On considère deux corps ponctuels (1) et (2) de masses respectivement \( m \) et \( m' \) séparées par une distance \( d \). Soit \( \vec{F} \) la force d’attraction universelle exercée par le corps (2) sur le corps (1) et \( \vec{F}' \) celle exercée par le corps (1) sur le corps (2).

1. Quelles sont les caractéristiques communes des deux forces \( \vec{F} \) et \( \vec{F}' \) ?
2. Quelles sont les caractéristiques non communes des deux forces \( \vec{F} \) et \( \vec{F}' \) ?
3. Donner l’expression de l’intensité de la force d’attraction universelle exercée par chacun des corps sur l’autre.
4. Calculer la valeur de l’intensité de la force d’attraction universelle exercée par chacun des corps. On donne \( m = m' = 10 \, \text{kg} \) et la distance \( d = 5 \, \text{cm} \).
5. Représenter sur le schéma suivant ces deux forces \( \vec{F} \) et \( \vec{F}' \).

1. Caractéristiques communes : même droite d’action (direction), même intensité.
2. Caractéristiques non communes : sens opposés, points d’application différents (chaque force s’applique sur l’autre corps).
3. Expression : \( F = F' = G \dfrac{m \, m'}{d^2} \) avec \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \).
4. Calcul : \( d = 5 \, \text{cm} = 0,05 \, \text{m} \), \( m = m' = 10 \, \text{kg} \).
   \( F = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{10 \times 10}{(0,05)^2} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{100}{0,0025} = 6,67 \times 10^{-11} \times 40\,000 = 2,668 \times 10^{-6} \, \text{N} \).
5. Voir figure ci-dessus : les deux forces sont représentées sur le même axe, en sens opposés.

1. 1-1. Donner l’expression de l’intensité de la force d’attraction universelle exercée par la Terre sur un corps de masse \( m \) posé sur la surface de la Terre.
1-2. Calculer la valeur de cette force pour une pomme de masse \( m = 100 \, \text{g} \). Comparer avec le poids de la pomme (\( g = 9,8 \, \text{N/kg} \)). Conclure.
Données : \( M_T = 5,98 \times 10^{24} \, \text{kg} \), \( R_T = 6,38 \times 10^6 \, \text{m} \).
1-3. Même question au sommet d’une montagne d’altitude \( h = 8840 \, \text{m} \).
2. 2-1. Force d’attraction Soleil–Terre. Données : \( D = 1,5 \times 10^8 \, \text{km} \), \( M_S = 2 \times 10^{30} \, \text{kg} \).
2-2. Force exercée par le Soleil sur la pomme (même pomme) posée sur Terre (rayon de la Terre négligeable).
2-3. Comparer les deux forces (Soleil/pomme et Terre/pomme).

1-1. \( F = G \dfrac{M_T \, m}{R_T^2} \).

1-2. \( m = 0,1 \, \text{kg} \).
\( F = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5,98 \times 10^{24} \times 0,1}{(6,38 \times 10^6)^2} \).
Calcul : \( (6,38 \times 10^6)^2 = 4,070 \times 10^{13} \).
\( F = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5,98 \times 10^{23}}{4,070 \times 10^{13}} = 6,67 \times 10^{-11} \times 1,469 \times 10^{10} = 0,98 \, \text{N} \).
Poids : \( P = m g = 0,1 \times 9,8 = 0,98 \, \text{N} \). Les deux valeurs sont égales. Conclusion : le poids d’un corps est la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre.

1-3. À l’altitude \( h \), la distance au centre de la Terre est \( R_T + h \).
\( F_h = G \dfrac{M_T m}{(R_T + h)^2} = \dfrac{P}{\left(1 + \frac{h}{R_T}\right)^2} \).
\( h = 8840 \, \text{m} \), \( R_T = 6,38 \times 10^6 \, \text{m} \), \( \frac{h}{R_T} \approx 1,386 \times 10^{-3} \).
\( F_h = \dfrac{0,98}{(1,001386)^2} \approx 0,98 \times 0,9972 \approx 0,977 \, \text{N} \). La force diminue très légèrement.

2-1. Soleil – Terre : \( D = 1,5 \times 10^8 \, \text{km} = 1,5 \times 10^{11} \, \text{m} \).
\( F_{S/T} = G \dfrac{M_S M_T}{D^2} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2 \times 10^{30} \times 5,98 \times 10^{24}}{(1,5 \times 10^{11})^2} \).
\( = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1,196 \times 10^{55}}{2,25 \times 10^{22}} = 6,67 \times 10^{-11} \times 5,316 \times 10^{32} = 3,55 \times 10^{22} \, \text{N} \).

2-2. Soleil sur la pomme : même distance \( D \) (rayon Terre négligeable).
\( F_{S/p} = G \dfrac{M_S m}{D^2} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2 \times 10^{30} \times 0,1}{(1,5 \times 10^{11})^2} \).
\( = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2 \times 10^{29}}{2,25 \times 10^{22}} = 6,67 \times 10^{-11} \times 8,889 \times 10^{6} \approx 5,93 \times 10^{-4} \, \text{N} \).

2-3. Comparaison : \( \dfrac{F_{S/p}}{F_{T/p}} = \dfrac{5,93 \times 10^{-4}}{0,98} \approx 6,05 \times 10^{-4} \). La force exercée par le Soleil sur la pomme est environ 6000 fois plus petite que celle exercée par la Terre.

Un ballon de masse \( m = 700 \, \text{g} \) a son centre de gravité à la distance \( d = 1 \, \text{m} \) de la surface de la Terre.

1. Donner l’expression de l’intensité de la force d’attraction universelle exercée par la Terre sur le ballon.
2. Calculer sa valeur.

Données : \( M_T = 6 \times 10^{21} \, \text{tonnes} \) (attention : vérifier l’unité), \( R_T = 6378 \, \text{km} \).

Attention : \( M_T = 6 \times 10^{21} \, \text{tonnes} = 6 \times 10^{24} \, \text{kg} \) (car 1 t = 10³ kg). C’est la valeur correcte.

Distance du centre de la Terre : \( r = R_T + d = 6378 \, \text{km} + 0,001 \, \text{km} = 6378,001 \, \text{km} = 6,378001 \times 10^6 \, \text{m} \).

\( m = 0,7 \, \text{kg} \).

Expression : \( F = G \dfrac{M_T \, m}{r^2} \).

Calcul : \( F = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{6 \times 10^{24} \times 0,7}{(6,378001 \times 10^6)^2} \).
\( (6,378001 \times 10^6)^2 \approx 4,067 \times 10^{13} \).
\( F = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4,2 \times 10^{24}}{4,067 \times 10^{13}} = 6,67 \times 10^{-11} \times 1,0327 \times 10^{11} \approx 6,89 \, \text{N} \).

La force est très proche du poids du ballon à la surface (\( P = 0,7 \times 9,8 = 6,86 \, \text{N} \)).

Deux ballons de même masse \( m = 650 \, \text{g} \) sont posés sur un plan horizontal et séparés par une distance \( d = 20 \, \text{cm} \).

1. Calculer l’intensité du poids de l’un des ballons (\( g = 9,8 \, \text{N/kg} \)).
2. Quelle est l’intensité d’attraction universelle exercée par l’un des ballons sur l’autre ?
3. Pourquoi, lors de l’étude de l’équilibre de l’un des ballons, on ne tient pas compte de cette force d’attraction ?

1. \( P = m g = 0,65 \times 9,8 = 6,37 \, \text{N} \).

2. \( F = G \dfrac{m^2}{d^2} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{(0,65)^2}{(0,20)^2} \).
\( = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{0,4225}{0,04} = 6,67 \times 10^{-11} \times 10,5625 = 7,05 \times 10^{-10} \, \text{N} \).

3. Cette force est extrêmement faible (\( \approx 10^{-10} \, \text{N} \)) par rapport au poids (\( \approx 6 \, \text{N} \)) ; elle est donc négligeable devant les autres forces (poids, réaction du support).

Choisir la réponse correcte :
La masse d’une balle de tennis est \( m = 2,5 \, \text{g} \). Son poids sur la Lune est égal à :
1) \( 1/5 \) de son poids sur la Terre.
2) \( 1/10 \) de son poids sur la Terre.
3) \( 1/6 \) de son poids sur la Terre.

Données : \( M_T = 6 \times 10^{21} \, \text{tonnes} \) (soit \( 6 \times 10^{24} \, \text{kg} \)), \( M_L = 7,36 \times 10^{22} \, \text{kg} \),
\( R_T = 6378 \, \text{km} \), \( R_L = 1737,4 \, \text{km} \).

Le poids d’un corps sur un astre est \( P = G \dfrac{M_{\text{astre}} \, m}{R_{\text{astre}}^2} \).
Le rapport des poids Lune/Terre vaut :

\( \dfrac{M_L}{M_T} = \dfrac{7,36 \times 10^{22}}{6 \times 10^{24}} = 1,2267 \times 10^{-2} \).
\( \dfrac{R_T}{R_L} = \dfrac{6378}{1737,4} \approx 3,672 \), soit \( \left( \dfrac{R_T}{R_L} \right)^2 \approx 13,48 \).
Produit : \( 1,2267 \times 10^{-2} \times 13,48 \approx 0,165 \approx \dfrac{1}{6,06} \).

Le poids sur la Lune est environ \( \dfrac{1}{6} \) du poids sur la Terre.
Réponse correcte : n°3 (\( 1/6 \)).