متطلبات الإكمال
1) Parité d'un nombre
📌 Définition : Un nombre est pair s'il est divisible par 2, c'est-à-dire de la forme \(2k\). Il est impair s'il est de la forme \(2k+1\).
🔹 Exemple : \(6n^2\) est toujours pair, donc \(6n^2 + 2018\) est pair (pair + pair = pair).
2) Nombres premiers
📌 Définition : Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Théorème (critère de primalité) : Pour tester si un nombre \(n\) est premier, il suffit de vérifier qu'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à \(\sqrt{n}\).
📌 Partie I : Parité, primalité, divisibilité et PGCD
Exercice 1:
Soit \(n\) un entier naturel.
1) Étudier la parité des nombres suivants :
\(A = 6n^2 + 2018\) ; \(B = 7n + 3\) ; \(C = n^2 + 13n + 7\).
2) Étudier la primalité des nombres suivants : \(267\) ; \(17^2\) ; \(127\).
3) On pose \(A = 2 \times 19^{n+1} + 10 \times 19^n\).
a) Montrer que \(A\) est divisible par 48.
b) Donner une décomposition du nombre \(A\) en produit de facteurs premiers.
a) Montrer que \(A\) est divisible par 48.
b) Donner une décomposition du nombre \(A\) en produit de facteurs premiers.
4) Montrer que si \(d\) est un diviseur commun de \(m\) et \(n\) alors \(d\) divise \(m - n\).
5) Déduire que \(pgcd(n^2 + 5, n^2 + 4) = 1\).
✅ Corrigé détaillé
1) \(A = 6n^2 + 2018\) : \(6n^2\) est pair, 2018 est pair, donc \(A\) est pair.
\(B = 7n + 3\) : Si \(n\) est pair, \(7n\) est pair, donc \(B\) est impair (pair + impair = impair). Si \(n\) est impair, \(7n\) est impair, donc \(B\) est pair (impair + impair = pair).
\(C = n^2 + 13n + 7\) : \(n^2\) et \(n\) ont la même parité. \(n^2 + n\) est toujours pair. Donc \(n^2 + 13n = n^2 + n + 12n\) est pair. Pair + 7 (impair) = impair. Donc \(C\) est toujours impair.
2) \(267 = 3 \times 89\), donc non premier.
\(17^2 = 289 = 17 \times 17\), donc non premier.
\(127\) : \(\sqrt{127} \approx 11,2\). Les nombres premiers ≤ 11 sont 2, 3, 5, 7, 11. Aucun ne divise 127, donc 127 est premier.
3) a) \(A = 2 \times 19^{n+1} + 10 \times 19^n = 19^n(2 \times 19 + 10) = 19^n \times 48\). Donc \(A\) est divisible par 48.
b) \(A = 48 \times 19^n = 2^4 \times 3 \times 19^n\).
4) Si \(d \mid m\) et \(d \mid n\), alors \(m = dk\) et \(n = dk'\). Donc \(m - n = d(k - k')\), donc \(d \mid m - n\).
5) Soit \(d = pgcd(n^2 + 5, n^2 + 4)\). Alors \(d \mid (n^2 + 5) - (n^2 + 4) = 1\). Donc \(d = 1\).
📌 Partie II : Nombres \(a=1200\) et \(b=5292\)
1) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers.
2) Déduire le \(pgcd(a, b)\) et le \(ppcm(a, b)\).
3) Simplifier les deux nombres \(\frac{a}{b}\) et \(\sqrt{a \times b}\).
✅ Corrigé détaillé
1) \(a = 1200 = 12 \times 100 = (2^2 \times 3) \times (2^2 \times 5^2) = 2^4 \times 3 \times 5^2\).
\(b = 5292 = 4 \times 1323 = 2^2 \times 3^3 \times 7^2\) (car \(1323 = 3^3 \times 7^2\)).
2) \(pgcd(a, b) = 2^{min(4,2)} \times 3^{min(1,3)} \times 5^0 \times 7^0 = 2^2 \times 3 = 12\).
\(ppcm(a, b) = 2^{max(4,2)} \times 3^{max(1,3)} \times 5^2 \times 7^2 = 2^4 \times 3^3 \times 25 \times 49 = 16 \times 27 \times 1225 = 529200\).
3) \(\frac{a}{b} = \frac{2^4 \times 3 \times 5^2}{2^2 \times 3^3 \times 7^2} = \frac{2^2 \times 5^2}{3^2 \times 7^2} = \frac{100}{441}\).
\(\sqrt{a \times b} = \sqrt{2^6 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^2} = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 35 = 2520\).
II) VECTEURS ET ALIGNEMENT
1) Vecteurs dans un parallélogramme
📌 Définition : Dans un parallélogramme \(ABCD\), on a \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). Le centre \(O\) vérifie \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}\) et \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}\).
Théorème (milieu) : Si \(O\) est le milieu de \([AC]\) et \([BD]\), alors pour tout point \(M\) du plan : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MO}\) et \(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MO}\).
Exercice 2:
Parallélogramme et alignement
\(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\), \(E\) et \(F\) deux points tels que :
\(\overrightarrow{BF} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\).
1) Construire une figure.
2) Montrer que \(\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CF} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\).
3) Montrer que \(3\overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{EC}\). Déduire que les points \(C\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
4) Montrer que \(\overrightarrow{EO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EB})\).
✅ Corrigé détaillé
1) Figure : Tracer un parallélogramme \(ABCD\) avec \(O\) l'intersection des diagonales.
Placer \(F\) sur la droite \((AB)\) tel que \(\overrightarrow{BF} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\). Cela signifie que \(F\) est du côté opposé à \(A\) par rapport à \(B\), avec \(BF = \frac{2}{3}AB\).
Placer \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\), donc \(E\) est du côté opposé à \(D\) par rapport à \(A\), avec \(AE = \frac{1}{2}AD\).
2) \(\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AD}\).
\(\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\).
3) On a \(\overrightarrow{FC} = -\overrightarrow{CF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).
\(\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AD}\).
Calculons \(3\overrightarrow{FC} = 3(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AD}\).
\(2\overrightarrow{EC} = 2(\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AD}) = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AD}\).
Donc \(3\overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{EC}\), donc \(\overrightarrow{FC}\) et \(\overrightarrow{EC}\) sont colinéaires. Par conséquent, \(C, E, F\) sont alignés.
4) \(\overrightarrow{EO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EB})\) est une propriété du milieu : puisque \(O\) est le milieu de \([BD]\), pour tout point \(E\), on a \(\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EB} = 2\overrightarrow{EO}\).
Donc \(\overrightarrow{EO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EB})\).