Completion requirements
1) Décomposition en facteurs premiers
📌 Définition : La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme produit de nombres premiers.
Théorème (PGCD et PPCM) : Si \(a = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\) et \(b = p_1^{\beta_1} \cdots p_k^{\beta_k}\), alors :
\(\text{PGCD}(a,b) = p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\min(\alpha_k,\beta_k)}\)
\(\text{PPCM}(a,b) = p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)}\)
\(\text{PGCD}(a,b) = p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\min(\alpha_k,\beta_k)}\)
\(\text{PPCM}(a,b) = p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)}\)
📌 Exercice 01 :
1) Décomposer les nombres 3240 et 1440 en produit de facteurs premiers.
2) En déduire \(\text{PGCD}(3240;1440)\) et \(\text{PPCM}(3240;1440)\).
3) Simplifier \(\sqrt{3240}\) et \(\sqrt{1440}\).
4) En déduire que \(\sqrt{3240} \times 1440\) est un entier naturel.
✅ Corrigé détaillé
1) \(3240 = 324 \times 10 = (2^2 \times 3^4) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^4 \times 5\).
\(1440 = 144 \times 10 = (2^4 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^5 \times 3^2 \times 5\).
2) \(\text{PGCD}(3240,1440) = 2^{\min(3,5)} \times 3^{\min(4,2)} \times 5^{\min(1,1)} = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360\).
\(\text{PPCM}(3240,1440) = 2^{\max(3,5)} \times 3^{\max(4,2)} \times 5^{\max(1,1)} = 2^5 \times 3^4 \times 5 = 32 \times 81 \times 5 = 12960\).
3) \(\sqrt{3240} = \sqrt{2^3 \times 3^4 \times 5} = \sqrt{2^2 \times 2 \times 3^4 \times 5} = 2 \times 3^2 \times \sqrt{2 \times 5} = 18\sqrt{10}\).
\(\sqrt{1440} = \sqrt{2^5 \times 3^2 \times 5} = \sqrt{2^4 \times 2 \times 3^2 \times 5} = 2^2 \times 3 \times \sqrt{2 \times 5} = 12\sqrt{10}\).
4) \(\sqrt{3240} \times 1440 = (18\sqrt{10}) \times 1440 = 18 \times 1440 \times \sqrt{10} = 25920\sqrt{10}\).
Mais \(25920\sqrt{10}\) n'est pas un entier naturel. Vérifions plutôt :
\(\sqrt{3240} \times \sqrt{1440} = \sqrt{3240 \times 1440} = \sqrt{2^8 \times 3^6 \times 5^2} = 2^4 \times 3^3 \times 5 = 16 \times 27 \times 5 = 2160\).
Donc \(\sqrt{3240} \times \sqrt{1440} = 2160\) est un entier naturel.
📌 Exercice 02 :
Est-ce que les nombres suivants sont premiers ? Justifier votre réponse.
\(a = 512348306811\) ; \(b = 5348313\) ; \(c = 5^{2023}\) ; \(d = 2027\) ; \(e = 5^{2024} + 3\) ; \(f = 2023\)
✅ Corrigé détaillé
a = 512348306811 : La somme des chiffres est \(5+1+2+3+4+8+3+0+6+8+1+1 = 42\), divisible par 3. Donc non premier.
b = 5348313 : La somme des chiffres est \(5+3+4+8+3+1+3 = 27\), divisible par 3. Donc non premier.
c = 5^{2023} : \(5^{2023}\) est divisible par 5. Donc non premier.
d = 2027 : \(\sqrt{2027} \approx 45,02\). Les nombres premiers ≤ 45 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
2027 n'est divisible par aucun de ces nombres. Donc 2027 est premier.
e = 5^{2024} + 3 : \(5^{2024}\) se termine par 5, donc \(5^{2024} + 3\) se termine par 8, donc est pair. Donc non premier.
f = 2023 : \(\sqrt{2023} \approx 44,98\). Les nombres premiers ≤ 44 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
2023 n'est divisible par aucun de ces nombres. Donc 2023 est premier.
📌 Exercice 03 :
1) Démontrer que \(3n^2 + 15n + 7\) est un nombre impair. (1pt)
2) Démontrer que \(5n^2 - 7n + 4\) est un nombre pair. (1pt)
3) Démontrer que \(n^4 - n^2 + 16\) est un multiple de 4. (1pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(3n^2 + 15n + 7 = 3n^2 + 15n + 6 + 1 = 3(n^2 + 5n + 2) + 1\).
\(3(n^2 + 5n + 2)\) est un multiple de 3, donc est divisible par 3. Mais pour la parité :
\(3n^2\) a la même parité que \(n^2\), \(15n\) a la même parité que \(n\).
• Si \(n\) est pair : \(3n^2\) est pair, \(15n\) est pair, +7 (impair) donne impair.
• Si \(n\) est impair : \(3n^2\) est impair, \(15n\) est impair, impair + impair = pair, +7 (impair) = impair.
Donc \(3n^2 + 15n + 7\) est toujours impair.
2) \(5n^2 - 7n + 4 = n(5n - 7) + 4\).
• Si \(n\) est pair : \(n(5n-7)\) est pair, +4 (pair) donne pair.
• Si \(n\) est impair : \(5n-7\) est pair (impair - impair = pair), donc \(n(5n-7)\) est pair, +4 donne pair.
Donc \(5n^2 - 7n + 4\) est toujours pair.
3) \(n^4 - n^2 + 16 = n^2(n^2 - 1) + 16 = n^2(n-1)(n+1) + 16\).
\(n^2(n-1)(n+1)\) est le produit de \(n^2\) par deux entiers consécutifs \((n-1)\) et \((n+1)\).
Parmi \(n-1\) et \(n+1\), l'un est pair, donc leur produit est pair. Donc \(n^2(n-1)(n+1)\) est divisible par 2.
De plus, si \(n\) est pair, \(n^2\) est divisible par 4, donc \(n^2(n-1)(n+1)\) est divisible par 4.
Si \(n\) est impair, \(n-1\) et \(n+1\) sont pairs, donc leur produit est divisible par 4.
Dans tous les cas, \(n^2(n-1)(n+1)\) est divisible par 4, et 16 est divisible par 4.
Donc \(n^4 - n^2 + 16\) est divisible par 4.
📌 Exercice 04 :
Soit \(n \in \mathbb{N}\).
1) Montrer que \((n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n) = n^4 + n^2 + 1\). (1pt)
2) Montrer que \(10^8 + 10^4 + 1\) est divisible par 111. (1pt)
3) Montrer que \(10^8 + 10^4 + 1\) est divisible par 111. (1pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \((n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n) = (n^2 + 1)^2 - n^2 = n^4 + 2n^2 + 1 - n^2 = n^4 + n^2 + 1\).
L'égalité est vérifiée.
2) On utilise la formule avec \(n = 10^2\) :
\(10^8 + 10^4 + 1 = (10^4)^2 + 10^4 + 1 = (10^4)^4 + (10^4)^2 + 1\) ?
En fait, avec \(n = 10^2\), on a \(n^4 + n^2 + 1 = (n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n)\).
Pour \(n = 10^2\) : \(n^2 = 10^4\), donc \(10^8 + 10^4 + 1 = (10^4 + 1 - 10^2)(10^4 + 1 + 10^2) = (10^4 - 100 + 1)(10^4 + 100 + 1) = 9901 \times 10101\).
Or \(10101 = 111 \times 91\). Donc \(10^8 + 10^4 + 1 = 9901 \times 111 \times 91\).
Donc \(10^8 + 10^4 + 1\) est divisible par 111.
3) La question 3 est identique à la question 2. Donc \(10^8 + 10^4 + 1\) est divisible par 111.
📌 Exercice 05 :
\(m \in \mathbb{N}\), \(n \in \mathbb{N}\) et \(m > n\).
1) Montrer que \(m + n\) et \(m - n\) ont la même parité. (1pt)
2) Déterminer tous les couples \((x; y)\) de nombres entiers naturels qui vérifient la relation : \(x^2 - y^2 = 12\). (2pts)
✅ Corrigé détaillé
1) \((m+n) + (m-n) = 2m\), qui est pair.
Si \(m+n\) et \(m-n\) étaient de parités différentes, leur somme serait impaire, ce qui contredit le fait que \(2m\) est pair.
Donc \(m+n\) et \(m-n\) ont la même parité.
2) \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) = 12\).
Les diviseurs de 12 sont : \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
On cherche des couples \((d_1, d_2)\) avec \(d_1 = x-y\), \(d_2 = x+y\), \(d_1 < d_2\), et \(d_1 \times d_2 = 12\).
On a \(x = \frac{d_1+d_2}{2}\) et \(y = \frac{d_2-d_1}{2}\).
Il faut que \(d_1\) et \(d_2\) aient la même parité.
Les couples de diviseurs de 12 avec la même parité :
• \((2, 6)\) : \(x = 4\), \(y = 2\)
Solution : \((4, 2)\).
1) Vecteurs colinéaires
📌 Définition : Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Théorème : Si \(\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}\), alors le point \(M\) appartient à la droite \((AB)\).
📌 Exercice 06 :
Soient \(A, B\) et \(M\) trois points du plan tels que : \(2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{AB} = \vec{0}\).
Montrer que le point \(M\) appartient à la droite \((AB)\).
✅ Corrigé détaillé
\(2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{AB} = \vec{0}\).
Or \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}\).
Donc \(2\overrightarrow{MA} + 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) + 3\overrightarrow{AB} = \vec{0}\).
\(2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AB} = \vec{0}\).
\(5\overrightarrow{MA} + 6\overrightarrow{AB} = \vec{0}\).
\(\overrightarrow{MA} = -\frac{6}{5}\overrightarrow{AB}\).
Donc \(\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{MA} = \frac{6}{5}\overrightarrow{AB}\).
Donc \(\overrightarrow{AM} = \frac{6}{5}\overrightarrow{AB}\), ce qui signifie que \(M\) appartient à la droite \((AB)\).
📌 Exercice 07 :
Soit \(ABC\) un triangle. \(E\) et \(F\) sont deux points tels que :
\(\overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\).
1) Faire une figure. (0.5pt)
2) Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{BE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). (1pt)
3) Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). (1pt)
4) En déduire que les points \(E, F\) et \(B\) sont alignés. (1.5pts)
✅ Corrigé détaillé
1) Figure : Tracer un triangle \(ABC\).
\(\overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\) : \(F\) est sur la droite \((AC)\) au-delà de \(C\) avec \(AF = \frac{4}{3}AC\).
\(\overrightarrow{CE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\) : \(E\) est sur la droite passant par \(C\) parallèle à \((AB)\) avec \(CE = \frac{1}{4}AB\).
2) \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).
Donc \(\overrightarrow{BE} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).
3) \(\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\).
Donc \(\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\).
4) On a \(\overrightarrow{BE} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\).
On remarque que \(\overrightarrow{BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{BE}\).
En effet, \(\frac{4}{3}\overrightarrow{BE} = \frac{4}{3}(-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BF}\).
Donc \(\overrightarrow{BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{BE}\). Les vecteurs sont colinéaires, donc les points \(B, E, F\) sont alignés.