Serie hdc

L’atome de sodium est assimilé à une sphère de rayon \( R_A = 0{,}183 \, \text{nm} \). Son noyau est une sphère de rayon \( R_N = 3{,}4 \, \text{fm} \).

1. Calculer le rapport \( \dfrac{R_A}{R_N} \).
2. Quel est l’ordre de grandeur de ce rapport ?
3. Si on représente le noyau par une balle de tennis de rayon \( 3{,}2 \, \text{cm} \), quel est le rayon de la sphère figurant l’atome ?

1. Convertissons en mètres :
\( R_A = 0{,}183 \, \text{nm} = 0{,}183 \times 10^{-9} \, \text{m} = 1{,}83 \times 10^{-10} \, \text{m} \).
\( R_N = 3{,}4 \, \text{fm} = 3{,}4 \times 10^{-15} \, \text{m} \).
Rapport : \( \dfrac{R_A}{R_N} = \dfrac{1{,}83 \times 10^{-10}}{3{,}4 \times 10^{-15}} = \dfrac{1{,}83}{3{,}4} \times 10^{5} \approx 0{,}538 \times 10^{5} = 5{,}38 \times 10^{4} \).
Soit environ \( 53\,800 \).

2. Ordre de grandeur : \( 5{,}38 \times 10^{4} \) → \( a = 5{,}38 > 5 \) → ordre de grandeur = \( 10^{5} \).

3. Le noyau est représenté par une balle de rayon \( r_N = 3{,}2 \, \text{cm} \). Le rapport des rayons est conservé :
\( \dfrac{r_A}{r_N} = \dfrac{R_A}{R_N} = 5{,}38 \times 10^{4} \).
Donc \( r_A = r_N \times 5{,}38 \times 10^{4} = 3{,}2 \times 5{,}38 \times 10^{4} \, \text{cm} = 17{,}216 \times 10^{4} \, \text{cm} = 1{,}72 \times 10^{5} \, \text{cm} = 1{,}72 \, \text{km} \).
L’atome aurait un rayon d’environ 1,72 km.

A- Les planètes (Terre, Mercure, Vénus) n’échappent pas au système solaire grâce à :
1) À Newton    2) À la force d’attraction exercée par le Soleil    3) Au champ magnétique terrestre    4) À la force gravitationnelle terrestre.

B- La force gravitationnelle s’exerçant entre deux astres A et B est :
1) Toujours attractive    2) Toujours répulsive    3) Attractive et répulsive selon les situations.

C- La force gravitationnelle entre deux astres est d’autant plus grande que :
1) Les masses de ces astres sont grandes    2) La distance entre ces planètes est grande    3) Les masses sont petites    4) La distance est petite.

D- La trajectoire d’un astéroïde ne dépend pas de la présence de planètes à proximité. (Vrai/Faux)

E- Pour le poids d’un corps :
1) \( \frac{P}{g} = m \) ou \( g = m^{-1} P \) ou \( m = g P \)    2) Il est le même sur la Terre et sur la Lune.

A- Réponse 2 : la force d’attraction exercée par le Soleil (gravitation).
B- Réponse 1 : toujours attractive.
C- Réponses 1 et 4 : la force est d’autant plus grande que les masses sont grandes et que la distance est petite.
D- Faux : la trajectoire d’un astéroïde est influencée par l’attraction des planètes proches.
E- Réponse 1 : \( P = m g \) ⇒ \( \frac{P}{g} = m \) et \( g = \frac{P}{m} \). La deuxième proposition est fausse (le poids n’est pas le même sur Terre et sur Lune).

On dispose de deux sphères A et B de masses \( m_A = 1 \, \text{kg} \) et \( m_B = 2 \, \text{kg} \) sur le sol, la distance entre leurs centres étant \( d = 50 \, \text{cm} \).

1. Calculer l’intensité commune des forces d’attraction entre les deux sphères.
2. Calculer l’intensité de la force exercée par la Terre sur la sphère A. Comparer les résultats.

Données : \( M_T = 6 \times 10^{24} \, \text{kg} \), \( R_T = 6400 \, \text{km} \).

1. Force entre A et B : \( F_{A/B} = G \dfrac{m_A m_B}{d^2} \).
\( d = 0{,}50 \, \text{m} \).
\( F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1 \times 2}{(0{,}50)^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2}{0{,}25} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 8 = 5{,}336 \times 10^{-10} \, \text{N} \).

2. Force exercée par la Terre sur la sphère A (poids) :
\( F_{T/A} = G \dfrac{M_T m_A}{R_T^2} \).
\( R_T = 6{,}4 \times 10^6 \, \text{m} \).
\( F_{T/A} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{6 \times 10^{24} \times 1}{(6{,}4 \times 10^6)^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{6 \times 10^{24}}{4{,}096 \times 10^{13}} \).
\( = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}4648 \times 10^{11} = 6{,}67 \times 1{,}4648 \approx 9{,}77 \, \text{N} \).
Comparaison : \( F_{A/B} \approx 5{,}3 \times 10^{-10} \, \text{N} \) est totalement négligeable devant le poids \( \approx 9{,}8 \, \text{N} \).

1) Quelle est la valeur \( P \) du poids d’une boule de masse \( m = 800 \, \text{g} \) posée sur le sol ?
2) Quelle est la valeur de la force gravitationnelle \( F \) exercée par la Terre sur la même boule ?
3) Comparer ces deux forces et conclure.
4) En déduire l’expression de l’intensité de la pesanteur \( g \) en fonction de \( G \), \( M_T \) et \( R_T \).
On donne : \( g = 9{,}8 \, \text{N/kg} \), \( R_T = 6380 \, \text{km} \), \( M_T = 5{,}98 \times 10^{24} \, \text{kg} \).

1. \( P = m g = 0{,}800 \times 9{,}8 = 7{,}84 \, \text{N} \).
2. Force gravitationnelle : \( F = G \dfrac{M_T m}{R_T^2} \).
\( R_T = 6{,}38 \times 10^6 \, \text{m} \).
\( F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}98 \times 10^{24} \times 0{,}800}{(6{,}38 \times 10^6)^2} \).
Calcul : \( 5{,}98 \times 0{,}8 = 4{,}784 \), donc numérateur \( 4{,}784 \times 10^{24} \).
Dénominateur : \( (6{,}38)^2 = 40{,}7044 \times 10^{12} = 4{,}07044 \times 10^{13} \).
\( F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4{,}784 \times 10^{24}}{4{,}070 \times 10^{13}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}175 \times 10^{11} \).
\( = 6{,}67 \times 1{,}175 \approx 7{,}84 \, \text{N} \).
3. Les deux forces sont égales. Conclusion : le poids d’un corps est la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre.
4. \( P = m g \) et \( F = G \dfrac{M_T m}{R_T^2} \). En égalant : \( m g = G \dfrac{M_T m}{R_T^2} \) ⇒ \( g = G \dfrac{M_T}{R_T^2} \).

1) Calculer l’intensité de la force d’attraction universelle entre le Soleil et la Terre.
2) Montrer que l’intensité de la force d’attraction universelle exercée par le Soleil sur la Lune varie entre deux valeurs extrêmes \( F_{\text{max}} \) et \( F_{\text{min}} \) que l’on détermine.

Données : \( G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \), \( M_T = 5{,}98 \times 10^{24} \, \text{kg} \), \( M_S = 1{,}98 \times 10^{30} \, \text{kg} \), \( D_{S-T} = 150 \times 10^6 \, \text{km} = 1{,}5 \times 10^{11} \, \text{m} \), \( D_{T-L} = 3{,}92 \times 10^5 \, \text{km} = 3{,}92 \times 10^8 \, \text{m} \).

1. Force Soleil–Terre : \( F_{S/T} = G \dfrac{M_S M_T}{D_{S-T}^2} \).
\( F_{S/T} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1{,}98 \times 10^{30} \times 5{,}98 \times 10^{24}}{(1{,}5 \times 10^{11})^2} \).
Numérateur : \( 1{,}98 \times 5{,}98 = 11{,}8404 \) → \( 1{,}18404 \times 10^{55} \).
Dénominateur : \( (1{,}5)^2 = 2{,}25 \times 10^{22} \).
\( F_{S/T} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1{,}184 \times 10^{55}}{2{,}25 \times 10^{22}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}262 \times 10^{32} \).
\( = 6{,}67 \times 5{,}262 \times 10^{21} \approx 35{,}1 \times 10^{21} = 3{,}51 \times 10^{22} \, \text{N} \).

2. La distance Soleil–Lune varie entre \( D_{S-L,\,min} = D_{S-T} - D_{T-L} \) et \( D_{S-L,\,max} = D_{S-T} + D_{T-L} \).
\( D_{min} = 1{,}5 \times 10^{11} - 3{,}92 \times 10^8 = 1{,}49608 \times 10^{11} \, \text{m} \).
\( D_{max} = 1{,}5 \times 10^{11} + 3{,}92 \times 10^8 = 1{,}50392 \times 10^{11} \, \text{m} \).
Masse de la Lune ? Non donnée. On peut exprimer la force en fonction de \( M_L \) :
\( F_{S/L} = G \dfrac{M_S M_L}{D^2} \). Les valeurs extrêmes sont obtenues pour \( D_{min} \) (force max) et \( D_{max} \) (force min).
Sans \( M_L \), on ne peut pas calculer numériquement. L’énoncé omet peut-être \( M_L \) ? Dans un tel cas, on donne l’expression :
\( F_{\text{max}} = G \dfrac{M_S M_L}{D_{min}^2} \), \( F_{\text{min}} = G \dfrac{M_S M_L}{D_{max}^2} \).
Si on prend \( M_L \approx 7{,}35 \times 10^{22} \, \text{kg} \), on pourrait calculer. Mais l’énoncé ne la donne pas. Je vais donc présenter le raisonnement sans calcul numérique, en signalant le manque de donnée.

Remarque : Pour un calcul effectif, il faudrait connaître \( M_L \). On peut toutefois déterminer le rapport \( \dfrac{F_{\text{max}}}{F_{\text{min}}} = \left( \dfrac{D_{max}}{D_{min}} \right)^2 \approx \left( \dfrac{1{,}50392}{1{,}49608} \right)^2 \approx 1{,}0105 \). La variation est très faible (environ 1 %).