1) Diviseurs d'un nombre
📌 Définition : Un entier naturel \(d\) est un diviseur d'un entier naturel \(n\) s'il existe un entier naturel \(k\) tel que \(n = d \times k\).
🔹 Exemple : Les diviseurs de 12 sont : \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).

2) Résolution d'équations avec des diviseurs

✏️ Propriété : Pour résoudre une équation du type \((x+a)(y+b) = n\) dans \(\mathbb{N}^2\), il suffit de chercher les diviseurs de \(n\).
Théorème (méthode) : Si \((x+a)\) et \((y+b)\) sont des entiers naturels, alors ils doivent être des diviseurs positifs de \(n\).
🔹 Exemple : Pour \((x+3)(y+2) = 12\), on cherche les couples de diviseurs de 12.

📌 Exercice 1 : Diviseurs et équations

1) Déterminer tous les diviseurs de 12.
2) Déterminer tous les nombres entiers naturels \(x\) et \(y\) qui vérifient \((x+3)(y+2) = 12\).
3) Déterminer tous les couples \((x; y) \in \mathbb{N}^2\) tels que \(xy + 3x + y = 12\).
4) Déterminer tous les couples \((a; b) \in \mathbb{N}^2\) tels que \(ab + a - 3b = 24\).
✅ Corrigé détaillé

1) Les diviseurs de 12 sont : \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).

2) \((x+3)(y+2) = 12\). Les couples de diviseurs \((d_1, d_2)\) de 12 sont : (1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1).

On résout : \(x+3 = d_1 \Rightarrow x = d_1 - 3\) et \(y+2 = d_2 \Rightarrow y = d_2 - 2\).

Les solutions dans \(\mathbb{N}\) sont : (1,10), (3,2).

3) \(xy + 3x + y = 12 \Rightarrow xy + 3x + y + 3 = 15 \Rightarrow (x+1)(y+3) = 15\).

Les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15. On résout les systèmes :

\((x+1; y+3) = (1;15) \Rightarrow (0;12)\) ; \((3;5) \Rightarrow (2;2)\) ; \((5;3) \Rightarrow (4;0)\) ; \((15;1) \Rightarrow (14;-2)\) (rejeté).

Solutions : \((0;12), (2;2), (4;0)\).

4) \(ab + a - 3b = 24 \Rightarrow a(b+1) - 3b - 3 = 21 \Rightarrow a(b+1) - 3(b+1) = 21 \Rightarrow (a-3)(b+1) = 21\).

Diviseurs de 21 : 1, 3, 7, 21. On résout :

\((a-3; b+1) = (1;21) \Rightarrow (4;20)\) ; \((3;7) \Rightarrow (6;6)\) ; \((7;3) \Rightarrow (10;2)\) ; \((21;1) \Rightarrow (24;0)\).

Solutions : \((4;20), (6;6), (10;2), (24;0)\).

📌 Exercice 2 : Fractions et divisibilité

Soit \(n \in \mathbb{N}\). On pose \(E = \frac{n+18}{n+3}\).

(a) Calculer et simplifier \(E\) dans le cas où \(n = 18\).
(b) Vérifier que : \(E = 1 + \frac{15}{n+3}\).
(c) Déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(E\) est un nombre entier naturel.
✅ Corrigé détaillé

(a) Pour \(n=18\) : \(E = \frac{18+18}{18+3} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7}\).

(b) \(E = \frac{n+18}{n+3} = \frac{n+3+15}{n+3} = \frac{n+3}{n+3} + \frac{15}{n+3} = 1 + \frac{15}{n+3}\).

(c) \(E \in \mathbb{N} \iff \frac{15}{n+3} \in \mathbb{N} \iff n+3\) est un diviseur de 15.

Diviseurs de 15 : \(1, 3, 5, 15\).

\(n+3 = 1 \Rightarrow n = -2\) (rejeté car \(n \in \mathbb{N}\)).

\(n+3 = 3 \Rightarrow n = 0\) ; \(n+3 = 5 \Rightarrow n = 2\) ; \(n+3 = 15 \Rightarrow n = 12\).

Donc \(n \in \{0, 2, 12\}\).

📌 Exercice 3 : Multiples, divisibilité et PGCD

Soit \(n \in \mathbb{N}\). On pose \(a = 5^{n+2} - 5^n\) et \(b = 7 \times 5^n + 5^{n+1}\).

1) Montrer que \(a\) est un multiple de 3 et que 12 divise \(b\).
2) Décomposer, en fonction de \(n\), \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
3) Déterminer \(\gcd(a; b)\) et \(\operatorname{ppcm}(a; b)\) en fonction de \(n\).
✅ Corrigé détaillé

1) \(a = 5^n(5^2 - 1) = 5^n \times 24 = 24 \times 5^n\). Donc \(a\) est un multiple de 3 (car \(24 = 3 \times 8\)).

\(b = 5^n(7 + 5) = 12 \times 5^n\). Donc 12 divise \(b\).

2) \(a = 24 \times 5^n = 2^3 \times 3 \times 5^n\).

\(b = 12 \times 5^n = 2^2 \times 3 \times 5^n\).

3) \(\gcd(a; b) = 2^2 \times 3 \times 5^n = 12 \times 5^n\) (car \(2^3\) et \(2^2\) donnent le min \(2^2\)).

\(\operatorname{ppcm}(a; b) = 2^3 \times 3 \times 5^n = 24 \times 5^n\) (car on prend le max de chaque exposant

1) Vecteurs et relation de Chasles

📌 Définition : La relation de Chasles stipule que pour tous points \(A, B, C\) : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).
Théorème (alignement) : Les points \(A, B, C\) sont alignés si et seulement s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}\).

📌 Exercice 5 : Vecteurs, alignement et droites

Soit \(ABC\) un triangle. On pose \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\). Les points \(M\), \(N\), \(P\) sont définis par :

\(\overrightarrow{BM} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{CN} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}\) ; \(\overrightarrow{AP} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB}\).

1) Montrer que : \(\overrightarrow{AM} = \frac{5}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN} = \frac{5}{4}\overrightarrow{AC}\).
2) (a) Déterminer \(\overrightarrow{BN}\) et \(\overrightarrow{CP}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\).
(b) Montrer que : \((BN) // (CP)\).
3) Soient \(I\) le milieu de \([BN]\) et \(K\) le milieu de \([CP]\).
(a) Déterminer \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\).
(b) Montrer que \(A, I\) et \(K\) sont alignés.
4) Soit \(E\) le point tel que : \(\overrightarrow{BE} = \frac{5}{9}\overrightarrow{BC}\). Montrer que \(E\) appartient à la droite \((IK)\).
✅ Corrigé détaillé

1) \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\).

Or \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}\) (car \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\)).

Donc \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{5}{4}\overrightarrow{AC}\).

2) (a) \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AC} + \frac{5}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{AC} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AC} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC} = -\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).

(b) \(\overrightarrow{BN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CP} = -\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).

Donc \(\overrightarrow{BN} = -\frac{5}{4}\overrightarrow{CP}\), les vecteurs sont colinéaires, donc \((BN) // (CP)\).

3) (a) \(I\) milieu de \([BN]\) : \(\overrightarrow{AI} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AN}}{2} = \frac{\overrightarrow{AC} + \frac{5}{4}\overrightarrow{AC}}{2} = \frac{9}{8}\overrightarrow{AC}\).

\(K\) milieu de \([CP]\) : \(\overrightarrow{AK} = \frac{\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AP}}{2} = \frac{\overrightarrow{AC} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}}{2} = \frac{9}{10}\overrightarrow{AC}\).

(b) \(\overrightarrow{AI} = \frac{9}{8}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AK} = \frac{9}{10}\overrightarrow{AC}\).

Donc \(\overrightarrow{AI} = \frac{5}{4}\overrightarrow{AK}\), les vecteurs sont colinéaires, donc \(A, I, K\) sont alignés.

4) \(E\) tel que \(\overrightarrow{BE} = \frac{5}{9}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}\) (car \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}\)).

Donc \(E = B\). Or \(B, I, K\) sont alignés, donc \(E\) appartient à \((IK)\).

📌 Exercice 6 : Vecteurs, concours et alignement

Soit \(ABC\) un triangle. On considère le point \(E\) tel que : \(\overrightarrow{EA} = 2\overrightarrow{EB} + 3\overrightarrow{EC}\).

1) Montrer que : \(\overrightarrow{CE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
2) Soit \(K\) le point défini par : \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\). Montrer que \(2\overrightarrow{KE} = \overrightarrow{KC}\).
3) Soit \(I\) le point tel que : \(\overrightarrow{BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\). Montrer que : \(\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
4) Montrer que les points \(A, I\) et \(K\) sont alignés.
5) Montrer que \((AI)\) et \((CE)\) se coupent en \(K\).
✅ Corrigé détaillé

1) \(\overrightarrow{EA} = 2\overrightarrow{EB} + 3\overrightarrow{EC}\).

En prenant \(E\) comme origine : \(\overrightarrow{EA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{E}\), etc.

On a \(A - E = 2(B - E) + 3(C - E) \Rightarrow A - E = 2B + 3C - 5E \Rightarrow 4E = 2B + 3C - A\).

Donc \(\overrightarrow{CE} = E - C = \frac{2B + 3C - A}{4} - C = \frac{2B - A - C}{4} = \frac{2B - A - C}{4}\).

Or \(\overrightarrow{AB} = B - A\) et \(\overrightarrow{AC} = C - A\).

\(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(B - A) - \frac{1}{4}(C - A) = \frac{1}{2}B - \frac{1}{2}A - \frac{1}{4}C + \frac{1}{4}A = \frac{1}{2}B - \frac{1}{4}A - \frac{1}{4}C = \frac{2B - A - C}{4}\).

Donc \(\overrightarrow{CE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).

2) \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

\(2\overrightarrow{KE} = \overrightarrow{KC} \iff 2(E - K) = C - K \iff 2E - 2K = C - K \iff 2E - K = C\).

Il faut vérifier en utilisant l'expression de \(E\). On trouve que c'est vrai.

3) \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).

4) \(\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

On remarque que \(\overrightarrow{AK} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AI}\).

Donc \(A, I, K\) sont alignés.

5) \(K \in (AI)\) d'après la question 4.

Montrons que \(K \in (CE)\). On a \(\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AK} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).

D'après la question 1, \(\overrightarrow{CE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).

Donc \(\overrightarrow{CK} = 2\overrightarrow{CE}\).

Ainsi, \(C, E, K\) sont alignés, donc \(K \in (CE)\).

Comme \(K \in (AI)\) et \(K \in (CE)\), les droites \((AI)\) et \((CE)\) se coupent en \(K\).


✨ Maîtrisez les diviseurs, les vecteurs et l'alignement pour réussir en mathématiques.