FMP Oujda 2012/2013 · Corrigé

Faculté de Médecine et Pharmacie · Oujda · QCM 01 à 10

QCM 01 fonction racine

f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 2 x}

A : D_{f} = ℝ

B : f dérivable à gauche de - 2

C : asymptote oblique y = 2 x + 1

D : f décroissante sur [0, + \infty [

E : \lim_{} f (x) = - \infty

✧ Correction

A : x^{2} + 2 x = x (x + 2) \geq 0 \Rightarrow x \in] - \infty, - 2] \cup [0, + \infty [(faux)

B : f est dérivable à droite de -2 mais pas à gauche (faux)

C : \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = 2; \lim_{x \to + \infty} (f (x) - 2 x) = 1 donc asymptote y = 2 x + 1 (vrai)

D : f^{'} (x) = 1 + \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x}} > 0 sur] 0, + \infty [donc croissante (faux)

E : \lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty (faux)

✅ Réponse C

QCM 02 choix de la réponse juste

Choisir la réponse juste

A : f^{'} (x) = \frac{5}{2 x + 3} e^{\frac{x - 1}{x + 3}}

B : \lim_{} \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{x - 1} = 0

C : \frac{\sin x}{\cos x - 1} = \tan (\frac{π}{2} - \frac{x}{2})

D : \arctan (x^{2} - 2 x) = - \frac{π}{4} a pour solution x = - 1

E : \arctan 3 + \arctan 2 = 1

✧ Correction

A : f^{'} (x) = \frac{4}{(x + 3)^{2}} e^{\frac{x - 1}{x + 3}} (faux)

B : \lim_{x \to 1} \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(e - 1)}{x - 1} = - \infty (faux)

C : \frac{\sin x}{\cos x - 1} = \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{- 2 \sin^{2} \frac{x}{2}} = - \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = - cotan \frac{x}{2} (faux)

D : \arctan (x^{2} - 2 x) = - \frac{π}{4} \Rightarrow x^{2} - 2 x = - 1 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 0 \Rightarrow x = 1 (faux)

E : \tan (\arctan 3 + \arctan 2) = \frac{3 + 2}{1 - 3 \times 2} = - 1 donc la somme = 3π/4 (faux)

✅ Réponse Aucune (toutes sont fausses)

QCM 03 nombres complexes

Les nombres complexes

A : (1 + i)^{2002} = - 2^{1001} i

B : z = (\frac{\sqrt{3} - i}{1 - i})^{3}; | z | = \sqrt{2}

C : 1 + i^{2} + i^{4} + ... + i^{2006} = 0

D : - z \bar{z} + 3 z + 2 = 6 i a pour solution z = 1 - 2 i

E : \arg ((\frac{1 + i \sqrt{3}}{1 + i})^{20}) = \frac{3 π}{5}

✧ Correction

A : 1 + i = \sqrt{2} e^{\frac{i π}{4}}; (1 + i)^{2002} = 2^{1001} e^{\frac{2002 i π}{4}} = 2^{1001} e^{\frac{1001 i π}{2}} = - 2^{1001} i (vrai)

B : \frac{\sqrt{3} - i}{1 - i} = \sqrt{2} e^{\frac{i π}{12}}; | z | = (\sqrt{2})^{3} = 2 \sqrt{2} (faux)

C : S = \sum_{k = 0}^{1003} i^{2 k} = \sum_{k = 0}^{1003} (^{- 1)^{k} = 1 (faux)}

D : z = 1 - 2 i \Rightarrow - | z |^{2} + 3 z + 2 = - 5 + 3 - 6 i + 2 = - 6 i donc faux

E : \arg = 20 (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) = 20 \times \frac{π}{12} = \frac{5 π}{3} \equiv \frac{5 π}{3} (faux)

✅ Réponse A

QCM 04 équation différentielle

y^{″} - 2 y^{'} + y = 0; f (1) = e; f^{'} (2) = 0

A : f (x) = x e^{x}

B : f (x) = (\frac{3}{2} - \frac{x}{2}) e^{x}

C : f (x) = (\frac{3}{2} + \frac{x}{2}) e^{x}

D : f (x) = (\frac{3 - x}{2}) e^{x}

E : f (x) = (\frac{x - 3}{2}) e^{x}

✧ Correction

Équation caractéristique : r^{2} - 2 r + 1 = 0 \Rightarrow (r - 1)^{2} = 0 \Rightarrow r = 1 (racine double)

f (x) = (a x + b) e^{x}

f (1) = (a + b) e = e \Rightarrow a + b = 1

f^{'} (x) = (a x + a + b) e^{x}; f^{'} (2) = (3 a + b) e^{2} = 0 \Rightarrow 3 a + b = 0

\Rightarrow a = - \frac{1}{2}; b = \frac{3}{2}; f (x) = (\frac{3}{2} - \frac{x}{2}) e^{x}

✅ Réponse B

QCM 05 probabilités

9 jetons : 2 rouges n°1, 3 blancs (1,2,2), 4 noirs (1,1,2,2). Tirage simultané de 3.

A : P (X) = \frac{1}{6}

B : P (Y) = \frac{2}{7}

C : P (Z) = \frac{16}{21}

D : P (X \cap Y) = \frac{5}{21}

E : P (X \cap Y) = \frac{16}{21}

✧ Correction

A : P (X) = \frac{2 \times 3 \times 4}{C_{9}^{3}} = \frac{24}{84} = \frac{2}{7} (faux)

B : P (Y) : jetons de même numéro (1 ou 2)

n°1 : 2 rouges + 1 blanc + 2 noirs = 5 jetons; n°2 : 2 blancs + 2 noirs = 4 jetons

P (Y) = \frac{C_{5}^{3} + C_{4}^{3}}{C_{9}^{3}} = \frac{10 + 4}{84} = \frac{1}{6} (faux)

C : P (Z) = 1 - P (aucun blanc) = 1 - \frac{2 + 4}{84} = \frac{5}{6} = \frac{35}{42} (faux)

✅ Réponse Aucune (toutes sont fausses)

QCM 06 intégrales de Wallis

u_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (^{\sin x) n} dx

A : u_{2} = \frac{π}{2}

B : (u_{n}) croissante

C : \lim_{} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{1}{2}

D : u_{n + 2} = \frac{n + 1}{n + 2} u_{n}

E : \lim_{} \sqrt{n} u_{n} = \frac{1}{2}

✧ Correction

A : u_{2} = \frac{π}{4} (faux)

B : (un) est décroissante sur [0,π/2] (faux)

C : \lim_{} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = 1 (faux)

D : IPP donne u_{n + 2} = \frac{n + 1}{n + 2} u_{n} (vrai)

E : \lim_{} \sqrt{n} u_{n} = \sqrt{\frac{π}{2}} (faux)

✅ Réponse D

QCM 07 intégrale

I = \int_{0}^{2} \frac{2 x^{2} - x - 2}{2 x^{2} + 3 x + 1} dx

A : \frac{2}{3}

B : \ln 2

C : - 2

D : \frac{1}{2}

E : \frac{1}{2}

✧ Correction

Décomposition : \frac{2 x^{2} - x - 2}{2 x^{2} + 3 x + 1} = 1 - \frac{4 x + 3}{2 x^{2} + 3 x + 1}

2 x^{2} + 3 x + 1 = (2 x + 1) (x + 1)

Décomposition en éléments simples donne : I = {[x - \frac{1}{2} \ln (2 x + 1) - 2 \ln (x + 1)]}_{02}

= 2 - \frac{1}{2} \ln 5 - 2 \ln 3 + 2 \ln 1 = 2 - \frac{1}{2} \ln 5 - 2 \ln 3

✅ Réponse Aucune

QCM 08 aire entre courbes

f (x) = x + \frac{1}{x} - (^{\ln x) 2} - 2

A : \frac{1}{2} (e^{2} - 6 e + 9)

B : \frac{1}{2} (e + 3)^{2}

C : (e - 3)^{2}

D : (e + 3)^{2}

E : \frac{1}{2} (e - 3)^{2}

✧ Correction

f(1)=1+1-0-2=0 ; f(e)=e+1/e-1-2=e+1/e-3

A = \int_{1}^{e} (x + \frac{1}{x} - (^{\ln x) 2} - 2) dx = {[\frac{x^{2}}{2} + \ln x - x ((^{\ln x) 2} - 2 \ln x + 2) - 2 x]}_{1 e}

= \frac{e^{2}}{2} + 1 - e (1 - 2 + 2) - 2 e - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (e^{2} - 6 e + 9)

✅ Réponse A

QCM 09 fonctions exponentielles

Les fonctions exponentielles

A : e^{2 x} (4 - e^{2 x}) = 3 a pour solution x = 0

B : e^{x^{2} - 2} \leq e^{4 - x} a pour solution [- 2, 3]

C : u_{n + 1} = u_{n} e^{- u_{n}} est convergente

D : \lim_{} \frac{\sin x}{1 - e^{- x}} = - 1

E : \int_{0}^{π} \sin x e^{\cos x} dx = \frac{1}{e} - e

✧ Correction

A : t = e^{2 x}; t (4 - t) = 3 \Rightarrow t^{2} - 4 t + 3 = 0 \Rightarrow t = 1 ou t = 3 \Rightarrow x = 0 ou x = \frac{1}{2} \ln 3 donc A faux

B : x^{2} - 2 \leq 4 - x \Rightarrow x^{2} + x - 6 \leq 0 \Rightarrow (x + 3) (x - 2) \leq 0 \Rightarrow S = [- 3, 2] (faux)

C : 0 < u_{n} < 1 et décroissante, converge vers 0 (vrai)

D : \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 - e^{- x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 (faux)

E : u = \cos x; du = - \sin x dx; I = - \int_{1}^{-} e^{u} du = e - \frac{1}{e} (faux)

✅ Réponse C

QCM 10 géométrie dans l'espace

A (1, 2, - 2); B (0, 3, - 3); C (1, 1, - 2); (P) : x + y - 3 = 0

A : d (Ω, (P)) = \frac{1}{\sqrt{2}}

B : sphère tangente à (P) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 y - 2 z = 0

C : A, B, C alignés

D : sphère non tangente à (ABC)

E : point de contact de (S) et (ABC) est C

✧ Correction

A : Ω = (0, 1, - 1); d = \frac{| 0 + 1 - 3 |}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} (faux)

B : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 y - 2 z = 0 \Rightarrow x^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2; centre (0,1,1) pas (0,1,-1) (faux)

C : \vec{AB} = (- 1, 1, - 1); \vec{AC} = (0, - 1, 0); non colinéaires donc C faux

D : (ABC) : y=2 ? vérifions : A:2, B:3, C:1 pas alignés

Plan (ABC) : \vec{AB} \land \vec{AC} = (0, 0, 1) donc (ABC) : z = -2

La sphère de centre (0,1,1) et rayon √2 est tangente à z=-2 (faux)

✅ Réponse Aucune (toutes sont fausses)