controle fonction

1) \(f\left(\frac{-1}{2}\right) = -\left(\frac{-1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{-1}{2}\right) + 2 = -\frac{1}{4} - 1 + 2 = \frac{3}{4}\).

\(f(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 2 = -3 + 2\sqrt{3} + 2 = 2\sqrt{3} - 1\).

2) \(f(1 + \sqrt{2}) = -(1 + \sqrt{2})^2 + 2(1 + \sqrt{2}) + 2 = -(1 + 2\sqrt{2} + 2) + 2 + 2\sqrt{2} + 2 = -3 - 2\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} = 1\).

Donc \(1 + \sqrt{2}\) est un antécédent de 1.

3) On résout \(f(x) = 0 \iff -x^2 + 2x + 2 = 0 \iff x^2 - 2x - 2 = 0\).

\(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 4 + 8 = 12 = (2\sqrt{3})^2\).

\(x_1 = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}\) et \(x_2 = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}\).

Les antécédents de 0 sont \(1 - \sqrt{3}\) et \(1 + \sqrt{3}\).

4) Les antécédents de 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe \((C_f)\) avec l'axe des abscisses.

1) Domaine de \(f\) : Il faut que \(3x^2 + 2x - 1 > 0\) (radicande strictement positif).

\(3x^2 + 2x - 1 = 0 \iff x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}\).

\(x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1\) et \(x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}\).

\(3x^2 + 2x - 1 > 0 \iff x \in ]-\infty; -1[ \cup ]\frac{1}{3}; +\infty[\).

Donc \(D_f = ]-\infty; -1[ \cup ]\frac{1}{3}; +\infty[\).

Domaine de \(g\) : Il faut que \(|x+2| - |x-2| \ne 0\).

\(|x+2| = |x-2| \iff x+2 = x-2\) (impossible) ou \(x+2 = -(x-2) \iff x+2 = -x+2 \iff 2x = 0 \iff x = 0\).

Donc \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

2) Parité de \(g\) : \(g(-x) = \frac{-x}{|-x+2| - |-x-2|} = \frac{-x}{|2-x| - |x+2|}\).

Or \(|2-x| = |x-2|\). Donc \(g(-x) = \frac{-x}{|x-2| - |x+2|} = -\frac{x}{|x+2| - |x-2|} = -g(x)\).

Donc \(g\) est impaire.

Interprétation géométrique : La courbe représentative de \(g\) est symétrique par rapport à l'origine du repère.

1) \(f\) est une fonction polynôme, donc \(D_f = \mathbb{R}\).

2) \(T = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{(-x_2^2 - 2x_2 + 1) - (-x_1^2 - 2x_1 + 1)}{x_2 - x_1} = \frac{-(x_2^2 - x_1^2) - 2(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{-(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = -(x_2 + x_1) - 2\).

Donc \(T = -(x_1 + x_2) - 2\).

3) Pour \(x_1, x_2 \in I = [-1; +\infty[\) avec \(x_1 < x_2\), on a \(x_1 + x_2 > -2\), donc \(-(x_1 + x_2) - 2 < 0\).

Donc \(T < 0\), donc \(f\) est strictement décroissante sur \([-1; +\infty[\).

Pour \(x_1, x_2 \in J = ]-\infty; -1]\) avec \(x_1 < x_2\), on a \(x_1 + x_2 < -2\), donc \(-(x_1 + x_2) - 2 > 0\).

Donc \(T > 0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty; -1]\).

4) Tableau de variations :

5) a) \(f\) admet un maximum en \(x = -1\) qui vaut \(f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2\).

Donc \(f(x) \le 2\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

b) Sur \([-1; \frac{1}{2}]\), \(f\) est décroissante, donc le minimum est atteint en \(x = \frac{1}{2}\) et le maximum en \(x = -1\).

\(f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} - 1 + 1 = -\frac{1}{4}\).

Donc \(-\frac{1}{4} \le f(x) \le 2\).

c) Sur \([-3; -1]\), \(f\) est croissante, donc le minimum est atteint en \(x = -3\) et le maximum en \(x = -1\).

\(f(-3) = -9 + 6 + 1 = -2\).

Donc \(-2 \le f(x) \le 2\).

6) Intersection avec l'axe des ordonnées : \(f(0) = 1\), donc \(A(0; 1)\).

Intersection avec l'axe des abscisses : on résout \(f(x) = 0 \iff -x^2 - 2x + 1 = 0 \iff x^2 + 2x - 1 = 0\).

\(\Delta = 4 + 4 = 8 = (2\sqrt{2})^2\). \(x_1 = -1 - \sqrt{2}\) et \(x_2 = -1 + \sqrt{2}\).

Points : \(B(-1-\sqrt{2}; 0)\) et \(C(-1+\sqrt{2}; 0)\).

7) \((C_f)\) est une parabole tournée vers le bas, de sommet \(S(-1; 2)\). \((C_g)\) est une droite de pente \(-1\) passant par \((0; -1)\).

8) \(f(x) = g(x) \iff -x^2 - 2x + 1 = -x - 1 \iff -x^2 - x + 2 = 0 \iff x^2 + x - 2 = 0\).

\(\Delta = 1 + 8 = 9\). \(x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2\) et \(x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1\).

Solutions : \(x = -2\) et \(x = 1\).

9) \(g(x) < f(x) \iff -x - 1 < -x^2 - 2x + 1 \iff x^2 + x - 2 < 0 \iff (x+2)(x-1) < 0\).

Donc \(x \in ]-2; 1[\).

10) \(-x^2 - 2x + m - 1 = 0 \iff -x^2 - 2x + 1 = -m \iff f(x) = -m\).

Le nombre de solutions est le nombre d'intersections de \((C_f)\) avec la droite horizontale \(y = -m\).

• Si \(-m > 2\) (soit \(m < -2\)) : 0 solution.

• Si \(-m = 2\) (soit \(m = -2\)) : 1 solution.

• Si \(-m < 2\) (soit \(m > -2\)) : 2 solutions.

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a \(x^2 \ge 0\), donc \(5x^2 \ge 0\).

Donc \(f(x) = 5x^2 + 3 \ge 3\).

De plus, \(f(0) = 5 \times 0^2 + 3 = 3\).

Donc \(f(x) \ge 3\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et \(f(0) = 3\), donc 3 est le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).