Concours FMP 2021/2022 · Corrigé

Faculté de Médecine et Pharmacie · QCM 01 à 20

QCM 01 limite

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (e + x) - 1}{\sqrt{x + 1} - 1}

A : \frac{1}{2 e}

B : \frac{1}{e}

C : 1

D : e

E : 2 e

✧ Correction

\ln (e + x) - 1 = \ln (\frac{e + x}{e}) \sim \frac{x}{e}

\sqrt{x + 1} - 1 \sim \frac{x}{2}

\Rightarrow \frac{x / e}{x / 2} = \frac{2}{e}

✅ Réponse A

QCM 02 dérivée

f (x) = \frac{1}{1 - x} \ln (1 + \frac{1}{x})

A : \frac{1}{(1 - x)^{2}} \ln (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x (1 - x^{2})}

B : \frac{1}{(1 - x)^{2}} \ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x (1 - x^{2})}

C : \frac{1}{1 - x^{2}} \ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x (1 - x^{2})}

D : \frac{1}{(1 - x)^{2}} \ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x (1 - x)^{2}}

E : \frac{1}{(1 - x)^{2}} \ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{1 - x^{2}}

✧ Correction

f^{'} (x) = \frac{1}{(1 - x)^{2}} \ln (1 + \frac{1}{x}) + \frac{1}{1 - x} \times \frac{- 1 / x^{2}}{1 + 1 / x}

= \frac{1}{(1 - x)^{2}} \ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x (1 - x^{2})}

✅ Réponse B

QCM 03 nombre complexe

{(\frac{7 - 15 i}{15 + 7 i})}^{2021}

A : i

B : - 1

C : 7 - 15 i

D : - i

E : 7 + 15 i

✧ Correction

\frac{7 - 15 i}{15 + 7 i} = - i

(- i)^{2021} = - i^{2021} = - i^{4 \times 505 + 1} = - i

✅ Réponse D

QCM 04 série géométrique

\lim_{n \to + \infty} (1 - x + x^{2} - x^{3} + ... + (- 1)^{n} x^{n})

A : \frac{1}{x - 1}

B : \frac{1}{1 - x}

C : 1

D : \frac{1}{1 + x}

E : - \frac{1}{1 + x}

✧ Correction

C'est une série géométrique de raison - x, avec | x | < 1

\lim_{n \to + \infty} \frac{1 - (- x)^{n + 1}}{1 + x} = \frac{1}{1 + x}

✅ Réponse D

QCM 05 nombre de solutions

x^{5} + x - 1 = 0

A : 0

B : 1

C : 2

D : 3

E : 5

✧ Correction

f (x) = x^{5} + x - 1; f^{'} (x) = 5 x^{4} + 1 > 0

f est strictement croissante sur ℝ; f (0) = - 1; f (1) = 1

\Rightarrow une solution unique dans] 0, 1 [

✅ Réponse B

QCM 06 module complexe

| z | z = 15 - 20 i

A : \sqrt{2}

B : 2 \sqrt{2}

C : 3 \sqrt{2}

D : 4 \sqrt{2}

E : 5 \sqrt{2}

✧ Correction

z = \frac{15 - 20 i}{| z |}

Soit r = | z | : r^{2} = \frac{15^{2} + 20^{2}}{r^{2}} = \frac{625}{r^{2}}

r^{4} = 625 \Rightarrow r = 5

| (1 + i) z | = | 1 + i | \times | z | = \sqrt{2} \times 5 = 5 \sqrt{2}

✅ Réponse E

QCM 07 limite

f (x) = \frac{\ln (1 + x^{2})}{x}

A : \lim_{} f (x) = 1

B : \lim_{} f (x) = - 1

C : \lim_{} f (x) = \frac{1}{2}

D : \lim_{} f (x) = 0

E : n'a pas de limite

✧ Correction

\ln (1 + x^{2}) \sim x^{2} donc \frac{\ln (1 + x^{2})}{x} \to 0

✅ Réponse D

QCM 08 suite récurrente

u_{0} = 1; u_{n + 1} = u_{n}^{2} + u_{n}

A : 1

B : + \infty

C : 0

D : - 1

E : Autre valeur

✧ Correction

u_{n} > 0 et croissante ; u_{n} \to + \infty

✅ Réponse B

QCM 09 intégrale

\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + e^{- x^{2}}} dx

A : \ln (\frac{1 + e}{2})

B : \ln (\sqrt{1 + e})

C : \ln (1 + e)

D : \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + e}{2})

E : \frac{1}{2} \ln (1 + e)

✧ Correction

u = 1 + e^{- x^{2}}; u^{'} = - 2 x e^{- x^{2}}

I = - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{- 2 x e^{- x^{2}}}{1 + e^{- x^{2}}} dx = \frac{1}{2} [\ln (1 + e^{- x^{2}})]_{0}^{1}

= \frac{1}{2} (\ln (1 + e^{- 1}) - \ln (2)) = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + e}{2 e})

✅ Réponse B (ln √(1+e))

QCM 10 primitive

f (1) = 4; \forall x \in ℝ^{+} : f^{'} (x) = 2 x + \ln (x)

A : e^{2}

B : e + 4

C : e^{2} + 4

D : e

E : 4

✧ Correction

f (x) = x^{2} + x \ln (x) - x + C

f (1) = 1 + 0 - 1 + C = 4 \Rightarrow C = 4

f (e) = e^{2} + e \times 1 - e + 4 = e^{2} + 4

✅ Réponse C

QCM 11 module et argument

z = 1 + i (1 + \sqrt{2})

A : | z | = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{8}); \arg (z) \equiv \frac{3 π}{8}

B : | z | = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{8}); \arg (z) \equiv \frac{π}{8}

C : | z | = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{3 π}{8}); \arg (z) \equiv \frac{3 π}{8}

D : | z | = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{3 π}{8}); \arg (z) \equiv \frac{π}{8}

E : | z | = 2 \cos (\frac{π}{8}); \arg (z) \equiv \frac{3 π}{8}

✧ Correction

| z | = \sqrt{1 + (1 + \sqrt{2})^{2}} = \sqrt{4 + 2 \sqrt{2}} = 2 \cos (\frac{π}{8})

\tan (\arg)=\frac{1 + \sqrt{2}}{1}=\tan(\frac{3 π}{8})

✅ Réponse A

QCM 12 intégrale par parties

\int_{1}^{2} f^{'} (x) f^{″} (x) dx = 8; f^{'} (2) - f^{'} (1) = 2

A : 4

B : 6

C : 8

D : 10

E : 12

✧ Correction

\int_{1}^{2} f^{'} f^{″} dx = \frac{1}{2} {[(f^{'})^{2}]}_{12}

= \frac{1}{2} ((f^{'} (2))^{2} - (f^{'} (1))^{2}) = \frac{1}{2} (a - b) (a + b)

Or a - b = 2 et \frac{1}{2} (a^{2} - b^{2}) = 8 \Rightarrow a^{2} - b^{2} = 16

(a - b) (a + b) = 16 \Rightarrow 2 (a + b) = 16 \Rightarrow a + b = 8

✅ Réponse C

QCM 13 série géométrique

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} q^{k}; \lim_{} S_{n} = 4

A : \frac{2}{3}

B : \frac{3}{4}

C : \frac{4}{5}

D : \frac{5}{6}

E : \frac{6}{7}

✧ Correction

\lim_{n \to + \infty} S_{n} = \frac{q}{1 - q} = 4 \Rightarrow q = 4 - 4 q \Rightarrow 5 q = 4 \Rightarrow q = \frac{4}{5}

✅ Réponse C

QCM 14 intégrale symétrique

I = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx

A : \frac{π}{3}

B : \frac{π}{4}

C : \frac{π}{6}

D : \frac{π}{8}

E : \frac{π}{12}

✧ Correction

I = \int_{a}^{b} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx; J = \int_{a}^{b} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx

I + J = b - a = \frac{π}{6} et I = J (par symétrie x \to \frac{π}{2} - x)

\Rightarrow 2 I = \frac{π}{6} \Rightarrow I = \frac{π}{12}

✅ Réponse E

QCM 15 module complexe

| z_{1} | = | z_{2} | = 1; | z_{1} + z_{2} | = \sqrt{3}

A : 1

B : 3

C : \sqrt{3}

D : 2

E : \sqrt{2}

✧ Correction

| z_{1} + z_{2} |^{2} = | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2} + 2 Re (z_{1} \bar{z_{2}})

3 = 1 + 1 + 2 Re (z_{1} \bar{z_{2}}) \Rightarrow Re (z_{1} \bar{z_{2}}) = \frac{1}{2}

| z_{1} - z_{2} |^{2} = 1 + 1 - 2 \times \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow | z_{1} - z_{2} | = 1

✅ Réponse A

QCM 16 suite

u_{0} = 0; u_{1} = 1; u_{n} = \sqrt{\frac{u_{n + 1}^{2} + u_{n - 1}^{2}}{2}}

A : 0

B : + \infty

C : 1

D : \sqrt{2}

E : \frac{\sqrt{2}}{2}

✧ Correction

u_{0} = 0; u_{1} = 1; u_{2} = \sqrt{\frac{1 + 1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

u_{3} = \sqrt{\frac{1 / 2 + 1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}; u_{n} \to 1

✅ Réponse C

QCM 17 dérivabilité

f (x) = {\begin{matrix} a x + b & x \leq 0 \\ \frac{1}{x + 1} & x > 0 \end{matrix}

A : a = 1 et b = 1

B : a = - 1 et b = 1

C : a = 2 et b = 1

D : a = - 1 et b = - 1

E : a = - 1 et b = 0

✧ Correction

Continuité en 0 : f (0) = b = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1} = 1 \Rightarrow b = 1

Dérivabilité en 0 : a = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{x (x + 1)} = - 1

✅ Réponse B

QCM 18 intégrale et équation

f (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b; \int_{-}^{1} f (x) dx < 2

A : 0

B : 1

C : 2

D : 3

E : 4

✧ Correction

\int_{-}^{1} (3 x^{2} + 2 a x + b) dx = {[x^{3} + a x^{2} + b x]}_{- 11} = 2 + 2 b

2 + 2 b < 2 \Rightarrow b < 0

Δ = 4 a^{2} - 12 b > 0 donc 2 solutions

✅ Réponse C

QCM 19 équation complexe

z^{2} - \sin (2 α) z + \sin^{2} (α) = 0

A : \frac{π}{3}

B : \frac{π}{4}

C : \frac{π}{5}

D : \frac{π}{6}

E : \frac{π}{8}

✧ Correction

Δ = \sin^{2} (2 α) - 4 \sin^{2} (α) = 4 \sin^{2} (α) (\cos^{2} (α) - 1)

Pour triangle équilatéral : | z_{1} - z_{2} | = | z_{1} |

\sqrt{Δ} = \sin (α) \Rightarrow 2 \sin (α) | \cos (α) | = \sin (α) \Rightarrow \cos (α) = \frac{1}{2}

\Rightarrow α = \frac{π}{3}

✅ Réponse A

QCM 20 équation fonctionnelle

f_{n} (x) = e^{- x} - n x

A : \forall n \in ℕ^{*} \exists! α \in] 0, 1 [; n α \to 1

B : \forall n \in ℕ^{*} \exists! α \in] 0, 1 [; n α \to 0

C : \forall n \in ℕ^{*} \exists! α \in] 0, 1 [; n α \to e

D : \forall n \in ℕ^{*} \exists! α \in] - 1, 0 [; n α \to 1

E : \forall n \in ℕ^{*} \exists! α \in] - 1, 0 [; n α \to 0

✧ Correction

f_{n} (0) = 1 > 0; f_{n} (1) = e^{- 1} - n < 0 donc α \in] 0, 1 [

e^{- α} = n α \Rightarrow α = \frac{- \ln (n)}{n} donc n α = - \ln (n) mais α \to 1

En fait n α = - \ln (α) \to 0

✅ Réponse B