متطلبات الإكمال
1) Décomposition en facteurs premiers
📌 Définition : La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme produit de nombres premiers.
Théorème (PGCD et PPCM) : Si \(a = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\) et \(b = p_1^{\beta_1} \cdots p_k^{\beta_k}\), alors :
\(\text{pgcd}(a,b) = p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\min(\alpha_k,\beta_k)}\)
\(\text{ppcm}(a,b) = p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)}\)
\(\text{pgcd}(a,b) = p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\min(\alpha_k,\beta_k)}\)
\(\text{ppcm}(a,b) = p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)}\)
📌 Exercice 1
1) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres : \(a = 2600\) et \(b = 3920\).
2) On admet que \(a = 2^3 \times 5^2 \times 13\) et \(b = 2^4 \times 5 \times 7^2\).
(a) Déterminer \(\text{pgcd}(a; b)\) et \(\text{ppcm}(a; b)\).
(b) Donner le nombre \(\frac{a}{b}\) sous la forme d'une fraction irréductible.
(c) Montrer que \(\sqrt{130 \times a \times b}\) est un entier naturel (sans calculer la valeur de \(130 \times a \times b\)).
✅ Corrigé détaillé
1) \(a = 2600 = 26 \times 100 = (2 \times 13) \times (2^2 \times 5^2) = 2^3 \times 5^2 \times 13\).
\(b = 3920 = 392 \times 10 = (2^3 \times 7^2) \times (2 \times 5) = 2^4 \times 5 \times 7^2\).
2) (a) \(\text{pgcd}(a,b) = 2^{\min(3,4)} \times 5^{\min(2,1)} \times 7^0 \times 13^0 = 2^3 \times 5 = 40\).
\(\text{ppcm}(a,b) = 2^{\max(3,4)} \times 5^{\max(2,1)} \times 7^2 \times 13 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2 \times 13 = 16 \times 25 \times 49 \times 13 = 254800\).
(b) \(\frac{a}{b} = \frac{2^3 \times 5^2 \times 13}{2^4 \times 5 \times 7^2} = \frac{5 \times 13}{2 \times 7^2} = \frac{65}{98}\).
(c) \(130 \times a \times b = 130 \times (2^3 \times 5^2 \times 13) \times (2^4 \times 5 \times 7^2)\).
\(130 = 2 \times 5 \times 13\). Donc :
\(130 \times a \times b = (2 \times 5 \times 13) \times (2^3 \times 5^2 \times 13) \times (2^4 \times 5 \times 7^2)\)
\(= 2^{1+3+4} \times 5^{1+2+1} \times 13^{1+1} \times 7^2 = 2^8 \times 5^4 \times 13^2 \times 7^2\).
Donc \(\sqrt{130 \times a \times b} = \sqrt{2^8 \times 5^4 \times 13^2 \times 7^2} = 2^4 \times 5^2 \times 13 \times 7 = 16 \times 25 \times 91 = 36400\), qui est un entier naturel.
📌 Exercice 2 : Parité
\(n\) désigne un entier naturel.
1) Étudier la parité des nombres suivants :
\(A = 2n^2 + 6n + 18\) ; \(B = 12n + 13\).
2) Montrer que le nombre \(n^2 + 3n + 4\) est un nombre pair.
3) Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3.
✅ Corrigé détaillé
1) \(A = 2n^2 + 6n + 18 = 2(n^2 + 3n + 9)\). Donc \(A\) est toujours pair.
\(B = 12n + 13\) : \(12n\) est pair, +13 (impair) donne impair. Donc \(B\) est toujours impair.
2) \(n^2 + 3n + 4 = n(n+3) + 4\). Si \(n\) est pair, \(n(n+3)\) est pair, +4 (pair) donne pair. Si \(n\) est impair, \(n+3\) est pair, donc \(n(n+3)\) est pair, +4 donne pair. Donc le nombre est toujours pair.
3) Soient trois entiers consécutifs : \(n\), \(n+1\), \(n+2\). Leur somme est : \(n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)\), qui est un multiple de 3.
📌 Exercice 3 : Diviseurs et équations
\(x\) et \(y\) désignent deux entiers naturels.
1) Développer l'expression suivante : \((x+1)(3y+1)\).
2) Déterminer tous les entiers diviseurs de 38.
3) Déterminer tous les entiers naturels \(x\) et \(y\) solutions de l'équation \(3xy + x + 3y = 37\).
✅ Corrigé détaillé
1) \((x+1)(3y+1) = 3xy + x + 3y + 1\).
2) Diviseurs de 38 : \(1, 2, 19, 38\).
3) \(3xy + x + 3y = 37 \iff (x+1)(3y+1) = 38\) (d'après le développement).
Les diviseurs de 38 donnent les couples \((d_1, d_2)\) avec \(d_1 = x+1\) et \(d_2 = 3y+1\).
Couples possibles : (1,38), (2,19), (19,2), (38,1).
\(x+1 = 1 \Rightarrow x = 0\) et \(3y+1 = 38 \Rightarrow 3y = 37 \Rightarrow y = \frac{37}{3}\) (non entier).
\(x+1 = 2 \Rightarrow x = 1\) et \(3y+1 = 19 \Rightarrow 3y = 18 \Rightarrow y = 6\).
\(x+1 = 19 \Rightarrow x = 18\) et \(3y+1 = 2 \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{3}\) (non entier).
\(x+1 = 38 \Rightarrow x = 37\) et \(3y+1 = 1 \Rightarrow 3y = 0 \Rightarrow y = 0\).
Solutions : \((1, 6)\) et \((37, 0)\).
1) Vecteurs dans un parallélogramme
📌 Définition : Dans un parallélogramme \(ABCD\), on a \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
Théorème (relation de Chasles) : Pour tous points \(A, B, C\) : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).
📌 Exercice 4 : Parallélogramme et points
1) Reproduire la figure suivante, et placer les points \(I, J\) et \(K\) tels que :
\(\overrightarrow{AI} = \frac{5}{6}\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{CJ} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{CD}\) ; \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).
2) Compléter par le nombre qui convient : \(\overrightarrow{AE} = \ldots \overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{AF} = \ldots \overrightarrow{AD}\).
✅ Corrigé détaillé
1) Figure : Dans un parallélogramme \(ABCD\) :
• \(I\) est sur \([AB]\) tel que \(AI = \frac{5}{6}AB\).
• \(\overrightarrow{CJ} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{CD}\). Comme \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\), on a \(\overrightarrow{CJ} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\). Donc \(J\) est sur la droite \((AB)\) du côté de \(B\) à partir de \(C\).
• \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) correspond au point \(K\) tel que \(K\) est le sommet du parallélogramme construit sur \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
2) Sur la figure, \(\overrightarrow{AE} = \frac{5}{6}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD}\).
📌 Exercice 5 : Vecteurs et alignement
Dans la figure ci-contre, on a :
\(\overrightarrow{AR} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{AS} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{BT} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{AT} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
3) Vérifier que \(\frac{5}{9}\overrightarrow{RT} = \overrightarrow{RS}\). Conclure.
✅ Corrigé détaillé
1) \(\overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BT} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} - \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\).
2) \(\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AS} = -\overrightarrow{AR} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
3) \(\overrightarrow{RT} = \overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AT} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \left(\frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\right) = \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{5}\right)\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC} = \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\).
\(\frac{5}{9}\overrightarrow{RT} = \frac{5}{9}\left(\frac{9}{10}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{RS}\).
Donc \(\overrightarrow{RS} = \frac{5}{9}\overrightarrow{RT}\). Les vecteurs sont colinéaires, donc \(R, S, T\) sont alignés.
📌 Exercice 6 : Centre de gravité
\(ABC\) est un triangle. \(I\) est le milieu de \([BC]\) et \(G\) est un point du plan tel que : \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\).
Montrer que \(\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}\).
✅ Corrigé détaillé
On a \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\).
En utilisant la relation de Chasles avec \(G\) comme origine :
\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IC}) = 3\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}\).
Comme \(I\) est le milieu de \([BC]\), \(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0}\).
Donc \(3\overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IA} = \vec{0} \Rightarrow 3\overrightarrow{GI} = -\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{AI}\).
Donc \(\overrightarrow{GI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AI}\).
Alors \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IG} = \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{GI} = \overrightarrow{AI} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI}\).