 0{,}9659 \]

Déterminants pour \( T_{\beta} \) et \( T_{\alpha} \) :

\[ D_{T_{\beta}} = \begin{vmatrix} 0 & -\sin\alpha \\ P & \cos\alpha \end{vmatrix} = 0 \cdot \cos\alpha - (-\sin\alpha) \cdot P = P \sin\alpha = 3000 \times \sin45^\circ = 3000 \times 0{,}7071 = 2121{,}3 \]
\[ D_{T_{\alpha}} = \begin{vmatrix} \sin\beta & 0 \\ \cos\beta & P \end{vmatrix} = \sin\beta \cdot P - 0 \cdot \cos\beta = P \sin\beta = 3000 \times \sin30^\circ = 3000 \times 0{,}5 = 1500 \]

On en déduit :

\[ T_{\beta} = \frac{D_{T_{\beta}}}{D} = \frac{2121{,}3}{0{,}9659} \approx 2196 \, \text{N} \]
\[ T_{\alpha} = \frac{D_{T_{\alpha}}}{D} = \frac{1500}{0{,}9659} \approx 1553 \, \text{N} \]

Les intensités sont donc :

\[ \boxed{T_\alpha \approx 1553 \, \text{N}},\qquad \boxed{T_\beta \approx 2196 \, \text{N}},\qquad \boxed{P = 3000 \, \text{N}} \]
Last modified: Sunday, 14 June 2026, 11:40 PM