Seriec ff

1. Calculer la force de gravitation exercée par Jupiter (\( M_J = 1{,}9 \times 10^{27} \, \text{kg} \)) sur la sonde Voyager I (\( m_S = 800 \, \text{kg} \)) lors du survol à distance minimale \( D_{min} = 721670 \, \text{km} \).
2. Calculer l’intensité de la force de gravitation exercée par la Terre sur la Lune. Représenter cette force en choisissant une échelle. Données : \( D_{T-L} = 3{,}84 \times 10^5 \, \text{km} \), \( M_L = 7{,}34 \times 10^{22} \, \text{kg} \), \( M_T = 5{,}98 \times 10^{24} \, \text{kg} \).
3. Calculer l’intensité de la force d’attraction exercée par la Terre sur une personne de masse \( m = 80 \, \text{kg} \) à la surface de la Terre. \( R_T = 6380 \, \text{km} \).

1. \( F = G \dfrac{M_J \, m_S}{D_{min}^2} \).
\( D_{min} = 7{,}2167 \times 10^8 \, \text{m} \).
\( F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1{,}9 \times 10^{27} \times 800}{(7{,}2167 \times 10^8)^2} \).
Numérateur : \( 1{,}9 \times 800 = 1520 \) → \( 1{,}52 \times 10^3 \times 10^{27} = 1{,}52 \times 10^{30} \).
Dénominateur : \( (7{,}2167)^2 \approx 52{,}08 \times 10^{16} = 5{,}208 \times 10^{17} \).
\( F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{1{,}52 \times 10^{30}}{5{,}208 \times 10^{17}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}918 \times 10^{12} \approx 1{,}95 \times 10^{2} \, \text{N} \), soit environ \( 195 \, \text{N} \).

2. Terre–Lune : \( F = G \dfrac{M_T M_L}{D_{T-L}^2} \).
\( D = 3{,}84 \times 10^8 \, \text{m} \).
\( F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}98 \times 10^{24} \times 7{,}34 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2} \).
\( = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4{,}389 \times 10^{47}}{1{,}4746 \times 10^{17}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}976 \times 10^{30} \approx 1{,}98 \times 10^{20} \, \text{N} \).
Représentation : échelle 1 cm = \( 10^{19} \, \text{N} \) → vecteur de 19,8 cm.

3. Terre–personne : \( F = G \dfrac{M_T m}{R_T^2} \).
\( R_T = 6{,}38 \times 10^6 \, \text{m} \).
\( F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}98 \times 10^{24} \times 80}{(6{,}38 \times 10^6)^2} \).
\( = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{4{,}784 \times 10^{26}}{4{,}070 \times 10^{13}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}175 \times 10^{13} \approx 784 \, \text{N} \).
C’est le poids de la personne : \( P = m g \approx 80 \times 9{,}8 = 784 \, \text{N} \).

1. Déterminer l’intensité de la pesanteur sur la Lune.
2. En déduire le poids sur la Terre et sur la Lune d’un astronaute de masse \( m = 70 \, \text{kg} \).

Données : \( M_L = 7{,}35 \times 10^{22} \, \text{kg} \), \( R_L = 1{,}75 \, \text{Mm} = 1{,}75 \times 10^6 \, \text{m} \).

1. \( g_L = G \dfrac{M_L}{R_L^2} \).
\( g_L = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{7{,}35 \times 10^{22}}{(1{,}75 \times 10^6)^2} \).
\( (1{,}75)^2 = 3{,}0625 \times 10^{12} \).
\( g_L = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{7{,}35 \times 10^{22}}{3{,}0625 \times 10^{12}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}40 \times 10^{10} \approx 1{,}60 \, \text{N/kg} \).

2. Poids sur Terre : \( P_T = m g_T \) avec \( g_T \approx 9{,}8 \, \text{N/kg} \) → \( P_T = 70 \times 9{,}8 = 686 \, \text{N} \).
Poids sur Lune : \( P_L = m g_L = 70 \times 1{,}60 = 112 \, \text{N} \).
L’astronaute pèse environ 6 fois moins sur la Lune.

1. Calculer \( g_{0T} \) à Casablanca (Terre) : \( R_T = 6375 \, \text{km} \), \( M_T = 6{,}1 \times 10^{24} \, \text{kg} \).
2. Calculer \( g_{0L} \) à la surface de la Lune : \( M_L = 7{,}35 \times 10^{22} \, \text{kg} \), \( R_L = 1740 \, \text{km} \).
3. Comparer \( g_{0T} \) et \( g_{0L} \).

1. \( g_{0T} = G \dfrac{M_T}{R_T^2} \).
\( R_T = 6{,}375 \times 10^6 \, \text{m} \), \( R_T^2 = 4{,}064 \times 10^{13} \).
\( g_{0T} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{6{,}1 \times 10^{24}}{4{,}064 \times 10^{13}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 1{,}501 \times 10^{11} \approx 10{,}0 \, \text{N/kg} \).
(Valeur légèrement supérieure à 9,8 car \( M_T \) donnée est un peu plus grande).

2. \( R_L = 1{,}740 \times 10^6 \, \text{m} \), \( R_L^2 = 3{,}0276 \times 10^{12} \).
\( g_{0L} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{7{,}35 \times 10^{22}}{3{,}0276 \times 10^{12}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}428 \times 10^{10} \approx 1{,}62 \, \text{N/kg} \).

3. \( g_{0T} \approx 10 \, \text{N/kg} \), \( g_{0L} \approx 1{,}62 \, \text{N/kg} \). \( g_{0T} \approx 6{,}2 \times g_{0L} \). La pesanteur lunaire est environ 6 fois plus faible.

Calculer la valeur de la force d’attraction gravitationnelle \( F_{sat/T} \) exercée par la Terre sur un satellite en orbite à l’altitude \( h = 36000 \, \text{km} \). Représenter cette force par une échelle adaptée.

Données : \( G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{SI} \), \( m_S = 10 \, \text{t} = 10^4 \, \text{kg} \), \( R_T = 6400 \, \text{km} \), \( M_T = 5{,}98 \times 10^{24} \, \text{kg} \).

Distance du centre de la Terre : \( r = R_T + h = 6400 + 36000 = 42400 \, \text{km} = 4{,}24 \times 10^7 \, \text{m} \).
\( F = G \dfrac{M_T \, m_S}{r^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}98 \times 10^{24} \times 10^4}{(4{,}24 \times 10^7)^2} \).
\( = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{5{,}98 \times 10^{28}}{1{,}798 \times 10^{15}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 3{,}326 \times 10^{13} \approx 2{,}22 \times 10^{3} \, \text{N} \), soit \( 2220 \, \text{N} \).
Représentation : échelle 1 cm = 500 N → vecteur de 4,44 cm.

La distance moyenne Terre–Lune varie entre \( d_P = 356375 \, \text{km} \) (périgée) et \( d_A = 406720 \, \text{km} \) (apogée).

1. Exprimer l’intensité \( F \) de la force d’attraction Terre–Lune.
2. Déterminer \( F \) au périgée et à l’apogée.

Données : \( M_T = 6{,}1 \times 10^{24} \, \text{kg} \), \( M_L = \dfrac{M_T}{83} \).

1. \( F = G \dfrac{M_T M_L}{d^2} \). Avec \( M_L = \dfrac{M_T}{83} \), on a \( M_T M_L = \dfrac{M_T^2}{83} \).
Donc \( F = G \dfrac{M_T^2}{83 \, d^2} \).

2. Calculons \( M_T^2 = (6{,}1 \times 10^{24})^2 = 37{,}21 \times 10^{48} = 3{,}721 \times 10^{49} \).
\( G = 6{,}67 \times 10^{-11} \).
Au périgée : \( d_P = 3{,}56375 \times 10^8 \, \text{m} \), \( d_P^2 = 1{,}270 \times 10^{17} \).
\( F_P = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{3{,}721 \times 10^{49}}{83 \times 1{,}270 \times 10^{17}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{3{,}721 \times 10^{49}}{1{,}054 \times 10^{19}} \).
\( = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 3{,}531 \times 10^{30} \approx 2{,}36 \times 10^{20} \, \text{N} \).
À l’apogée : \( d_A = 4{,}0672 \times 10^8 \, \text{m} \), \( d_A^2 = 1{,}654 \times 10^{17} \).
\( F_A = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{3{,}721 \times 10^{49}}{83 \times 1{,}654 \times 10^{17}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{3{,}721 \times 10^{49}}{1{,}373 \times 10^{19}} \).
\( = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 2{,}710 \times 10^{30} \approx 1{,}81 \times 10^{20} \, \text{N} \).
La force est plus grande au périgée (environ \( 2{,}36 \times 10^{20} \, \text{N} \)) qu’à l’apogée (\( 1{,}81 \times 10^{20} \, \text{N} \)).