Completion requirements
I) FONCTIONS AVEC VALEUR ABSOLUE - IMAGES ET ANTÉCÉDENTS
1) Fonction avec valeur absolue
📌 Définition : La valeur absolue d'un nombre réel \(x\), notée \(|x|\), est définie par :
\[|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}\]
✏️ Propriété : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(|x| \ge 0\) et \(|x| = 0 \iff x = 0\).
📌 Exercice 01 : (4.5 pts)
Soit la fonction numérique \(f\) définie par :
\[f(x) = \frac{1}{|x| + 1}\]
1) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction \(f\). (1 pt)
2) Calculer les images de 0 et -2 par \(f\). (1 pt)
3) Les nombres \(\frac{1}{2}\), 1 et 2 ont-ils des antécédents par \(f\) ? Si oui, trouver ces antécédents. (1.5 pts)
4) Montrer que 1 est un maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(f(x) = \frac{1}{|x| + 1}\). Le dénominateur \(|x| + 1\) est toujours strictement positif car \(|x| \ge 0\).
Donc \(D_f = \mathbb{R}\).
2) \(f(0) = \frac{1}{|0| + 1} = \frac{1}{1} = 1\).
\(f(-2) = \frac{1}{|-2| + 1} = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}\).
3) On résout \(f(x) = y \iff \frac{1}{|x| + 1} = y \iff |x| + 1 = \frac{1}{y} \iff |x| = \frac{1}{y} - 1\).
Il faut que \(\frac{1}{y} - 1 \ge 0 \iff \frac{1}{y} \ge 1 \iff 0 < y \le 1\).
• Pour \(y = \frac{1}{2}\) : \(|x| = 2 - 1 = 1 \iff x = 1\) ou \(x = -1\).
• Pour \(y = 1\) : \(|x| = 1 - 1 = 0 \iff x = 0\).
• Pour \(y = 2\) : \(\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} < 0\), donc pas d'antécédent.
4) Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(|x| \ge 0\), donc \(|x| + 1 \ge 1\).
Donc \(\frac{1}{|x| + 1} \le 1\).
De plus, \(f(0) = 1\).
Donc 1 est le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
📌 Exercice 02 : (6 pts)
Soit \(f\) une fonction telle que :
\[f(x) = \frac{3x^2 - 1}{x^2 + 2}\]
1) Déterminer \(D_f\). (1 pt)
2) Étudier la parité de la fonction \(f\). (1 pt)
3) Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0.5 pt)
4) Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\(f(x) = 3 - \frac{7}{x^2 + 2}\). (0.5 pt)
5) a) Étudier la monotonie de \(f\) sur l'intervalle \([0; +\infty[\). (1 pt)
b) En déduire les variations de \(f\) sur \(]-\infty; 0]\). (0.5 pt)
6) Dresser le tableau de variation de \(f\). (0.5 pt)
7) Déterminer les extrema de \(f\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(x^2 + 2 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Donc \(D_f = \mathbb{R}\).
2) \(f(-x) = \frac{3(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 2} = \frac{3x^2 - 1}{x^2 + 2} = f(x)\).
Donc \(f\) est paire.
3) La courbe \((C_f)\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
4) \(3 - \frac{7}{x^2 + 2} = \frac{3(x^2 + 2) - 7}{x^2 + 2} = \frac{3x^2 + 6 - 7}{x^2 + 2} = \frac{3x^2 - 1}{x^2 + 2} = f(x)\).
5) a) Soient \(x_1, x_2 \in [0; +\infty[\) avec \(x_1 < x_2\).
On a \(0 \le x_1 < x_2 \Rightarrow x_1^2 < x_2^2 \Rightarrow x_1^2 + 2 < x_2^2 + 2\).
Donc \(\frac{1}{x_1^2 + 2} > \frac{1}{x_2^2 + 2}\) (fonction inverse décroissante sur \(\mathbb{R}^+\)).
Donc \(-\frac{7}{x_1^2 + 2} < -\frac{7}{x_2^2 + 2}\).
Donc \(f(x_1) < f(x_2)\).
Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0; +\infty[\).
b) Comme \(f\) est paire, \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; 0]\).
6) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(3\) | \(\searrow\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(\nearrow\) | \(3\) |
7) \(f\) admet un minimum en \(x = 0\) qui vaut \(f(0) = -\frac{1}{2}\).
\(f\) n'admet pas de maximum (elle tend vers 3 en \(-\infty\) et \(+\infty\)).
II) FONCTIONS HOMAGRAPHIQUES ET POLYNÔMES - COURBES
1) Fonction homographique
📌 Définition : Une fonction homographique est de la forme \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\) avec \(c \ne 0\) et \(ad - bc \ne 0\).
Théorème : La courbe d'une fonction homographique est une hyperbole de centre \(I\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right)\).
📌 Exercice 03 : (9.5 pts)
Soit \(f\) une fonction telle que :
\[f(x) = \frac{x - 2}{x - 1}\]
Et soit \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).
1) a) Montrer que : \(f(x) = 1 - \frac{1}{x - 1}\) pour tout \(x \in D_f\). (1 pt)
b) Montrer que \((C_f)\) est une hyperbole et déterminer ses éléments caractéristiques et le tableau de variations de \(f\). (1.5 pts)
c) Tracer la courbe \((C_f)\). (1.5 pts)
2) Résoudre graphiquement l'inéquation : \(f(x) > 0\). (1.5 pts)
3) Soit \(g\) une fonction telle que : \(g(x) = x^2 - 2x + 3\).
a) Montrer que la courbe \((C_g)\) est une parabole et déterminer ses éléments caractéristiques et le tableau de variations de \(g\). (1.5 pts)
b) Tracer la courbe \((C_g)\) dans le même repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\). (1 pt)
c) Résoudre graphiquement l'inéquation : \(\frac{g(x)}{f(x)} > 0\). (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) a) \(1 - \frac{1}{x - 1} = \frac{x - 1 - 1}{x - 1} = \frac{x - 2}{x - 1} = f(x)\).
b) \(f(x) = 1 - \frac{1}{x - 1}\) est une hyperbole de centre \(I(1; 1)\).
Asymptotes : \(x = 1\) et \(y = 1\).
\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(||\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(||\) | \(\nearrow\) | \(1\) |
1) c) Tracer l'hyperbole avec les asymptotes \(x = 1\) et \(y = 1\), passant par \((0; 2)\) et \((2; 0)\).
2) \(f(x) > 0 \iff \frac{x - 2}{x - 1} > 0\).
Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
| \(x-2\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |||
| \(x-1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |||
| \(f(x)\) | \(+\) | \(||\) | \(0\) | \(+\) |
Donc \(f(x) > 0 \iff x \in ]-\infty; 1[ \cup ]2; +\infty[\).
3) a) \(g(x) = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2\).
\((C_g)\) est une parabole de sommet \(S(1; 2)\), tournée vers le haut.
Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
| \(g'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(2\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
3) b) Tracer la parabole de sommet \(S(1; 2)\) dans le même repère.
3) c) \(\frac{g(x)}{f(x)} > 0\).
\(g(x) > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (car \((x-1)^2 + 2 > 0\)).
Donc le signe de \(\frac{g(x)}{f(x)}\) est le signe de \(f(x)\).
Donc \(\frac{g(x)}{f(x)} > 0 \iff f(x) > 0 \iff x \in ]-\infty; 1[ \cup ]2; +\infty[\).