Concours FMP 2022/2023 · Corrigé

Faculté de Médecine et Pharmacie · QCM 01 à 17

QCM 01 équation complexe

\frac{2 z - 1}{z + 1} = z

A : {- 1, \frac{1}{2}}

B : {\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}

C : {\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}

D : {- 1, \frac{1}{2}}

E : Autre réponse

✧ Correction

2 z - 1 = z (z + 1) ⇨ z^{2} - z + 1 = 0

Δ = - 3 donc z = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}

✅ Réponse C

QCM 02 équation différentielle

f solution de y^{″} + 2 y^{'} + 4 y = 0; g = 2 f est solution de ?

A : y^{″} + 2 y^{'} + 4 y = 0

B : y^{″} + 2 y^{'} + 2 y = 0

C : y^{″} + 4 y^{'} + 4 y = 0

D : y^{″} + 4 y^{'} + 2 y = 0

E : Autre réponse

✧ Correction

Si f est solution, alors 2 f est aussi solution car l'équation est linéaire homogène.

✅ Réponse A

QCM 03 module complexe

z = e^{- i θ} = e^{i θ} avec θ \in [0, π]

A : 2

B : 2 \cos θ

C : 2 \cos (\frac{θ}{2})

D : 2 \sin θ

E : 2 \sin (\frac{θ}{2})

✧ Correction

z = e^{- i θ} - e^{i θ} = - 2 i \sin θ

| z | = 2 | \sin θ | = 2 \sin θ car θ \in [0, π]

✅ Réponse D

QCM 04 limite

\lim_{n \to + \infty} n - \sqrt{n^{2} - n}

A : - \infty

B : 0

C : 1

D : \frac{1}{2}

E : Autre réponse

✧ Correction

n - \sqrt{n^{2} - n} = \frac{n^{2} - (n^{2} - n)}{n + \sqrt{n^{2} - n}} = \frac{n}{n + \sqrt{n^{2} - n}}

\to \frac{1}{2}

✅ Réponse D

QCM 05 plan médiateur

A (1, 2, 3); B (2, 0, 1); M (x, y, z) équidistant

A : x + y + z = 6

B : 2 x - 4 y - 4 z = - 9

C : 2 x - 4 y - 4 = 9

D : {\begin{matrix} x + y + z = 6 \\ 2 x - 4 y - 4 z = - 9 \end{matrix}

E : Autre réponse

✧ Correction

M A = M B ⇨ {MA}^{2} = {MB}^{2}

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = (x - 2)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2}

\Rightarrow 2 x - 4 y - 4 z = - 9

✅ Réponse B

QCM 06 argument complexe

\arg (i z) \equiv \frac{7 π}{6} [2 π]; | z | = \sqrt{2}; Im (z^{3}) = ?

A : 0

B : 2 \sqrt{2}

C : \sqrt{2}

D : - \sqrt{2}

E : - 2 \sqrt{2}

✧ Correction

\arg (i z) = \frac{π}{2} + \arg (z) = \frac{7 π}{6} \Rightarrow \arg (z) = \frac{2 π}{3}

z = \sqrt{2} e^{\frac{2 i π}{3}} \Rightarrow z^{3} = 2 \sqrt{2} e^{2 i π} = 2 \sqrt{2} donc Im = 0

✅ Réponse A

QCM 07 intégrale

\int_{0}^{1} \frac{e^{α x}}{1 + e^{α x}} dx = \frac{1}{α}

A : \ln (e - 1)

B : \ln (2 e - 1)

C : \ln (2 e + 1)

D : \ln (2 e - 1)

E : 2 e + 1

✧ Correction

\frac{e^{α x}}{1 + e^{α x}} = \frac{1}{α} \frac{(1 + e^{α x})^{'}}{1 + e^{α x}}

= \frac{1}{α} {[\ln (1 + e^{α x})]}_{01} = \frac{1}{α} \ln (\frac{1 + e^{α}}{2})

Donc \ln (\frac{1 + e^{α}}{2}) = 1 \Rightarrow \frac{1 + e^{α}}{2} = e \Rightarrow e^{α} = 2 e - 1

✅ Réponse D

QCM 08 similitude complexe

z' = (1 + i \sqrt{3}) z + i; Ω (- \frac{\sqrt{3}}{3})

A : \frac{2 π}{3} [2 π]

B : \frac{π}{3} [2 π]

C : - \frac{2 π}{3} [2 π]

D : - \frac{π}{3} [2 π]

✧ Correction

1 + i \sqrt{3} = 2 e^{\frac{i π}{3}}

\Rightarrow angle de la similitude = \frac{π}{3}

✅ Réponse B

QCM 09 optimisation

ABCD carré de côté 1. E sur [AB], F sur [BC] avec BE = CF = x. Aire minimale de EFD.

A : 0

B : \frac{1}{4}

C : \frac{1}{3}

D : \frac{1}{2}

✧ Correction

S = 1 - \frac{x}{2} - \frac{x (1 - x)}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (1 - x + x^{2})

S'=\frac{1}{2}(-1+2x)=0\Rightarrowx=\frac{1}{2}

✅ Réponse D

QCM 10 module complexe

| z | - z = 3 - i \sqrt{3}

A : 0

B : 2

C : 2 \sqrt{3}

D : 3 \sqrt{2}

E : 7 \sqrt{2}

✧ Correction

z = | z | - 3 + i \sqrt{3}

Soit r = | z | : r^{2} = (r - 3)^{2} + 3 = r^{2} - 6 r + 12

\Rightarrow 6 r = 12 \Rightarrow r = 2

✅ Réponse B

QCM 11 ensemble de points

\frac{| z - 1 |}{| z + i |} = 1

A : médiatrice de [AB]

B : droite (AB)

C : droite (AB) privée de B

D : cercle de diamètre [AB]

E : cercle de diamètre [AB] privé de B

✧ Correction

| z - 1 | = | z + i | donc M est équidistant de A(1) et B(-i)

\Rightarrow médiatrice de [AB]

✅ Réponse A

QCM 12 limite exponentielle

\lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{x}{7 n})^{29 n} = 2022

A : \frac{29}{7} \ln (2022)

B : \frac{2022 \ln (29 / 7)}{29}

C : \frac{2022 \ln (29 / 7)}{29 / 7}

D : \frac{7}{29} \ln (2022)

E : \frac{2022 \ln (7 / 29)}{29}

✧ Correction

(1 + \frac{x}{7 n})^{29 n} \to e^{\frac{29 x}{7}}

e^{\frac{29 x}{7}} = 2022 \Rightarrow \frac{29 x}{7} = \ln (2022) \Rightarrow x = \frac{7}{29} \ln (2022)

✅ Réponse D

QCM 13 probabilité géométrique

Plan

(P) : 3 x - 2 z + 3 = 0

; dé 1 à 6 ;

A (a^{2}, 2 a, 6 a - 3)

A : \frac{1}{6}

B : \frac{1}{3}

C : \frac{1}{2}

D : \frac{2}{3}

✧ Correction

3 a^{2} - 2 (6 a - 3) + 3 = 0 \Rightarrow 3 a^{2} - 12 a + 9 = 0

\Rightarrow 3 (a^{2} - 4 a + 3) = 0 \Rightarrow a = 1 ou a = 3

p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

✅ Réponse B

QCM 14 primitive

f (x) = 2 e^{3 x} - 6; F (0) = 3

A : \frac{2}{3} e^{3 x} - 6 x - \frac{2}{3}

B : \frac{2}{3} e^{3 x} - 6 x + \frac{2}{3}

C : \frac{2}{3} e^{3 x} - 6 x - \frac{7}{3}

D : \frac{2}{3} e^{3 x} - 6 x + \frac{7}{3}

E : Autre réponse

✧ Correction

F (x) = \frac{2}{3} e^{3 x} - 6 x + C

F (0) = \frac{2}{3} + C = 3 \Rightarrow C = \frac{7}{3}

✅ Réponse D

QCM 15 intégrale

\int_{0}^{3} \frac{x^{2} + 2}{x^{3} + 6 x + 4} dx

A : \frac{1}{3}

B : \frac{8}{3}

C : \frac{10}{3}

D : Autre réponse

✧ Correction

(x^{3} + 6 x + 4)^{'} = 3 x^{2} + 6 = 3 (x^{2} + 2)

= \frac{1}{3} {[\ln (x^{3} + 6 x + 4)]}_{03} = \frac{1}{3} (\ln (49) - \ln (4)) = \frac{1}{3} \ln (\frac{49}{4})

✅ Réponse D (Autre réponse)

QCM 16 suite

v_{1} + v_{2} + ... + v_{n} = 2 n^{2} + n

A : 31

B : 53

C : 54

D : 62

E : 64

✧ Correction

S_{n} = v_{1} + ... + v_{n} = 2 n^{2} + n

v_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (2 n^{2} + n) - (2 (^{n - 1)^{2} + n - 1)}

= 4 n - 1 donc v_{8} = 32 - 1 = 31

✅ Réponse A

QCM 17 fonction dérivée

\forall x \in ℝ : f (2 x - 1) = x^{2} + 3 x

A : 1

B : 3

C : 5

D : 7

E : 9

✧ Correction

Pour x = 1 : f (1) = 1^{2} + 3 = 4

Dérivée : 2 f^{'} (2 x - 1) = 2 x + 3

Pour x = 1 : 2 f^{'} (1) = 5 \Rightarrow f^{'} (1) = \frac{5}{2}

✅ Réponse Aucune (f'(1)=5/2)

Prof Ayoub · Collection Concours FMP
Correction complète – QCM 01 à 17 – Optimisé pour Atto