Serie d

La distance moyenne qui sépare la Lune et la Terre varie entre 356375 km et 406720 km.

1. Donner l’expression de l’intensité \( F \) d’attraction universelle exercée entre la Lune et la Terre.
2. Déterminer \( F \) dans chacun des cas suivants :
   2-1. Lorsque la Lune se trouve au périgée (plus petite distance).
   2-2. Lorsque la Lune se trouve à l’apogée (plus grande distance).

Données : masse de la Terre \( M_T = 6 \times 10^{21} \, \text{tonnes} \), masse de la Lune \( M_L = \dfrac{M_T}{83} \).

1. Expression : \( F = G \dfrac{M_T \, M_L}{d^2} \), avec \( G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \).

2. Conversion des données :
\( M_T = 6 \times 10^{21} \, \text{tonnes} = 6 \times 10^{24} \, \text{kg} \).
\( M_L = \dfrac{6 \times 10^{24}}{83} \approx 7,229 \times 10^{22} \, \text{kg} \).

2-1. Périgée : \( d_{\text{min}} = 356375 \, \text{km} = 3,56375 \times 10^8 \, \text{m} \).
\( F_{\text{min}} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{6 \times 10^{24} \times 7,229 \times 10^{22}}{(3,56375 \times 10^8)^2} \).
\( = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4,3374 \times 10^{47}}{1,270 \times 10^{17}} = 6,67 \times 10^{-11} \times 3,415 \times 10^{30} \approx 2,28 \times 10^{20} \, \text{N} \).

2-2. Apogée : \( d_{\text{max}} = 406720 \, \text{km} = 4,0672 \times 10^8 \, \text{m} \).
\( F_{\text{max}} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4,3374 \times 10^{47}}{(4,0672 \times 10^8)^2} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4,3374 \times 10^{47}}{1,654 \times 10^{17}} \).
\( = 6,67 \times 10^{-11} \times 2,622 \times 10^{30} \approx 1,75 \times 10^{20} \, \text{N} \).

La force est plus grande au périgée (environ \( 2,28 \times 10^{20} \, \text{N} \)) qu’à l’apogée (environ \( 1,75 \times 10^{20} \, \text{N} \)).

Un satellite de masse \( m = 1800 \, \text{kg} \) se déplace sur la ligne passant par les centres de gravité de la Terre et de la Lune. On appelle \( d \) la distance entre le centre de la Terre et le satellite, et \( D \) la distance Terre–Lune. \( D = 3,84 \times 10^5 \, \text{km} \).

1. Donner l’expression de l’intensité de la force d’attraction exercée entre la Terre et le satellite, puis entre la Lune et le satellite.
2. Pour quelle distance \( d \) ces deux forces sont-elles opposées (même intensité et sens contraires) ? On donne \( M_T = \dfrac{M_L}{83} \) (attention : vérifier la cohérence – ici c'est l'inverse de l'exercice 6 ; suivons l'énoncé).

Données : \( D = 3,84 \times 10^5 \, \text{km} = 3,84 \times 10^8 \, \text{m} \).

1. Force Terre–satellite : \( F_T = G \dfrac{M_T \, m}{d^2} \).
Force Lune–satellite : \( F_L = G \dfrac{M_L \, m}{(D - d)^2} \).

2. Les deux forces sont opposées (même intensité, sens contraires) si le satellite se trouve entre la Terre et la Lune (car alors \( \vec{F}_T \) et \( \vec{F}_L \) sont de sens opposés). L’égalité des intensités donne :

On a \( M_T = \dfrac{M_L}{83} \) d’après l’énoncé (attention : dans l’énoncé original, il y a une incohérence : exercice 6 disait \( M_L = M_T/83 \), ici c’est l’inverse. Je vais suivre l’énoncé de l’exercice 7 : \( M_T = M_L / 83 \), donc \( M_L = 83 M_T \). Ceci est physiquement impossible car la Lune est moins massive que la Terre. Il s’agit probablement d’une erreur de recopie. Cependant, pour rester fidèle au texte, je garde \( M_T = M_L / 83 \), soit \( M_L = 83 M_T \). Alors le rapport \( M_L / M_T = 83 \).

En prenant la racine carrée :

D’où \( D - d = 9,11 \, d \) ⇒ \( D = 10,11 \, d \) ⇒ \( d = \dfrac{D}{10,11} \).

Application : \( D = 3,84 \times 10^8 \, \text{m} \), donc \( d \approx 3,80 \times 10^7 \, \text{m} = 38\,000 \, \text{km} \).

Le point d’équilibre est beaucoup plus proche de la Terre que de la Lune (car \( M_L \) est supposée plus grande). Physiquement, c’est l’inverse, mais nous suivons l’énoncé donné.

Parfois, les centres de la Terre, de la Lune et du Soleil sont alignés. Deux positions possibles :

• Cas 1 : la Terre entre la Lune et le Soleil.
• Cas 2 : la Lune entre la Terre et le Soleil.

1) Calculer la valeur de l’intensité \( F \) de la force d’attraction universelle exercée par le Soleil sur la Lune dans chacun des deux cas.

2) Peut-on négliger la force d’attraction du Soleil sur la Lune devant celle de la Terre sur la Lune ?

Données : distance moyenne Soleil–Terre \( D_{TS} = 1\,\text{UA} = 150 \times 10^9 \, \text{m} \), distance moyenne Terre–Lune \( D_{TL} = 384000 \, \text{km} = 3,84 \times 10^8 \, \text{m} \).
Masse du Soleil \( M_S = 2 \times 10^{30} \, \text{kg} \), masse de la Terre \( M_T = 6 \times 10^{21} \, \text{tonnes} = 6 \times 10^{24} \, \text{kg} \), masse de la Lune \( M_L = \dfrac{M_T}{83} \approx 7,23 \times 10^{22} \, \text{kg} \).

1. La force Soleil–Lune s’exprime par \( F_{S/L} = G \dfrac{M_S M_L}{r^2} \), où \( r \) est la distance Soleil–Lune.

Cas 1 – Terre entre Lune et Soleil : les trois astres sont alignés dans l’ordre Lune – Terre – Soleil. La distance Soleil–Lune est \( r = D_{TS} + D_{TL} = 150 \times 10^9 \, \text{m} + 3,84 \times 10^8 \, \text{m} = 1,50384 \times 10^{11} \, \text{m} \).
\( F_{S/L} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2 \times 10^{30} \times 7,23 \times 10^{22}}{(1,50384 \times 10^{11})^2} \).
\( = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1,446 \times 10^{53}}{2,2615 \times 10^{22}} = 6,67 \times 10^{-11} \times 6,394 \times 10^{30} \approx 4,27 \times 10^{20} \, \text{N} \).

Cas 2 – Lune entre Terre et Soleil : alignement Soleil – Lune – Terre. La distance Soleil–Lune est \( r = D_{TS} - D_{TL} = 150 \times 10^9 - 3,84 \times 10^8 = 1,49616 \times 10^{11} \, \text{m} \).
\( F_{S/L} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1,446 \times 10^{53}}{(1,49616 \times 10^{11})^2} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1,446 \times 10^{53}}{2,2385 \times 10^{22}} \).
\( = 6,67 \times 10^{-11} \times 6,458 \times 10^{30} \approx 4,31 \times 10^{20} \, \text{N} \).
Les deux valeurs sont très proches (environ \( 4,3 \times 10^{20} \, \text{N} \)).

2. Comparons avec la force Terre–Lune (exercice 6) : à la distance moyenne \( D_{TL} = 3,84 \times 10^8 \, \text{m} \),
\( F_{T/L} = G \dfrac{M_T M_L}{D_{TL}^2} = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{6 \times 10^{24} \times 7,23 \times 10^{22}}{(3,84 \times 10^8)^2} \).
\( = 6,67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4,338 \times 10^{47}}{1,4746 \times 10^{17}} = 6,67 \times 10^{-11} \times 2,942 \times 10^{30} \approx 1,96 \times 10^{20} \, \text{N} \).

La force Soleil–Lune (\( \approx 4,3 \times 10^{20} \, \text{N} \)) est environ 2,2 fois plus grande que la force Terre–Lune (\( \approx 1,96 \times 10^{20} \, \text{N} \)). On ne peut donc pas négliger l’attraction du Soleil sur la Lune devant celle de la Terre ; elle est même légèrement supérieure. C’est pourquoi la Lune a une trajectoire complexe (influence solaire importante).