Dans un repère lié à la Terre, un satellite de masse \( m_s \) décrit une orbite circulaire de rayon \( r_s \) (son centre étant le centre de la Terre). Le rayon de la Terre est \( R_T \) et sa masse est \( M_T \).
- Donner, en fonction de \( G \), \( m_s \), \( R_T \) et \( M_T \), l’intensité de la force d’attraction universelle \( F_0 \) exercée entre la Terre et le satellite lorsque celui-ci se trouve à la surface de la Terre.
- Donner, en fonction de \( G \), \( m_s \), \( r_s \) et \( M_T \), l’intensité de la force d’attraction universelle \( F \) exercée entre la Terre et le satellite lorsque celui-ci est sur son orbite.
- Déterminer l’altitude \( h \) à laquelle se trouve le satellite lorsque \( F = \dfrac{F_0}{16} \).
Figure : satellite sur une orbite circulaire de rayon \( r_s = R_T + h \).
1. Force à la surface de la Terre
À la surface, la distance du satellite au centre de la Terre est \( R_T \). L’expression de la force d’attraction universelle est :
2. Force sur l’orbite circulaire
Sur l’orbite, la distance est \( r_s \). Donc :
3. Altitude \( h \) telle que \( F = \dfrac{F_0}{16} \)
On a \( r_s = R_T + h \). La condition s’écrit :
En simplifiant (\( G, M_T, m_s \) se simplifient) :
En prenant la racine carrée (les distances sont positives) :
L’altitude du satellite est donc égale à trois fois le rayon terrestre :
Par exemple, avec \( R_T \approx 6378 \, \text{km} \), on obtient \( h \approx 19134 \, \text{km} \).
La force d’attraction gravitationnelle varie en \( 1/r^2 \). Pour que l’intensité soit divisée par 16, il faut que la distance soit multipliée par 4 (car \( 1/(4R)^2 = 1/(16 R^2) \)). Ainsi, \( r_s = 4 R_T \), d’où \( h = r_s - R_T = 3 R_T \).