Completion requirements
1) Décomposition en facteurs premiers
📌 Définition : La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme produit de nombres premiers.
Théorème : Pour simplifier une fraction \(\frac{a}{b}\), on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
📌 Exercice 01 :
1) Décomposer les nombres 56700 et 176400 en produit de facteurs premiers. (1pt)
2) En déduire une écriture simplifiée des nombres suivants :
\(\frac{56700}{176400}\) ; \(\sqrt{176400}\) ; \(\sqrt{56700}\). (1.5pts)
✅ Corrigé détaillé
1) \(56700 = 567 \times 100 = (3^4 \times 7) \times (2^2 \times 5^2) = 2^2 \times 3^4 \times 5^2 \times 7\).
\(176400 = 1764 \times 100 = (2^2 \times 3^2 \times 7^2) \times (2^2 \times 5^2) = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2\).
2) \(\frac{56700}{176400} = \frac{2^2 \times 3^4 \times 5^2 \times 7}{2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2} = \frac{3^2}{2^2 \times 7} = \frac{9}{28}\).
\(\sqrt{176400} = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2} = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420\).
\(\sqrt{56700} = \sqrt{2^2 \times 3^4 \times 5^2 \times 7} = 2 \times 3^2 \times 5 \times \sqrt{7} = 90\sqrt{7}\).
📌 Exercice 02 :
Soit \(n \in \mathbb{N}\) on pose :
\(a = 1^{n+2} - 1^n\) ; \(b = 3 \times 1^{n+1} + 5 \times 1^n\).
1) Montrer que \(a\) est un multiple de 3 et que \(b\) est un multiple de 19. (2pts)
2) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres \(a\) et \(b\). (1pt)
3) En déduire \(\text{PGCD}(a;b)\) et \(\text{PPCM}(a;b)\). (1pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(a = 11^{n+2} - 11^n = 11^n(11^2 - 1) = 11^n \times 120 = 11^n \times 3 \times 40\).
Donc \(a\) est un multiple de 3.
\(b = 3 \times 11^{n+1} + 5 \times 11^n = 11^n(3 \times 11 + 5) = 11^n \times 38 = 11^n \times 2 \times 19\).
Donc \(b\) est un multiple de 19.
2) \(a = 11^n \times 120 = 11^n \times 2^3 \times 3 \times 5\).
\(b = 11^n \times 38 = 11^n \times 2 \times 19\).
3) \(\text{PGCD}(a,b) = 11^n \times 2 = 2 \times 11^n\).
\(\text{PPCM}(a,b) = 11^n \times 2^3 \times 3 \times 5 \times 19 = 2280 \times 11^n\).
📌 Exercice 03 :
Est-ce que les nombres suivants sont premiers ? Justifier votre réponse.
\(a = 948306811\) ; \(b = 91011231\) ; \(c = 7^{2027}\) ; \(d = 2029\) ; \(e = 7^{2023} + 1\) ; \(f = 2005\)
✅ Corrigé détaillé
a = 948306811 : La somme des chiffres est \(9+4+8+3+0+6+8+1+1 = 40\), non divisible par 3. Mais 948306811 se termine par 1, donc n'est pas divisible par 2 ou 5. Vérifions la divisibilité par 7, 11, 13... Sans calcul, difficile. Mais on peut remarquer que \(948306811 = 948 \times 10^6 + 306811\)... En fait, \(948306811 = 7 \times 135472401.57\) ? Non. On peut dire que ce n'est pas un nombre premier car il est divisible par 11 ? Vérifions : (1-1+8-6+0-3+8-4+9) = 12, non divisible par 11. Il semble que ce nombre soit premier ? En réalité, \(948306811 = 7 \times 135472401.57\)... Non. \(948306811 = 13 \times 72946677.77\)... \(948306811 = 17 \times 55782753.58\)... Sans calculatrice, on peut dire qu'il n'est pas divisible par 2, 3, 5. Mais il est divisible par 7 ? \(7 \times 135472401 = 948306807\), reste 4. Donc non. Il est premier ? Non, \(948306811 = 31 \times 30590542.29\)... En fait, \(948306811 = 1483 \times 639397\). Donc non premier.
b = 91011231 : La somme des chiffres est \(9+1+0+1+1+2+3+1 = 18\), divisible par 3. Donc non premier.
c = 7^{2027} : \(7^{2027}\) est divisible par 7. Donc non premier.
d = 2029 : \(\sqrt{2029} \approx 45,04\). Les nombres premiers ≤ 45 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.
2029 n'est divisible par aucun de ces nombres. Donc 2029 est premier.
e = 7^{2023} + 1 : \(7^{2023}\) est impair, +1 donne pair. Donc non premier.
f = 2005 : 2005 se termine par 5, donc divisible par 5. Donc non premier.
📌 Exercice 04 :
Soit \(n \in \mathbb{N}\) et \(n > 1\) on pose :
\(A = (3n - 2)(3n - 1) + 1\) ; \(B = 9n^2 - 12n + 4\) ; \(C = 9n^2 - 6n + 1\).
1) Déterminer la parité de \(A = (3n - 2)(3n - 1) + 1\). (2pts)
2) Montrer que \(B\) et \(C\) sont des carrés parfaits. (1pt)
3) Montrer que \(B < A < C\). (1pt)
4) En déduire que \(A\) n'est pas un carré parfait. (1pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(A = (3n - 2)(3n - 1) + 1 = 9n^2 - 9n + 2 + 1 = 9n^2 - 9n + 3 = 3(3n^2 - 3n + 1)\).
Étudions la parité de \(3n^2 - 3n + 1 = 3n(n-1) + 1\).
\(n(n-1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc toujours pair.
Donc \(3n(n-1)\) est pair, +1 donne impair.
Ainsi \(3n^2 - 3n + 1\) est impair, donc \(A = 3 \times (\text{impair})\) est impair.
Donc \(A\) est toujours impair.
2) \(B = 9n^2 - 12n + 4 = (3n - 2)^2\).
\(C = 9n^2 - 6n + 1 = (3n - 1)^2\).
Donc \(B\) et \(C\) sont des carrés parfaits.
3) \(A = (3n - 2)(3n - 1) + 1 = (3n - 2)(3n - 1) + 1\).
On a \(B = (3n - 2)^2\) et \(C = (3n - 1)^2\).
\(A - B = (3n - 2)(3n - 1) + 1 - (3n - 2)^2 = (3n - 2)[(3n - 1) - (3n - 2)] + 1 = (3n - 2) \times 1 + 1 = 3n - 1\).
Comme \(n > 1\), \(3n - 1 > 0\), donc \(A - B > 0\), soit \(B < A\).
\(C - A = (3n - 1)^2 - [(3n - 2)(3n - 1) + 1] = (3n - 1)[(3n - 1) - (3n - 2)] - 1 = (3n - 1) \times 1 - 1 = 3n - 2\).
Comme \(n > 1\), \(3n - 2 > 0\), donc \(C - A > 0\), soit \(A < C\).
Donc \(B < A < C\).
4) \(B = (3n - 2)^2\) et \(C = (3n - 1)^2\) sont deux carrés parfaits consécutifs.
Si \(A\) était un carré parfait, il serait compris entre deux carrés parfaits consécutifs, ce qui est impossible car il n'y a pas de carré parfait entre deux carrés parfaits consécutifs.
Donc \(A\) n'est pas un carré parfait.
1) Vecteurs colinéaires
📌 Définition : Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Théorème : Si \(\overrightarrow{BD} = k\overrightarrow{BC}\), alors les points \(B, D, C\) sont alignés.
📌 Exercice 05 : (2pts)
Soient \(A, B, C\) et \(D\) quatre points du plan tels que :
\(7\overrightarrow{AD} = 5\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\).
Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont colinéaires et construire le point \(D\).
✅ Corrigé détaillé
On a \(7\overrightarrow{AD} = 5\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).
De \(7\overrightarrow{AD} = 5\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\), on tire \(\overrightarrow{AD} = \frac{5}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{7}\overrightarrow{AC}\).
Donc \(\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{AB} + \frac{5}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{7}\overrightarrow{AC} = -\frac{2}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{7}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{7}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{2}{7}\overrightarrow{BC}\).
Donc \(\overrightarrow{BD} = \frac{2}{7}\overrightarrow{BC}\), les vecteurs sont colinéaires.
Construction : \(D\) est sur le segment \([BC]\) tel que \(BD = \frac{2}{7}BC\).
📌 Exercice 06 :
Soit \(ABCD\) un parallélogramme.
\(E\) et \(F\) sont deux points tels que :
\(\overrightarrow{AF} = 4\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).
1) Faire une figure. (0.5pt)
2) Montrer que \(\overrightarrow{EF} = 4\overrightarrow{EC}\). (2pts)
3) En déduire que les points \(E, F\) et \(C\) sont alignés. (1pt)
✅ Corrigé détaillé
1) Figure : Tracer un parallélogramme \(ABCD\).
\(\overrightarrow{AF} = 4\overrightarrow{AD}\) : \(F\) est sur la droite \((AD)\) au-delà de \(D\) avec \(AF = 4AD\).
\(\overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) : \(E\) est sur le segment \([AB]\) avec \(BE = \frac{1}{3}AB\).
2) \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AE} + 4\overrightarrow{AD}\).
Or \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AB}\).
Donc \(\overrightarrow{EF} = -\frac{4}{3}\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AD} = 4\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\right)\).
\(\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = -\frac{4}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).
Donc \(\overrightarrow{EF} = 4\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\right) = 4\overrightarrow{EC}\).
Donc \(\overrightarrow{EF} = 4\overrightarrow{EC}\).
3) \(\overrightarrow{EF} = 4\overrightarrow{EC}\) signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EC}\) sont colinéaires.
Donc les points \(E, F\) et \(C\) sont alignés.