متطلبات الإكمال
1) Décomposition en facteurs premiers
📌 Définition : La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme produit de nombres premiers.
Théorème (formule du nombre de diviseurs) : Si \(n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k}\), alors le nombre de diviseurs de \(n\) est \((\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)\).
📌 Exercice 1 :
Nombres \(a=2400\) et \(b=1350\)1) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
2) Déterminer le nombre de diviseurs de \(a\) et \(b\), puis \(pgcd(a, b)\) et \(ppcm(a, b)\).
3) Simplifier le nombre \(\frac{a}{b}\) et \(\sqrt{ab}\).
4) Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) non nul pour que \(n \times b\) soit un carré parfait.
5) Déterminer le plus petit naturel \(k\) non nul pour que le nombre \(k \times a\) soit un cube d'un entier naturel.
6) Montrer que \(a - b - 911\) est un nombre premier.
✅ Corrigé détaillé
1) \(a = 2400 = 24 \times 100 = (2^3 \times 3) \times (2^2 \times 5^2) = 2^5 \times 3 \times 5^2\).
\(b = 1350 = 135 \times 10 = (3^3 \times 5) \times (2 \times 5) = 2 \times 3^3 \times 5^2\).
2) Nombre de diviseurs de \(a\) : \((5+1)(1+1)(2+1) = 6 \times 2 \times 3 = 36\).
Nombre de diviseurs de \(b\) : \((1+1)(3+1)(2+1) = 2 \times 4 \times 3 = 24\).
\(pgcd(a, b) = 2^{min(5,1)} \times 3^{min(1,3)} \times 5^{min(2,2)} = 2 \times 3 \times 25 = 150\).
\(ppcm(a, b) = 2^{max(5,1)} \times 3^{max(1,3)} \times 5^{max(2,2)} = 2^5 \times 3^3 \times 25 = 32 \times 27 \times 25 = 21600\).
3) \(\frac{a}{b} = \frac{2^5 \times 3 \times 5^2}{2 \times 3^3 \times 5^2} = \frac{2^4}{3^2} = \frac{16}{9}\).
\(\sqrt{ab} = \sqrt{2400 \times 1350} = \sqrt{2^6 \times 3^4 \times 5^4} = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 1800\).
4) \(b = 2 \times 3^3 \times 5^2\). Pour que \(n \times b\) soit un carré parfait, il faut que tous les exposants soient pairs.
Il manque \(2\) (exposant 1 -> 2) et \(3\) (exposant 3 -> 4). Donc \(n = 2 \times 3 = 6\).
5) \(a = 2^5 \times 3 \times 5^2\). Pour que \(k \times a\) soit un cube parfait, il faut que tous les exposants soient multiples de 3.
Il manque \(2^{1}\) (5 -> 6), \(3^{2}\) (1 -> 3), \(5^{1}\) (2 -> 3). Donc \(k = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 2 \times 9 \times 5 = 90\).
6) \(a - b - 911 = 2400 - 1350 - 911 = 139\).
\(139\) est un nombre premier (ses seuls diviseurs sont 1 et 139).
📌 Exercice 2 :
Questions indépendantes
1) Soit \(n \in \mathbb{N}\). Étudier la parité des nombres : \((n+1)^2 + (n+2)^2\), \(n^3 - n + 3\) et \(3n(n+1)^2\).
1) Soit \(n \in \mathbb{N}\). Étudier la parité des nombres : \((n+1)^2 + (n+2)^2\), \(n^3 - n + 3\) et \(3n(n+1)^2\).
2) Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que si \(n\) est impair alors \(n^2 - 1\) est un multiple de 8.
3) Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \(n^4 - n^2 + 20\) est divisible par 4.
4) Soit \(n \in \mathbb{N}\). Déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(n+4\) divise \(n+16\).
5) Soit \(n \in \mathbb{N}\). Vérifier que \(\frac{n+17}{n+5} = 1 + \frac{12}{n+5}\), puis déduire les valeurs possibles de \(n\) pour que \(\frac{n+17}{n+5} \in \mathbb{N}\).
6) Déterminer tous les couples \((x, y) \in \mathbb{N}^2\) tels que \(xy + 4x - y = 22\).
7) Déterminer le chiffre \(c\) pour que \(76c2\) soit divisible par 3 et 4.
8) Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels premiers tels que \(a^2 + a + b = 184\). Montrer que \(b = 2\).
✅ Corrigé détaillé
1) \((n+1)^2 + (n+2)^2 = n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = 2n^2 + 6n + 5 = 2(n^2+3n) + 5\). Donc impair.
\(n^3 - n + 3 = n(n-1)(n+1) + 3\). Le produit de trois entiers consécutifs est pair, donc \(n^3 - n\) est pair, +3 donne impair.
\(3n(n+1)^2\) est toujours pair car \(n(n+1)\) est pair.
2) Si \(n\) est impair, \(n = 2k+1\). Alors \(n^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1)\). \(k(k+1)\) est pair, donc \(n^2 - 1\) est multiple de 8.
3) \(n^4 - n^2 + 20 = n^2(n^2-1) + 20 = n^2(n-1)(n+1) + 20\). Le produit \(n(n-1)(n+1)\) est divisible par 3, mais ici on veut par 4. On vérifie les cas pairs/impairs : si \(n\) pair, \(n^2\) est multiple de 4 ; si \(n\) impair, \(n^2-1\) est multiple de 8, donc multiple de 4. Donc \(n^4 - n^2 + 20\) est divisible par 4.
4) \(n+4 \mid n+16 \iff n+4 \mid (n+16) - (n+4) = 12\). Donc \(n+4\) est un diviseur de 12 : \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
\(n = -3, -2, -1, 0, 2, 8\). Dans \(\mathbb{N}\), \(n \in \{0, 2, 8\}\).
5) \(\frac{n+17}{n+5} = \frac{n+5+12}{n+5} = 1 + \frac{12}{n+5}\).
Pour que ce soit un entier, \(n+5\) doit diviser 12. Donc \(n+5 \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\).
\(n \in \{-4, -3, -2, -1, 1, 7\}\). Dans \(\mathbb{N}\), \(n \in \{1, 7\}\).
6) \(xy + 4x - y = 22 \iff x(y+4) - y - 4 = 18 \iff (x-1)(y+4) = 18\).
Diviseurs de 18 : (1,18), (2,9), (3,6), (6,3), (9,2), (18,1).
\((x-1; y+4) = (1;18) \Rightarrow (2;14)\) ; \((2;9) \Rightarrow (3;5)\) ; \((3;6) \Rightarrow (4;2)\) ; \((6;3) \Rightarrow (7;-1)\) rejeté ; \((9;2) \Rightarrow (10;-2)\) rejeté ; \((18;1) \Rightarrow (19;-3)\) rejeté.
Solutions : \((2,14), (3,5), (4,2)\).
7) \(76c2\) divisible par 3 : \(7+6+c+2 = 15+c\) doit être multiple de 3 \(\Rightarrow c \in \{0, 3, 6, 9\}\).
Divisible par 4 : les deux derniers chiffres \(c2\) doivent former un multiple de 4. \(c \in \{0, 3, 6, 9\}\) donne \(02, 32, 62, 92\). Seul 32 et 92 sont multiples de 4.
Donc \(c \in \{3, 9\}\).
8) \(a\) et \(b\) premiers. \(a^2 + a + b = 184 \Rightarrow a(a+1) + b = 184\).
Si \(a\) est impair, \(a(a+1)\) est pair, \(b\) doit être pair pour que la somme soit paire. Le seul nombre premier pair est 2, donc \(b=2\).
Alors \(a(a+1) = 182 = 13 \times 14\), donc \(a=13\) qui est premier. Donc \(b=2\).
IV) PARALLÉLOGRAMME ET ALIGNEMENT
📌 Exercice 3 :
Parallélogramme et points alignésABCD est un parallélogramme de centre \(O\) et soit \(M\) un point du plan tel que \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
1) Construire une figure convenable.
2) Montrer que \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MO}\) et \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{AM}\).
3) Déduire que \(M\) est le milieu du segment \([AO]\).
4) Soient \(N\) et \(K\) deux points du plan tels que \(\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\).
a) Construire les points \(K\) et \(N\) dans la figure précédente.
b) Montrer \(\overrightarrow{DM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{DK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\).
c) Déduire que les points \(D, M\) et \(K\) sont alignés.
✅ Corrigé détaillé
1) Figure : Tracer un parallélogramme ABCD. Placer O l'intersection des diagonales. Placer M sur [AC] tel que AM = 1/4 AC.
2) \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD}) + (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}) = 2\overrightarrow{MO} + (\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OB})\).
O est le centre, donc \(\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OB}\). Donc \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MO}\).
De plus, \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}\).
Or \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Mais dans un parallélogramme, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). Donc \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\).
Ainsi \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}\).
Comme \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\), alors \(\overrightarrow{MA} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\). Donc \(2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = 2 \times \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}\).
3) De \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MO}\) et \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{AM}\), on a \(2\overrightarrow{MO} = 2\overrightarrow{AM} \Rightarrow \overrightarrow{MO} = \overrightarrow{AM}\).
Donc M est le milieu de [AO].
4) a) Placer N sur [AB] tel que AN = 2/3 AB. Placer K sur [AN] tel que AK = 1/2 AN, donc K est le milieu de [AN].
b) \(\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
Or \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
Donc \(\overrightarrow{DM} = -\overrightarrow{BC} + \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\).
\(\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AK} = -\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AN}\).
\(\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).
Donc \(\overrightarrow{DK} = -\overrightarrow{BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\).
c) On a \(\overrightarrow{DK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{DM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = \frac{3}{4}(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{DK}\).
Donc \(\overrightarrow{DM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{DK}\), les vecteurs sont colinéaires, donc \(D, M, K\) sont alignés.
1) Projection d'un point sur une droite
📌 Définition : Le projeté d'un point \(M\) sur une droite \((AC)\) parallèlement à une direction \((BC)\) est l'intersection de la droite passant par \(M\) et parallèle à \((BC)\) avec la droite \((AC)\).
Théorème (conservation des rapports) : Si \(M\) est sur \((AB)\) avec \(\overrightarrow{AM} = k \overrightarrow{AB}\), alors son projeté \(E\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) vérifie \(\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{AC}\).
📌 Exercice 4 :
Projetés parallèles
Soit \(ABC\) un triangle et soient \(M\) et \(N\) tels que :
\(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN} = -3\overrightarrow{AB}\).
Soient \(E\) et \(F\) les projetés de \(M\) et \(N\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
1) Construire la figure.
2) Montrer que \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AF} = -3\overrightarrow{AC}\).
3) Montrer que \(\overrightarrow{ME} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{NF} = -3\overrightarrow{BC}\).
4) Déduire que \(\frac{ME}{NF} = \frac{1}{12}\).
✅ Corrigé détaillé
1) Figure : Tracer un triangle \(ABC\). Placer \(M\) sur \((AB)\) tel que \(AM = \frac{1}{4}AB\). Placer \(N\) sur la droite \((AB)\) de l'autre côté de \(A\) tel que \(AN = 3AB\) (car \(\overrightarrow{AN} = -3\overrightarrow{AB}\)).
Par \(M\), tracer la parallèle à \((BC)\) qui coupe \((AC)\) en \(E\). Par \(N\), tracer la parallèle à \((BC)\) qui coupe \((AC)\) en \(F\).
2) D'après le théorème de Thalès dans le triangle \(ABC\), les droites \((ME)\) et \((BC)\) sont parallèles, donc le rapport est conservé :
\(\frac{AE}{AC} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{4}\) donc \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
De même, \(\frac{AF}{AC} = \frac{AN}{AB} = -3\) donc \(\overrightarrow{AF} = -3\overrightarrow{AC}\).
3) On a \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\).
De même, \(\overrightarrow{NF} = \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} = 3(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = -3(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = -3\overrightarrow{BC}\).
4) On a \(\overrightarrow{ME} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{NF} = -3\overrightarrow{BC}\).
Donc \(\frac{ME}{NF} = \frac{\frac{1}{4}BC}{3BC} = \frac{1}{12}\).