🎓 Concours ENSAM 2022 · Correction intégrale


QCM 01 suite & encadrement
S n = n n 2 + 1 + n n 2 + 2 + ... + n n 2 + n
A : lim S n = 1 2 B : lim S n = 1 C : divergente D : lim S n = 0
✧ Correction
∀ k ∈ { 1 , 2 , ... , n } : n n 2 + n ≤ n n 2 + k ≤ n n 2 + 1
⇒ n 2 n 2 + n ≤ S n ≤ n 2 n 2 + 1
Or lim n → + ∞ n 2 n 2 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 + 1 = 1 donc lim n → + ∞ S n = 1
✅ Réponse B
QCM 02 distance point-droite
A ( 1 , − 2 , − 1 ) et ( D ) : x − 1 2 = y + 1 = z
A : 2 3 cm B : 3 3 cm C : 2 2 3 cm D : 2 3 3 cm
✧ Correction
( D ) : { x = 1 + 2 t y = − 1 + t z = t
B → ( 1 , − 1 , 0 ) et u → ( 2 , 1 , 1 ) ; BA → = − j → − k → ; BA → ∧ u → = − 2 j → + 2 k →
d ( A , ( D ) ) = | BA → ∧ u → | | u → | = 2 2 + 2 2 2 2 + 1 2 + 1 2 = 2 2 6 = 2 3 3 cm
✅ Réponse D
QCM 03 ensemble de points
A = { M ( z ) / ( z − 3 i ) ( z ¯ + 3 i ) = 2 }
A : un demi-plan B : une droite C : un cercle D : union de deux demi-droites
✧ Correction
M ( z ) ∈ A ⇨ ( z − 3 i ) ( z ¯ − 3 i ) = 2
⇨ | z − 3 i | 2 = 2 ⇨ | z − 3 i | = 2
⇒ A est le cercle de centre Ω ( 3 i ) et de rayon 2
✅ Réponse C
QCM 04 limite avec produit
f ( 0 ) = 0 et f ′ ( 0 ) = 1 ; lim x → 0 f ( x ) f ( 2 x ) ... f ( n x ) x n
A : 1 B : n ! C : n D : 1 n
✧ Correction
f ( x ) f ( 2 x ) ... f ( n x ) x n = ∏ k = 1 n f ( k x ) x = ∏ k = 1 n k f ( k x ) k x
Or lim x → 0 f ( k x ) k x = f ′ ( 0 ) = 1 donc lim x → 0 f ( x ) f ( 2 x ) ... f ( n x ) x n = ∏ k = 1 n k = n !
✅ Réponse B
QCM 05 asymptote
f ( x ) = ln ( x ) x − x e x 1 + e x
A : y = x B : y = − x C : asymptote verticale D : branche parabolique
✧ Correction
lim x → + ∞ f ( x ) = − ∞ et lim x → + ∞ f ( x ) x = − 1
lim x → + ∞ ( f ( x ) + x ) = lim x → + ∞ ( ln ( x ) x − x e x 1 + e x + x ) = 0
⇒ asymptote oblique d'équation y = − x
✅ Réponse B
QCM 06 demi-tangentes
g ( x ) = x 1 − e 1 x si x ≠ 0 et g ( 0 ) = 0
A : non bornée B : tangente verticale C : tangente horizontale D : demi-tangente oblique
✧ Correction
lim x → 0 + g ( x ) x = lim x → 0 + 1 1 − e 1 x = 0
lim x → 0 − g ( x ) x = lim x → 0 − 1 1 − e 1 x = 1
⇒ demi-tangente horizontale à droite, oblique à gauche
✅ Réponse E (autre réponse)
QCM 07 suite récurrente
U 0 = 1 2 et U n + 1 = U n 2 + 3 16
A : divergente B : 4 C : 1 4 D : 3 4
✧ Correction
( U n ) décroissante ⇒ ∀ n ∈ ℕ : U n ≤ U 0 = 1 2 et U n ≥ 0
⇒ ∀ n ∈ ℕ : 3 16 ≤ U n ≤ 1 2
( U n ) convergente. Soit l sa limite : l = l 2 + 3 16 ⇨ l = 1 4 ou l = 3 4
Comme ( U n ) est décroissante et U 0 = 1 2 alors l ≤ 1 2 donc l = 1 4
✅ Réponse C
QCM 08 intégrale & limite
I n = ∫ 0 1 ( 1 − x ) n e − n x dx
A : 1 e B : e C : divergente D : 0
✧ Correction
∀ x ∈ [ 0 , 1 ] : 0 ≤ ( 1 − x ) n e − n x ≤ e − n x
0 ≤ I n ≤ ∫ 0 1 e − n x dx = 1 − e − n n
Or lim n → + ∞ 1 − e − n n = 0 donc lim n → + ∞ I n = 0
✅ Réponse D
QCM 09 divisibilité polynôme
P ( X ) = n X n + 1 − ( n + 1 ) X n + 1
A : ( X − 1 ) 2 B : non divisible par ( X − 1 ) C : ( X − 2 ) D : autre réponse
✧ Correction
P ( X ) = n X n ( X − 1 ) − ( X n − 1 )
= ( X − 1 ) ( n X n − ∑ k = 0 n − 1 X k )
Soit Q ( X ) = n X n − ∑ k = 0 n − 1 X k ; Q ( 1 ) = n − n = 0 donc ( X − 1 ) divise Q ( X )
⇒ ( X − 1 ) 2 divise P ( X )
✅ Réponse A
QCM 10 équation & bijection
e − 2 x − 2 x + 3 = 0 dans ℝ +
A : 2 solutions B : > 3 solutions C : 0 solution D : 1 solution unique
✧ Correction
f ( x ) = e − 2 x − 2 x + 3 ; f ′ ( x ) = − 2 ( e − 2 x + 1 ) < 0
f est strictement décroissante sur ℝ + ; f ( 0 ) = 1 + 3 > 0 et lim x → + ∞ f ( x ) = − ∞
⇒ f réalise une bijection de ℝ + vers ] − ∞ , 1 + 3 ] ; 0 ∈ ] − ∞ , 1 + 3 ]
⇒ l'équation admet une solution unique
✅ Réponse D
QCM 11 inégalité fonctionnelle
∀ x ∈ ℝ : f ( 2021 x + 2022 ) ≤ 2021 x ≤ f ( 2021 x ) + 2022
A : degré 2, f ( 2022 ) ≤ 0 B : degré 2, f ( 2021 ) ≥ − 1 C : degré 1, f ( 2022 ) = 0 D : constante
✧ Correction
x ↦ 2021 x est bijective ⇒ ∀ x ∈ ℝ : f ( x + 2022 ) ≤ x ≤ f ( x ) + 2022
⇒ f ( x ) ≤ x − 2022 ≤ f ( x ) donc f ( x ) = x − 2022
⇒ f est un polynôme de degré 1 et f ( 2022 ) = 0
✅ Réponse C
QCM 12 inéquation trigonométrique
sin ( x ) + 2 sin ( y ) + 3 ≤ 0 dans ] − π , π ] 2
A : 2 solutions B : 0 solution C : 1 solution unique D : ∞ solutions
✧ Correction
∀ ( x , y ) ∈ ℝ 2 : sin ( x ) + 2 sin ( y ) + 3 ≥ 0
L'inéquation est équivalente à sin ( x ) + 2 sin ( y ) + 3 = 0
⇨ ( 1 + sin ( x ) ) + 2 ( 1 + sin ( y ) ) = 0 (somme de termes positifs)
⇒ sin ( x ) = − 1 et sin ( y ) = − 1 donc ( x , y ) = ( − π 2 , − π 2 )
✅ Réponse C
QCM 13 équation diophantienne
x 2 − y 2 − 21 = 0 dans ℕ 2
A : 2 solutions B : 0 solution C : 1 solution D : ∞ solutions
✧ Correction
x 2 − y 2 = 21 ⇨ ( x − y ) ( x + y ) = 21
x , y ∈ ℕ donc x − y ≤ x + y et de même parité
( x − y , x + y ) = ( 1 , 21 ) ou ( 3 , 7 ) donc ( x , y ) = ( 11 , 10 ) ou ( 5 , 2 )
✅ Réponse A
QCM 14 divisibilité par 3
a , b , c ∈ ℤ tels que 3 | ( a 3 + b 3 + c 3 ) et S = a + b + c
A : S et 3 premiers entre eux B : S premier C : S multiple de 3 D : S pair
✧ Correction
∀ n ∈ ℤ : 3 | ( n 3 − n )
⇒ a 3 − a + b 3 − b + c 3 − c ≡ 0 [ 3 ]
⇒ ( a 3 + b 3 + c 3 ) − ( a + b + c ) ≡ 0 [ 3 ]
Comme a 3 + b 3 + c 3 ≡ 0 [ 3 ] alors a + b + c ≡ 0 [ 3 ]
✅ Réponse C
QCM 15 théorème de Fermat
N = 1 2021 + 2 2021 + 3 2021 + 4 2021
A : nombre premier B : non divisible par 5 C : impair D : multiple de 5
✧ Correction
2021 = 4 × 505 + 1
N ≡ 1 + 2 4 ) 505 × 2 + ( 3 4 ) 505 × 3 + ( 4 4 ) 505 × 4   [ 5 ]
D'après le th. de Fermat : 2 4 ≡ 3 4 ≡ 4 4 ≡ 1 [ 5 ]
N ≡ 1 + 2 + 3 + 4 ≡ 10 ≡ 0 [ 5 ] donc multiple de 5
✅ Réponse D
QCM 16 dénombrement
Digicode : lettres du mot ENSAM et chiffres non nuls distincts. Code = 3 lettres + 4 chiffres, exactement 2 lettres identiques.
181440 362880 90720 60480
✧ Correction
1) Choix des lettres : C 5 1 × C 4 1 = 5 × 4 = 20
2) Choix des positions des lettres : C 3 2 = 3
3) Choix des chiffres : A 9 4 = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024
N = 20 × 3 × 3024 = 181440
✅ Réponse : 181440
QCM 17 probabilité conditionnelle
P ( V ) = 1 3 ; P ( M ) = 1 5 ; P M ( V ) = 2 15
1 10 2 25 1 5 3 25
✧ Correction
D'après la formule de Bayes : P V ( M ) = P ( M ) × P M ( V ) P ( V )
= 1 5 × 2 15 1 3 = 2 75 × 3 = 6 75 = 2 25
✅ Réponse : 2/25
QCM 18 racines de l'unité
α racine de P ( z ) = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 ; a = α + α 4 ; b = α 2 + α 3
a + b = − 1 ; ab = − 1 cos ( 2 π 5 ) = − 1 + 5 4
✧ Correction
P ( α ) = 0 ⇒ 1 + a + b = 0 ⇒ a + b = − 1
ab = ( α + α 4 ) ( α 2 + α 3 ) = α 3 + α 4 + α 6 + α 7 = a + b = − 1
a et b solutions de x 2 + x − 1 = 0 ⇒ a = − 1 + 5 2
a = α + α 4 = 2 cos ( 2 π 5 ) ⇒ cos ( 2 π 5 ) = − 1 + 5 4
✅ Réponse : a+b=-1, ab=-1, cos(2π/5)=(-1+√5)/4
QCM 19 limite
lim x → 0 + e x − cos ( x ) x
1 2 1 3 2 2
✧ Correction
lim x → 0 + e x − 1 x = 1 et lim x → 0 + 1 − cos ( x ) x = lim t → 0 + 1 − cos ( t ) t 2 = 1 2
⇒ lim x → 0 + e x − cos ( x ) x = 1 + 1 2 = 3 2
✅ Réponse : 3/2
QCM 20 intégration par parties
I = ∫ 0 π 3 x cos 2 ( x ) dx
π 3 3 + ln ( 2 ) π 3 3 − ln ( 2 ) π 3 3 + ln ( 1 2 ) π 3 3
✧ Correction
I = ∫ 0 π 3 x ( tan x ) ′ dx = [ x tan x ] 0 π 3 − ∫ 0 π 3 tan x dx
= π 3 3 + [ ln ( cos x ) ] 0 π 3 = π 3 3 + ln ( 1 2 ) = π 3 3 − ln ( 2 )
✅ Réponse : π√3/3 − ln(2)
QCM 21 volume de rotation
f ( x ) = ln ( x + 2 ) x + 2 sur [ 0 , 2 ] ; | i → | = | j → | = 2 cm
13 π 12 ln 3 ( 2 ) cm 3 13 π 6 ln 3 ( 2 ) cm 3 26 π 3 ln 3 ( 2 ) cm 3 13 π 3 ln 3 ( 2 ) cm 3
✧ Correction
V = π ∫ 0 2 ( ln ( x + 2 ) x + 2 ) 2 dx = π ∫ 0 2 ln 2 ( x + 2 ) x + 2 dx
= π [ 1 3 ln 3 ( x + 2 ) ] 0 2 = π 3 ( ln 3 ( 2 2 ) − ln 3 ( 2 ) )
= π 3 ( 27 8 ln 3 ( 2 ) − 1 8 ln 3 ( 2 ) ) = 13 π 12 ln 3 ( 2 ) cm 3
Avec l'échelle ( | i → | = | j → | = 2 ) : V = 13 π 12 ln 3 ( 2 ) × 8 = 26 π 3 ln 3 ( 2 ) cm 3
✅ Réponse : 26π/3 × ln³(2) cm³
QCM 22 rotation complexe
a = − 3 + i ; b = i a ¯ ; C = r ( A ) rotation d'angle π 3
OBC isocèle rectangle en O OBC équilatéral OBC rectangle en B OBC isocèle en C
✧ Correction
c = e i π 3 a ; Z = b c = i a ¯ e i π 3 a
a = 2 e 5 i π 6 ; a ¯ = 2 e − 5 i π 6 ; i = e i π 2
Z = e i π 2 e − 5 i π 6 e i π 3 e 5 i π 6 = e − 5 i π 3 = e i π 3
⇒ | Z | = 1 donc OB = OC ; arg ( Z ) = π 3 donc ( OC → , OB → ) = π 3
⇒ triangle OBC équilatéral
✅ Réponse : triangle équilatéral
QCM 23 sphère et plan
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z + 1 = 0
A ( 2 , − 1 , 2 ) ; B ( 3 , − 3 , 1 ) ; C ( 1 , − 2 , − 1 )
cercle de centre C et rayon 5 cercle de centre O et rayon 5 point ∅
✧ Correction
( S ) : ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 5
⇒ centre Ω ( 1 , − 2 , − 1 ) = C et rayon 5
Le plan (ABC) passe par C donc par le centre de la sphère.
⇒ l'intersection est un cercle de centre C et de rayon 5
✅ Réponse : cercle de centre C et rayon √5
QCM 24 équation différentielle
( E ) : y ″ − 4 y ′ + 4 y = ( x − 2 ) e x
y ( x ) = ( 3 x − 2 ) e 2 x + x e x y ( x ) = ( 2 x − 3 ) e 2 x + x e x y ( x ) = ( 3 x + 2 ) e 2 x + x e x y ( x ) = ( − 3 x + 2 ) e 2 x + x e x
✧ Correction
Équation caractéristique : r 2 − 4 r + 4 = 0 ⇨ ( r − 2 ) 2 = 0 ⇨ r = 2
y 0 ( x ) = ( α x + β ) e 2 x + x e x
y 0 ( 0 ) = − 2 ⇨ β = − 2
y 0 ′ ( 0 ) = 0 ⇨ α + 2 β + 1 = 0 ⇨ α = 3
⇒ y 0 ( x ) = ( 3 x − 2 ) e 2 x + x e x
✅ Réponse : y₀(x) = (3x−2)e²ˣ + xeˣ
QCM 25 optimisation géométrique
Demi-cercle de diamètre 2 cm. Rectangle H M N K inscrit.
1 cm 2 2 cm 2 1 2 cm 2 3 2 cm 2
✧ Correction
O M = 1 cm ; soit θ = ∥ OH → , OM → ∥
O H = cos θ ; H M = sin θ
S = H M × M N = sin θ × 2 cos θ = sin ( 2 θ )
Max de sin ( 2 θ ) est 1, atteint pour θ = π 4
⇒ S max = 1 cm 2
✅ Réponse : 1 cm²