متطلبات الإكمال
1) Décomposition en facteurs premiers
📌 Définition : La décomposition en produit de facteurs premiers consiste à écrire un nombre comme produit de nombres premiers.
Théorème (PGCD et PPCM) : Si \(a = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\) et \(b = p_1^{\beta_1} \cdots p_k^{\beta_k}\), alors :
\(\text{PGCD}(a,b) = p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\min(\alpha_k,\beta_k)}\)
\(\text{PPCM}(a,b) = p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)}\)
\(\text{PGCD}(a,b) = p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\min(\alpha_k,\beta_k)}\)
\(\text{PPCM}(a,b) = p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)} \cdots p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)}\)
📌 Exercice 01 : (4pts)
On considère les nombres : \(a = 2520\) et \(b = 256\).
1) Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres \(a\) et \(b\). (1pt)
2) En déduire \(\text{PGCD}(a;b)\) et \(\text{PPCM}(a;b)\). (1pt)
3) Simplifier : \(\frac{a}{b}\) ; \(\sqrt{a}\) ; \(\sqrt{b}\) et \(\sqrt{ab}\). (2pts)
✅ Corrigé détaillé
1) \(a = 2520 = 252 \times 10 = (2^2 \times 3^2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7\).
\(b = 256 = 2^8\).
2) \(\text{PGCD}(a,b) = 2^{\min(3,8)} = 2^3 = 8\).
\(\text{PPCM}(a,b) = 2^{\max(3,8)} \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2^8 \times 9 \times 5 \times 7 = 256 \times 315 = 80640\).
3) \(\frac{a}{b} = \frac{2520}{256} = \frac{2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7}{2^8} = \frac{3^2 \times 5 \times 7}{2^5} = \frac{315}{32}\).
\(\sqrt{a} = \sqrt{2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7} = \sqrt{2^2 \times 2 \times 3^2 \times 5 \times 7} = 2 \times 3 \times \sqrt{2 \times 5 \times 7} = 6\sqrt{70}\).
\(\sqrt{b} = \sqrt{2^8} = 2^4 = 16\).
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} = 6\sqrt{70} \times 16 = 96\sqrt{70}\).
📌 Exercice 02 : (4pts)
Soit \(n \in \mathbb{N}\) on pose :
\(a = 5 \times 19^{2n+1} - 23 \times 19^{2n}\) ; \(b = 2 \times 19^{n+1} + 10 \times 19^n\).
1) Montrer que \(a\) est un multiple de 72 et que \(b\) est un multiple de 48. (2pts)
2) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres \(a\) et \(b\). (1pt)
3) En déduire \(\text{PGCD}(a;b)\) et \(\text{PPCM}(a;b)\). (1pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(a = 5 \times 19^{2n+1} - 23 \times 19^{2n} = 19^{2n}(5 \times 19 - 23) = 19^{2n}(95 - 23) = 72 \times 19^{2n}\).
Donc \(a\) est un multiple de 72.
\(b = 2 \times 19^{n+1} + 10 \times 19^n = 19^n(2 \times 19 + 10) = 19^n(38 + 10) = 48 \times 19^n\).
Donc \(b\) est un multiple de 48.
2) \(a = 72 \times 19^{2n} = 2^3 \times 3^2 \times 19^{2n}\).
\(b = 48 \times 19^n = 2^4 \times 3 \times 19^n\).
3) \(\text{PGCD}(a,b) = 2^{\min(3,4)} \times 3^{\min(2,1)} \times 19^{\min(2n,n)} = 2^3 \times 3 \times 19^n = 24 \times 19^n\).
\(\text{PPCM}(a,b) = 2^{\max(3,4)} \times 3^{\max(2,1)} \times 19^{\max(2n,n)} = 2^4 \times 3^2 \times 19^{2n} = 144 \times 19^{2n}\).
📌 Exercice 03 : (3pts)
Soit \(n \in \mathbb{N}\).
1) Montrer que \(n^2 + n\) est un nombre pair. (1pt)
2) En déduire la parité de \(n^2 + n + 5\). (1pt)
3) Montrer que \(n^3 - n\) est divisible par 6. (1pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(n^2 + n = n(n+1)\). Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.
Donc \(n^2 + n\) est pair.
2) \(n^2 + n + 5 = \text{pair} + 5 = \text{pair} + \text{impair} = \text{impair}\).
Donc \(n^2 + n + 5\) est impair.
3) \(n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)\).
Le produit de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 6 (car divisible par 2 et par 3).
Donc \(n^3 - n\) est divisible par 6.
📌 Exercice 04 : (3pts)
Déterminer tous les couples \((x; y) \in \mathbb{N}^2\) tels que :
\(xy + 2x + 3y = 30\). (3pts)
✅ Corrigé détaillé
\(xy + 2x + 3y = 30 \iff xy + 2x + 3y + 6 = 36 \iff (x+3)(y+2) = 36\).
Les diviseurs de 36 sont : \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\).
On cherche des couples \((d_1, d_2)\) avec \(d_1 = x+3\) et \(d_2 = y+2\), et \(d_1 \times d_2 = 36\).
On a \(x = d_1 - 3\) et \(y = d_2 - 2\).
Il faut que \(x \ge 0\) et \(y \ge 0\), donc \(d_1 \ge 3\) et \(d_2 \ge 2\).
Les couples possibles :
• \((3, 12)\) : \(x = 0\), \(y = 10\)
• \((4, 9)\) : \(x = 1\), \(y = 7\)
• \((6, 6)\) : \(x = 3\), \(y = 4\)
• \((9, 4)\) : \(x = 6\), \(y = 2\)
• \((12, 3)\) : \(x = 9\), \(y = 1\)
• \((18, 2)\) : \(x = 15\), \(y = 0\)
Solutions : \((0,10), (1,7), (3,4), (6,2), (9,1), (15,0)\).
1) Vecteurs colinéaires
📌 Définition : Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Théorème : Si \(\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}\), alors le point \(M\) appartient à la droite \((AB)\).
📌 Exercice 05 : (2pts)
Soient \(A, B\) et \(M\) trois points du plan tels que :
\(3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 5\overrightarrow{AB} = \vec{0}\).
Montrer que le point \(M\) appartient à la droite \((AB)\).
✅ Corrigé détaillé
\(3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 5\overrightarrow{AB} = \vec{0}\).
Or \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}\).
Donc \(3\overrightarrow{MA} + 2(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) + 5\overrightarrow{AB} = \vec{0}\).
\(3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AB} = \vec{0}\).
\(5\overrightarrow{MA} + 7\overrightarrow{AB} = \vec{0}\).
\(\overrightarrow{MA} = -\frac{7}{5}\overrightarrow{AB}\).
Donc \(\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{MA} = \frac{7}{5}\overrightarrow{AB}\).
Donc \(\overrightarrow{AM} = \frac{7}{5}\overrightarrow{AB}\), ce qui signifie que \(M\) appartient à la droite \((AB)\).
📌 Exercice 06 : (4pts)
Soit \(ABC\) un triangle. \(E\) et \(F\) sont deux points tels que :
\(\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\).
1) Faire une figure. (0.5pt)
2) Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{CE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). (1pt)
3) Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{AF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). (1pt)
4) En déduire que les points \(C, E\) et \(F\) sont alignés. (1.5pts)
✅ Corrigé détaillé
1) Figure : Tracer un triangle \(ABC\).
\(\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) : \(E\) est sur le segment \([AB]\) avec \(AE = \frac{2}{3}AB\).
\(\overrightarrow{BF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\) : \(F\) est sur le segment \([BC]\) avec \(BF = \frac{3}{4}BC\).
2) \(\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\).
Donc \(\overrightarrow{CE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\).
3) \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).
Donc \(\overrightarrow{AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).
4) \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} = -\frac{5}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).
On a \(\overrightarrow{CE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\).
On remarque que \(\overrightarrow{EF} = -\frac{5}{8}\overrightarrow{CE}\) ?
Calculons \(-\frac{5}{8}\overrightarrow{CE} = -\frac{5}{8}(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = -\frac{5}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{8}\overrightarrow{AC}\).
Ce n'est pas égal à \(\overrightarrow{EF}\) car \(\frac{5}{8} \ne \frac{3}{4}\).
Vérifions autrement : \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = (\frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}) - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = -\frac{5}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{CE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\).
On a \(\overrightarrow{EF} = -\frac{5}{8}\overrightarrow{CE}\) ? \(\frac{3}{4} = -\frac{5}{8} \times (-\frac{?}{?})\) ...
\(\overrightarrow{EF} = -\frac{5}{8}(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = -\frac{5}{12}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{8}\overrightarrow{AC}\).
Mais \(\frac{5}{8} \ne \frac{3}{4}\). Donc ce n'est pas ça.
En fait, \(\overrightarrow{EF} = -\frac{5}{8}\overrightarrow{CE} + \frac{1}{8}\overrightarrow{AC}\).
Une autre méthode : \(\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})\).
\(\overrightarrow{CE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\).
On voit que \(\overrightarrow{CF} = \frac{3}{8}\overrightarrow{CE}\).
En effet, \(\frac{3}{8}(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{3}{8}\overrightarrow{AC}\). Ce n'est pas égal.
\(\overrightarrow{CF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{CE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\).
On a \(\overrightarrow{CF} = \frac{3}{8}\overrightarrow{CE} - \frac{1}{8}\overrightarrow{AC}\).
Il semble qu'il y ait une erreur dans l'énoncé ou alors les points ne sont pas alignés.
En réalité, avec \(\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\), les points \(C, E, F\) ne sont pas alignés en général.