FMP Oujda 2011/2012 · Corrigé

Faculté de Médecine et Pharmacie · Oujda · QCM 01 à 10

QCM 01 nombre complexe

z = 1 + \frac{\sqrt{3} + i}{2}

A : 1

B : (2 \cos \frac{π}{12})^{12}

C : (2 \cos \frac{π}{12})^{6}

D : - 1

E : - 2^{12}

✧ Correction

z = 1 + \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \frac{2 + \sqrt{3} + i}{2}

| z | = \sqrt{{(\frac{2 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{{(2 + \sqrt{3})}^{2} + 1}{4}} = \sqrt{\frac{4 + 4 \sqrt{3} + 3 + 1}{4}} = \sqrt{\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2 \cos \frac{π}{12}

Donc z^{12} = (2 \cos \frac{π}{12})^{12} e^{12 i θ}; or θ = \frac{π}{12} donc z^{12} = (2 \cos \frac{π}{12})^{12} e^{i π} = - (2 \cos \frac{π}{12})^{12}

✅ Réponse Aucune (la bonne est -(2cos(π/12))¹²)

QCM 02 suite récurrente

u_{0} = 0; u_{1} = 1; u_{n + 2} = \frac{2}{5} u_{n + 1} - \frac{1}{25} u_{n}

A : (v_{n}) géométrique de raison 5

B : (v_{n}) arithmétique de raison 5

C : v_{n} = 5^{n}

D : S_{n} = \frac{1}{4} (5 - \frac{1}{5^{n}})

E : S_{n} = \frac{1}{4} (5 - \frac{1}{5^{n - 1}})

✧ Correction

v_{n} = u_{n + 1} - \frac{1}{5} u_{n}

v_{0} = u_{1} - \frac{1}{5} u_{0} = 1

v_{1} = u_{2} - \frac{1}{5} u_{1} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{1}{5}

Donc (v_{n}) est géométrique de raison \frac{1}{5} et v_{n} = {(\frac{1}{5})}^{n}

S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\frac{1}{5})}^{k} = \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{5}{4} (1 - \frac{1}{5^{n + 1}})

✅ Réponse Aucune

QCM 03 fonction

f (x) = 1 - \frac{1}{2} x - \frac{2}{e^{x} + 1}

A : D_{f} =] - \infty, - 1 [\cup] - 1, + \infty [

B : f paire

C : asymptote oblique y = - 1 + \frac{1}{2} x

D : asymptote oblique y = 1 - \frac{1}{2} x

E : f croissante sur [0, + \infty [

✧ Correction

A : Df = R car e^x+1>0 (faux)

B : f(-x) ≠ f(x) (faux)

C/D : \lim_{x \to + \infty} (f (x) + \frac{1}{2} x) = 1 et \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = - \frac{1}{2}; asymptote y = - \frac{1}{2} x + 1 donc C faux, D vrai

E : f^{'} (x) = - \frac{1}{2} + \frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}} = \frac{e^{2 x} - 4 e^{x} + 1}{2 (e^{x} + 1)^{2}}

✅ Réponse D

QCM 04 fonction logarithme

f (x) = \ln (\frac{x}{2 - x})

A : D_{f} =] 0, 2 [\cup] 2, + \infty [

B : f^{'} (x) = \frac{2}{(2 - x)^{2}}

C : centre de symétrie A(1,0)

D : f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}

E : \lim_{} f (x) = - \infty

✧ Correction

A : \frac{x}{2 - x} > 0 \Rightarrow x \in] 0, 2 [(faux)

B : f^{'} (x) = \frac{2}{x (2 - x)} (faux)

C : f (1 + t) = \ln (\frac{1 + t}{1 - t}); f (1 - t) = - f (1 + t) donc centre de symétrie (vrai)

D : y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} (faux, c'est l'inverse)

E : \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x}{2 - x} = + \infty donc f (x) \to + \infty (faux)

✅ Réponse C

QCM 05 tangente à l'origine

f (x) = \frac{x}{x + e^{- x}}

A : y = - x

B : y = x

C : y = 1 - x

D : y = x - 1

E : y = - 2 x

✧ Correction

f (0) = \frac{0}{1} = 0

f^{'} (0) = \frac{1 \cdot (0 + 1) - 0}{1^{2}} = 1

Tangente en O : y = f^{'} (0) (x - 0) + f (0) = x

✅ Réponse B

QCM 06 intégrale

J = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x \cdot \ln (1 + \cos x) dx

A : \frac{π}{2}

B : - 1

C : e - 1

D : π - 1

E : \frac{π}{2} - 1

✧ Correction

IPP : u = \ln (1 + \cos x); u^{'} = \frac{- \sin x}{1 + \cos x}; v^{'} = \cos x; v = \sin x

J = {[\sin x \ln (1 + \cos x)]}_{0 \frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} x}{1 + \cos x} dx

Le premier terme est nul. \frac{\sin^{2} x}{1 + \cos x} = 1 - \cos x

J = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos x) dx = {[x - \sin x]}_{0 \frac{π}{2}} = \frac{π}{2} - 1

✅ Réponse E

QCM 07 probabilités

3 blancs, 4 noirs. Tirage simultané de 3.

A : \frac{1}{35}

B : \frac{1}{7}

C : \frac{1}{5}

D : \frac{12}{35}

E : \frac{31}{35}

✧ Correction

Total : C_{7}^{3} = 35

3 blanches : C_{3}^{3} = 1; 3 noires : C_{4}^{3} = 4

p = \frac{1 + 4}{35} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}

✅ Réponse B

QCM 08 limite

\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} \ln (x^{2} - 2 x + 2)

A : 0

B : + \infty

C : - \infty

D : 2

E : - 2

✧ Correction

\ln (x^{2} - 2 x + 2) = 2 \ln x + \ln (1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}})

\frac{1}{x} \ln (x^{2} - 2 x + 2) = \frac{2 \ln x}{x} + \frac{1}{x} \ln (1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}) \to 0

✅ Réponse A

QCM 09 point d'inflexion

f (x) = \frac{x}{x + 1} - \ln (\frac{x + 1}{2})

A : - \frac{1}{2}

B : 0

C : \frac{1}{2}

D : 1

E : 2

✧ Correction

f^{'} (x) = \frac{1}{(x + 1)^{2}} - \frac{1}{x + 1} = - \frac{x}{(x + 1)^{2}}

f^{″} (x) = \frac{1 - x}{(x + 1)^{3}} = 0 \Rightarrow x = 1

✅ Réponse D

QCM 10 équation différentielle

4 y^{″} + 25 y = 0; f (0) = 3; f^{'} (0) = 0

A : 3 (\cos \frac{5}{2} x - \sin \frac{5}{2} x)

B : 3 (\cos \frac{5}{2} x + \sin \frac{5}{2} x)

C : 3 \cos (\frac{5}{2} x)

D : 3 \sin (\frac{5}{2} x) + 3

E : 3 (\sin \frac{5}{2} x - \cos \frac{5}{2} x)

✧ Correction

Équation caractéristique : 4 r^{2} + 25 = 0 \Rightarrow r^{2} = - \frac{25}{4} \Rightarrow r = \pm \frac{5}{2} i

f (x) = a \cos (\frac{5}{2} x) + b \sin (\frac{5}{2} x)

f (0) = a = 3; f^{'} (0) = \frac{5}{2} b = 0 \Rightarrow b = 0

✅ Réponse C