Concours Blanc 2020 · Mathématiques

AVS · Groupe Akadémic · Préparation à la faculté de Médecine, Pharmacie et Dentaire

QCM 41 suite géométrique & arithmétique

(U_{n})

géométrique,

U_{0} = 2

, raison

q = 4

V_{n} = \ln (U_{n})

A : \frac{1}{4}

B : \ln (4)

C : 2 \ln (4)

D : - 2 \ln (2)

E : - 1

✧ Correction

U_{n} = U_{0} \times q^{n} = 2 \times 4^{n}

V_{n} = \ln (2 \times 4^{n}) = \ln (2) + n \ln (4)

\Rightarrow V_{n} est une suite arithmétique de raison \ln (4)

✅ Réponse B

QCM 42 limite de suite

u_{0} = 2020 et \forall n \in ℕ : u_{n + 1} = (u_{n})^{2020}

A : + \infty

B : 0

C : 1

D : - \infty

E : Autre réponse

✧ Correction

u_{0} = 2020 > 1; u_{1} = 2020^{2020} > 1

Pour u > 1 et n > 1 : u^{n} > u donc la suite est croissante et non majorée

\Rightarrow \lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty

✅ Réponse A

QCM 43 série géométrique

S_{n} = 1 - \frac{1}{e} + \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{e^{3}} + ... - \frac{(- 1)^{n}}{e^{n}}

A : - \frac{1}{e + 1}

B : - \frac{e}{e + 1}

C : - \frac{1}{1 - e}

D : \frac{1}{e + 1}

E : - \frac{1}{e + 1}

✧ Correction

S_{n} = \frac{1 - {(- \frac{1}{e})}^{n + 1}}{1 - (- \frac{1}{e})} = \frac{1 - {(- \frac{1}{e})}^{n + 1}}{1 + \frac{1}{e}}

Comme | - \frac{1}{e} | = \frac{1}{e} < 1 alors \lim_{n \to + \infty} {(- \frac{1}{e})}^{n + 1} = 0

\Rightarrow \lim_{n \to + \infty} S_{n} = \frac{1}{1 + \frac{1}{e}} = \frac{e}{e + 1}

✅ Réponse D (e/(e+1))

QCM 44 limite exponentielle

\lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{3 n})^{2 n}

A : 1

B : e^{\sqrt{e}}

C : \frac{e^{2}}{3}

D : e^{\frac{2}{3}}

E : + \infty

✧ Correction

(1 + \frac{1}{3 n})^{2 n} = e^{2 n \ln (1 + \frac{1}{3 n})}

\ln (1 + \frac{1}{3 n}) \sim \frac{1}{3 n} donc 2 n \ln (1 + \frac{1}{3 n}) \to \frac{2}{3}

\Rightarrow \lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{3 n})^{2 n} = e^{\frac{2}{3}}

✅ Réponse D

QCM 45 continuité

h (x) = \frac{\cos (\frac{π}{2} x)}{x - 1} si x \neq 1 et h (1) = a

A : \frac{π}{2}

B : π - 1

C : 1 - \frac{π}{2}

D : 1

E : 0

✧ Correction

Pour que h soit continue en 1, il faut : \lim_{x \to 1} h (x) = h (1) = a

\lim_{x \to 1} \frac{\cos (\frac{π}{2} x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2} x)}{1} = - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) = - \frac{π}{2}

✅ Réponse Aucune (la limite est -π/2, non proposée)

QCM 46 limite à l'infini

\lim_{x \to + \infty} \frac{6 x + \cos (3 x)}{3 x + 2}

A : 0

B : 6

C : 2

D : N'existe pas

E : + \infty

✧ Correction

\frac{6 x + \cos (3 x)}{3 x + 2} = \frac{6 x}{3 x} + \frac{\cos (3 x)}{3 x + 2} \to 2 + 0 = 2

Car | \cos (3 x) | \leq 1 donc \frac{\cos (3 x)}{3 x + 2} \to 0

✅ Réponse C (2)

QCM 47 limite à droite

f (x) = \frac{\sqrt{x + x^{2}} - \sqrt{x}}{\sqrt{3 x} \ln (1 + x)}

A : \frac{1}{2 \sqrt{3}}

B : \frac{1}{3 \sqrt{3}}

C : + \infty

D : 0

E : \frac{\sqrt{3}}{2}

✧ Correction

\sqrt{x + x^{2}} = \sqrt{x} \sqrt{1 + x}

\frac{\sqrt{x} (\sqrt{1 + x} - 1)}{\sqrt{3 x} \ln (1 + x)} = \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sqrt{3} \ln (1 + x)}

\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{1 + x}}{-} = \frac{1}{2} et \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1

\Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{3}}

✅ Réponse A

QCM 48 domaine de définition

f (x) = \ln (\frac{x^{3}}{x^{2} - 1})

A : ℝ

B : ℝ ∖ {- 1, 1}

C :] - 1, 1 [

D :] - 1, 0 [\cup] 1, + \infty [

E :] - \infty, - 1 [\cup {0}

✧ Correction

Il faut \frac{x^{3}}{x^{2} - 1} > 0 et x^{2} - 1 \neq 0

\frac{x^{3}}{x^{2} - 1} > 0 ⇨ tableau de signes

x^{3} > 0 pour x > 0; x^{2} - 1 > 0 pour | x | > 1

\Rightarrow D =] - 1, 0 [\cup] 1, + \infty [

✅ Réponse D

QCM 50 intégrale trigonométrique

\int_{0}^{π} \sin (3 x) \cos (2 x) dx

A : \frac{5}{6}

B : \frac{π}{6}

C : \frac{6}{5}

D : 1

E : \frac{8}{5}

✧ Correction

\sin (3 x) \cos (2 x) = \frac{1}{2} (\sin (5 x) + \sin (x))

\int_{0}^{π} \sin (3 x) \cos (2 x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} (\sin (5 x) + \sin (x)) dx

= \frac{1}{2} {[- \frac{1}{5} \cos (5 x) - \cos (x)]}_{0 π}

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{5} \cos (5 π) - \cos (π) + \frac{1}{5} \cos (0) + \cos (0))

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{5} \times (- 1) - (- 1) + \frac{1}{5} + 1) = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} + 1 + \frac{1}{5} + 1) = \frac{6}{5}

✅ Réponse C (6/5)

QCM 51 intégrale parité

\int_{-}^{2} (2 x^{2} + | x | + 1) \sin (3 x) dx

A : \sin (6)

B : \sin (6) - \cos (6)

C : 0

D : \sin (6) + \cos (6)

E : 2

✧ Correction

g (x) = 2 x^{2} + | x | + 1 est paire

\sin (3 x) est impaire

\Rightarrow g (x) \sin (3 x) est impaire

\Rightarrow \int_{-}^{a} (fonction impaire) = 0

✅ Réponse C (0)

QCM 52 argument complexe

\arg (1 - e^{- \frac{i π}{6}})

A : \frac{5 π}{12}

B : \frac{7 π}{12}

C : - \frac{π}{12}

D : \frac{π}{12}

E : \frac{π}{6}

✧ Correction

1 - e^{- \frac{i π}{6}} = e^{- \frac{i π}{12}} (e^{\frac{i π}{12}} - e^{- \frac{i π}{12}}) = e^{- \frac{i π}{12}} (2 i \sin (\frac{π}{12}))

= e^{- \frac{i π}{12}} \times 2 \sin (\frac{π}{12}) e^{\frac{i π}{2}} = 2 \sin (\frac{π}{12}) e^{\frac{i π}{2} - \frac{i π}{12}}

= 2 \sin (\frac{π}{12}) e^{\frac{5 i π}{12}}

\Rightarrow \arg (1 - e^{- \frac{i π}{6}}) \equiv \frac{5 π}{12} [2 π]

✅ Réponse A

QCM 53 rotation complexe

A (1 - i \sqrt{3})

image par rotation de centre O et d'angle

\frac{π}{6}

A : \sqrt{3} + 2 i

B : - 1 - i \sqrt{3}

C : 2

D : - 1 + i \sqrt{3}

E : \sqrt{3} - i

✧ Correction

a = 1 - i \sqrt{3} = 2 (\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 e^{- \frac{i π}{3}}

z^{'} = e^{\frac{i π}{6}} a = 2 e^{\frac{i π}{6} - \frac{i π}{3}} = 2 e^{- \frac{i π}{6}} = \sqrt{3} - i

✅ Réponse E

QCM 54 ensemble de points

(1 - z) (2 + \bar{z}) \in i ℝ

A : axe des ordonnées

B : axe des abscisses

C : cercle centre Ω (- \frac{1}{2}, 0)

D : cercle centre Ω (0, \frac{1}{2})

E : cercle rayon \frac{2}{3}

✧ Correction

z = x + i y; (1 - z) (2 + \bar{z}) \in i ℝ signifie partie réelle nulle

Re ((1 - z) (2 + \bar{z})) = 0

(1 - x - i y) (2 + x - i y) partie réelle : (1 - x) (2 + x) - y^{2} = 0

\Rightarrow 2 + x - 2 x - x^{2} - y^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} + y^{2} + x - 2 = 0

(x + \frac{1}{2})^{2} + y^{2} = \frac{9}{4} : cercle centre (- \frac{1}{2}, 0)

✅ Réponse C

QCM 55 asymptote

h (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 13}{x - 2}

A : y = x

B : y = x - 4

C : y = x + 4

D : y = - x

E : y = 0

✧ Correction

\frac{x^{2} + 2 x - 13}{x - 2} = x + 4 + \frac{- 5}{x - 2}

Division euclidienne : x^{2} + 2 x - 13 = (x - 2) (x + 4) - 5

\Rightarrow asymptote oblique : y = x + 4

✅ Réponse C

QCM 56 dérivée

f (x) = (\frac{1}{x})^{x} pour x > 0

A : x (\frac{1}{x})^{x - 1}

B : - (1 + \ln (x)) (\frac{1}{x})^{x}

C : (1 + \ln (x)) (\frac{1}{x})^{x}

D : - (1 - \ln (x)) (\frac{1}{x})^{x}

E : (- 1 + \ln (x)) (\frac{1}{x})^{x}

✧ Correction

f (x) = e^{x \ln (\frac{1}{x})} = e^{- x \ln (x)}

f^{'} (x) = - (\ln (x) + 1) e^{- x \ln (x)} = - (1 + \ln (x)) (\frac{1}{x})^{x}

✅ Réponse B

QCM 57 primitive

f (x) = \frac{x - 1}{(x + 1)^{2}} pour x > - 1

A : \ln (x + 1) - \frac{2 x}{x + 1}

B : \frac{2 x}{x + 1}

C : \ln (x + 1) + \frac{x}{x + 1}

D : \ln (\frac{1}{x + 1}) - \frac{2 x}{x + 1}

E : 2 \ln (x + 1) - \frac{x}{x + 1}

✧ Correction

\frac{x - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{x + 1 - 2}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}}

\Rightarrow \int f (x) dx = \ln (x + 1) + \frac{2}{x + 1} + C

Primitive s'annulant en 0 : F (0) = 0 \Rightarrow 0 + 2 + C = 0 \Rightarrow C = - 2

\Rightarrow F (x) = \ln (x + 1) + \frac{2}{x + 1} - 2 = \ln (x + 1) - \frac{2 x}{x + 1}

✅ Réponse A

QCM 58 axe de symétrie

f (x) = \ln (3 x^{2} + 4 x + 1)

A : y = \frac{2}{3}

B : x = \frac{2}{3}

C : x = \frac{1}{3}

D : x = 1

E : x = - \frac{2}{3}

✧ Correction

L'axe de symétrie de f (x) = \ln ({ax}^{2} + bx + c) est x = - \frac{b}{2 a}

Ici a = 3 et b = 4 donc x = - \frac{4}{2 \times 3} = - \frac{2}{3}

✅ Réponse E

QCM 59 centre de symétrie

f (x) = \ln (\frac{x + 1}{x - 2})

A : Ω (- \frac{1}{2}, 0)

B : Ω (\frac{1}{2}, 0)

C : Ω (- \frac{1}{2}, 1)

D : Ω (\frac{1}{2}, 1)

E : Ω (2, 1)

✧ Correction

Pour f (x) = \ln (\frac{x - a}{x - b}) le centre est Ω (\frac{a + b}{2}, 0)

Ici a = - 1 et b = 2 donc \frac{- 1 + 2}{2} = \frac{1}{2}

\Rightarrow Ω (\frac{1}{2}, 0)

✅ Réponse B

QCM 60 équation logarithmique

\ln (x) - 5 x + 20 = 0

A : 1 solution

B : 2 solutions

C : 3 solutions

D : 0 solution

E : Autre réponse

✧ Correction

f (x) = \ln (x) - 5 x + 20 sur] 0, + \infty [

f^{'} (x) = \frac{1}{x} - 5 = \frac{1 - 5 x}{x}

Tableau de variations : f croissante sur] 0, \frac{1}{5} [et décroissante sur] \frac{1}{5}, + \infty [

f (\frac{1}{5}) = - \ln (5) - 1 + 20 = 19 - \ln (5) > 0

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = - \infty et \lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty

\Rightarrow l'équation admet 2 solutions (une dans chaque intervalle)

✅ Réponse B