📈 Série d’exercices – Convergence de suites

Déterminer si la suite converge et trouver sa limite éventuelle
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Problèmes 1 à 35

📖 Énoncés

Pour chacun des problèmes 1 à 35, déterminer si la suite \(\{a_n\}\) converge, et trouver sa limite dans l’affirmative.

1.
\(a_n = \dfrac{2n}{5n - 3}\)
2.
\(a_n = \dfrac{1 - n^2}{2 + 3n^2}\)
3.
\(a_n = \dfrac{n^2 - n + 7}{2n^3 + n^2}\)
4.
\(a_n = \dfrac{n^3}{10n^2 + 1}\)
5.
\(a_n = 1 + \left(\frac{9}{10}\right)^n\)
6.
\(a_n = 2 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\)
7.
\(a_n = 1 + (-1)^n\)
8.
\(a_n = \dfrac{1 + (-1)^n}{\sqrt{n}}\)
9.
\(a_n = \dfrac{1 + (-1)^n}{\left(\frac{3}{2}\right)^n}\)
10.
\(a_n = \dfrac{\sin n}{3^n}\)
11.
\(a_n = \dfrac{\sin^2 n}{\sqrt{n}}\)
12.
\(a_n = \sqrt{\dfrac{2 + \cos n}{n}}\)
13.
\(a_n = n \sin(\pi n)\)
14.
\(a_n = n \cos(\pi n)\)
15.
\(a_n = \pi^{-(\sin n)/n}\)
16.
\(a_n = 2^{\cos(n\pi)}\)
17.
\(a_n = \dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}\)
18.
\(a_n = \dfrac{\ln(2n)}{\ln(3n)}\)
19.
\(a_n = \dfrac{(\ln n)^2}{n}\)
20.
\(a_n = n \sin\left(\frac{1}{n}\right)\)
21.
\(a_n = \dfrac{\tan^{-1} n}{n}\)
22.
\(a_n = \dfrac{n^3}{e^{n/10}}\)
23.
\(a_n = \dfrac{2^n + 1}{e^n}\)
24.
\(a_n = \dfrac{\sinh n}{\cosh n}\)
25.
\(a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\)
26.
\(a_n = (2n + 5)^{1/n}\)
27.
\(a_n = \left(\frac{n - 1}{n + 1}\right)^n\)
28.
\(a_n = (0.001)^{-1/n}\)
29.
\(a_n = \sqrt[n]{2^{n+1}}\)
30.
\(a_n = \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n\)
31.
\(a_n = \left(\frac{2}{n}\right)^{3/n}\)
32.
\(a_n = (-1)^n (n^2 + 1)^{1/n}\)
33.
\(a_n = \left(\dfrac{2 - n^2}{3 + n^2}\right)^n\)
34.
\(a_n = \dfrac{\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 - \sqrt{n}}\)
35.
\(a_n = \dfrac{\left(\frac{2}{3}\right)^n}{\left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{9}{10}\right)^n}\)

Problèmes 36 à 43

📖 Énoncés (démonstrations et suites récurrentes)
  1. Supposons que \( \lim_{n \to \infty} a_n = A \). Montrer que \( \lim_{n \to \infty} |a_n| = |A| \).
  2. Montrer que \( \{(-1)^n a_n\} \) diverge si \( \lim_{n \to \infty} a_n = A \neq 0 \).
  3. Supposons que \( \{a_n\} \) est une suite croissante et non majorée. Montrer que \( \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \).
  4. Soit \( A > 0 \). On choisit \( x_1 \) arbitraire et on définit la suite récurrente \( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{A}{x_n} \right) \) pour \( n \ge 1 \). Montrer que si \( L = \lim_{n \to \infty} x_n \) existe, alors \( L = \pm \sqrt{A} \).
  5. Soit \( \{F_n\} \) la suite de Fibonacci. On suppose que \( \tau = \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} \) existe. Montrer que \( \tau = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) \).
  6. Soit la suite définie par \( a_1 = 2 \) et \( a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + 4) \) pour \( n \ge 1 \).
    (a) Montrer par récurrence que \( a_n < 4 \) pour tout \( n \) et que \( \{a_n\} \) est croissante.
    (b) Trouver la limite de cette suite.
  7. Pour chaque entier \( n \ge 1 \), soit \( a_n \) le plus grand multiple entier de \( 1/10^n \) tel que \( a_n^2 \le 2 \).
    (a) Montrer que \( \{a_n\} \) est croissante et majorée, donc \( A = \lim a_n \) existe.
    (b) Montrer que si \( A^2 > 2 \), alors \( a_n^2 > 2 \) pour \( n \) suffisamment grand.
    (c) Montrer que si \( A^2 < 2 \), alors \( a_n^2 < B \) pour un certain \( B < 2 \) et pour tout \( n \) assez grand.
    (d) Conclure que \( A^2 = 2 \).
  8. (a) Élever au carré l’équation de récurrence \( a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} \) (suite de l’exemple 12) pour montrer que si \( a_n < 2 \), alors \( a_{n+1} < 2 \). Pourquoi cela implique-t-il que \( a_n < 2 \) pour tout \( n \) ?
    (b) Calculer \( (a_{n+1})^2 - a_n^2 \) pour montrer que \( a_{n+1} > a_n \) pour tout \( n \).

📝 Remarque

Ces exercices couvrent les critères classiques de convergence : limites de fractions rationnelles, suites géométriques, comparaison exponentielle/puissance, encadrement, suites récurrentes, et théorèmes sur les limites. Les corrigés sont disponibles sur demande.

آخر تعديل: الاثنين، 15 يونيو 2026، 1:54 AM