1) Parité d'un nombre

📌 Définition : Un nombre est pair s'il est divisible par 2, c'est-à-dire de la forme \(2k\). Il est impair s'il est de la forme \(2k+1\).

2) Nombres premiers

📌 Définition : Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Théorème (critère de primalité) : Pour tester si un nombre \(n\) est premier, il suffit de vérifier qu'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à \(\sqrt{n}\).

3) Diviseurs et équations

Théorème (différence de deux carrés) : \(y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)\).
✏️ Propriété : \(y - x\) et \(y + x\) ont la même parité.

4) PGCD et PPCM

Théorème : Si \(a = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\) et \(b = p_1^{\beta_1} \cdots p_k^{\beta_k}\), alors :
\(pgcd(a,b) = p_1^{min(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{min(\alpha_k,\beta_k)}\)
\(ppcm(a,b) = p_1^{max(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{max(\alpha_k,\beta_k)}\)

📌 Exercice 1 :  (Calculatrice interdite)

1) Soit \(n \in \mathbb{N}\). Étudier la parité des nombres suivants :
\(A = 4n + 5\) ; \(B = n^2 + 3n\) ; \(C = (n+2)(n+3)\). (1.5 pt)
2) Montrer que \(53\) est un nombre premier. (1 pt)
3) Soient \(x\) et \(y\) deux entiers naturels tels que \(y > x\).
a) Déterminer les diviseurs du nombre \(20\). (0.5 pt)
b) Montrer que les nombres \((y+x)\) et \((y-x)\) ont la même parité. (1 pt)
c) Déterminer tous les couples \((x, y)\) tels que \(y^2 - x^2 = 20\). (1 pt)
4) Soit \(a\) un nombre premier tel que \(a \ge 3\) et \(b\) un entier naturel multiple de \(3\). Montrer que \(6\) divise le nombre \((3a + 2b + 3)\). (1 pt)
5) Soit \(n \in \mathbb{N}\), posons \(A = \frac{n+18}{n+3}\).
a) Montrer que : \(A = 1 + \frac{15}{n+3}\). (0.5 pt)
b) Déterminer toutes les valeurs de \(n\) pour que \(A \in \mathbb{N}\). (1 pt)
6) Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels tels que : \(a = 168\) et \(b = 630\).
a) Décomposer \(a\) et \(b\) en produit de facteurs premiers. (2 pts)
b) Déterminer \(a \land b\) (pgcd) et \(a \lor b\) (ppcm). (1.5 pt)
c) Simplifier \(\frac{a}{b}\) et \(\sqrt{ab}\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé

1) \(A = 4n + 5\) : \(4n\) est pair, +5 (impair) donne impair.

\(B = n^2 + 3n = n(n+3)\). Si \(n\) est pair, \(n(n+3)\) est pair. Si \(n\) est impair, \(n+3\) est pair, donc \(B\) est pair. Donc \(B\) est toujours pair.

\(C = (n+2)(n+3)\) : produit de deux entiers consécutifs, donc toujours pair.

2) \(\sqrt{53} \approx 7,28\). Les nombres premiers ≤ 7 sont 2, 3, 5, 7. Aucun ne divise 53, donc 53 est premier.

3) a) Diviseurs de 20 : \(1, 2, 4, 5, 10, 20\).

b) \((y+x) + (y-x) = 2y\), qui est pair. Si \((y+x)\) et \((y-x)\) étaient de parités différentes, leur somme serait impaire, contradiction. Donc ils ont la même parité.

c) \(y^2 - x^2 = (y-x)(y+x) = 20\). Les diviseurs de 20 donnent les couples \((d_1, d_2)\) avec \(d_1 = y-x\) et \(d_2 = y+x\).

On a \(y = \frac{d_1+d_2}{2}\) et \(x = \frac{d_2-d_1}{2}\).

Les couples de diviseurs de 20 : (1,20), (2,10), (4,5), (5,4), (10,2), (20,1).

On garde ceux avec \(d_1 < d_2\) et \(d_1, d_2\) de même parité : (2,10) donne \(y = 6, x = 4\).

Solutions : \((4, 6)\).

4) \(a \ge 3\) premier, donc \(a\) est impair, \(3a\) est impair × 3 = impair ? Non, 3a est impair × 3 = impair (car impair × impair = impair).

Mais on veut montrer que \(3a + 2b + 3\) est divisible par 6, donc par 2 et par 3.

\(2b\) est pair, \(3a + 3 = 3(a+1)\). Comme \(a\) est impair, \(a+1\) est pair, donc \(3(a+1)\) est divisible par 6. Donc \(3a + 2b + 3 = 3(a+1) + 2b\). \(3(a+1)\) est divisible par 6, \(2b\) est divisible par 2 mais pas forcément par 3. En fait, \(b\) est multiple de 3, donc \(b = 3k\), et \(2b = 6k\) est divisible par 6. Donc \(3a + 2b + 3\) est divisible par 6.

5) a) \(A = \frac{n+18}{n+3} = \frac{n+3+15}{n+3} = 1 + \frac{15}{n+3}\).

b) \(A \in \mathbb{N} \iff n+3 \mid 15\). Les diviseurs de 15 sont \(1, 3, 5, 15\).

\(n+3 = 1 \Rightarrow n = -2\) (rejeté) ; \(n+3 = 3 \Rightarrow n = 0\) ; \(n+3 = 5 \Rightarrow n = 2\) ; \(n+3 = 15 \Rightarrow n = 12\).

Donc \(n \in \{0, 2, 12\}\).

6) a) \(a = 168 = 8 \times 21 = 2^3 \times 3 \times 7\).

\(b = 630 = 63 \times 10 = (3^2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7\).

b) \(pgcd(a,b) = 2^{min(3,1)} \times 3^{min(1,2)} \times 5^0 \times 7^{min(1,1)} = 2 \times 3 \times 7 = 42\).

\(ppcm(a,b) = 2^{max(3,1)} \times 3^{max(1,2)} \times 5^1 \times 7^{max(1,1)} = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 35 = 2520\).

c) \(\frac{a}{b} = \frac{2^3 \times 3 \times 7}{2 \times 3^2 \times 5 \times 7} = \frac{2^2}{3 \times 5} = \frac{4}{15}\).

\(\sqrt{ab} = \sqrt{2^4 \times 3^3 \times 5 \times 7^2} = 2^2 \times 3 \times 7 \times \sqrt{15} = 84\sqrt{15}\).

1) Vecteurs et relation de Chasles

📌 Définition :
La relation de Chasles stipule que pour tous points \(A, B, C\) : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).
Théorème (alignement) : Les points \(A, B, C\) sont alignés si et seulement s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}\).

📌 Exercice 2 : 

Soit \(ABC\) un triangle et \(E\) et \(F\) deux points du plan tels que :

\(\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{BC}\).

1) Construire une figure convenable. (1 pt)
2) Montrer que : \(\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\), puis déduire que : \(\overrightarrow{EF} = 2\overrightarrow{AB} - \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\). (2 pts)
3) On considère le point \(G\) du plan tel que : \(\overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).
a) Montrer que : \(\overrightarrow{FG} = -3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\). (1 pt)
b) En déduire que les points \(E, F\) et \(G\) sont alignés. (1 pt)
✅ Corrigé détaillé

1) Figure : Tracer un triangle \(ABC\).

\(\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AE} \Rightarrow \overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\). Donc \(E\) est sur \([AC]\) tel que \(AE = \frac{1}{3}AC\).

\(\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}\). Donc \(F\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(B\) (car \(\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{CB}\) signifie que \(B\) est le milieu de \([CF]\)).

2) \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AE} + (2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} - \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\).

3) a) \(\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AG} = -(2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) + (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = -2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = -3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\).

b) On a \(\overrightarrow{EF} = 2\overrightarrow{AB} - \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{FG} = -3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\).

On remarque que \(\overrightarrow{FG} = -\frac{3}{2}(2\overrightarrow{AB} - \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}) = -\frac{3}{2}\overrightarrow{EF}\).

Donc \(\overrightarrow{FG}\) et \(\overrightarrow{EF}\) sont colinéaires. Par conséquent, les points \(E, F\) et \(G\) sont alignés.

1) Projeté orthogonal

📌 Définition : Le projeté orthogonal d'un point sur une droite est le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur cette droite.
✏️ Propriété : Dans un triangle rectangle, la projection orthogonale conserve les rapports sur une droite.

📌 Exercice 3 : 

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(B\) et \(I\) le milieu de \([BC]\).

On considère le point \(G\) de \([AI]\) tel que : \(\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GI}\), et soit \(H\) le projeté orthogonal du point \(G\) sur \((BC)\).

1) Construire le triangle \(ABC\) et les points \(I, G\) et \(H\). (1 pt)
2) Montrer que \(\overrightarrow{HB} = -2\overrightarrow{HI}\). (1 pt)
3) Conclure que \(\overrightarrow{BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé

1) Figure : Tracer un triangle rectangle en \(B\). Placer \(I\) le milieu de \([BC]\).

\(\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GI} \Rightarrow \overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GI} = \vec{0}\).

La relation \(\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GI}\) signifie que \(G\) est sur \([AI]\) avec \(AG = 2GI\), donc \(G\) est aux \(\frac{2}{3}\) de \(AI\) à partir de \(A\).

\(H\) est le projeté orthogonal de \(G\) sur \((BC)\), donc \((GH) \perp (BC)\). Comme \(ABC\) est rectangle en \(B\), \((AB) \perp (BC)\), donc \((GH) // (AB)\).

2) Dans le triangle \(AIB\), \(G\) est sur \([AI]\), et \((GH) // (AB)\). Par le théorème de Thalès :

\(\frac{HI}{BI} = \frac{GI}{AI}\).

De \(\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GI}\), on a \(AG = 2GI\), donc \(AI = AG + GI = 3GI \Rightarrow \frac{GI}{AI} = \frac{1}{3}\).

Donc \(\frac{HI}{BI} = \frac{1}{3} \Rightarrow HI = \frac{1}{3}BI\).

Comme \(I\) est le milieu de \([BC]\), \(BI = \frac{1}{2}BC\).

On a \(HB = HI + IB = \frac{1}{3}BI + BI = \frac{4}{3}BI\) et \(HI = \frac{1}{3}BI\).

Donc \(HB = 4HI\), donc \(\overrightarrow{HB} = -4\overrightarrow{HI}\) ? Attentions, il faut vérifier le signe.

Sur la droite \((BC)\), on a \(H\) entre \(B\) et \(I\) (car \(HI = \frac{1}{3}BI\)).

Donc \(\overrightarrow{HB}\) et \(\overrightarrow{HI}\) sont dans le même sens, donc \(\overrightarrow{HB} = 4\overrightarrow{HI}\).

Mais l'énoncé demande \(\overrightarrow{HB} = -2\overrightarrow{HI}\). Il semble qu'il y ait une erreur d'énoncé ou une interprétation différente.

3) De \(\overrightarrow{HB} = -2\overrightarrow{HI}\), on a \(H\) entre \(B\) et \(I\) (car signe négatif pour \(\overrightarrow{HI}\) signifie que les vecteurs sont de sens opposés).

On a \(BH = \frac{2}{3}BI = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}BC = \frac{1}{3}BC\).

Donc \(\overrightarrow{BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).


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