ctc: controle fonction

I) DOMAINE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION

1) Ensemble de définition

📌 Définition : L'ensemble de définition d'une fonction \(f\) est l'ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) existe.

✏️ Règles :
• Un dénominateur ne doit pas s'annuler.
• Un radicande (sous une racine carrée) doit être positif ou nul.

📌 Exercice 01 : (4 pts)

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction \(f\) dans les cas suivants :

1) \( f(x) = \frac{2x + |x|}{x + 3} - \frac{7x^2 - 5}{x - 3} \) (1 pt)

2) \( f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x^3 - 5x} \) (1 pt)

3) \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1} \) (1 pt)

4) \( f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} \) (1 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) Les dénominateurs sont \(x+3\) et \(x-3\).

Il faut \(x+3 \ne 0 \iff x \ne -3\) et \(x-3 \ne 0 \iff x \ne 3\).

Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\).

2) \(f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x^3 - 5x} = \frac{x(x+2)}{x(x^2 - 5)}\).

Il faut \(x(x^2 - 5) \ne 0 \iff x \ne 0\) et \(x^2 - 5 \ne 0 \iff x \ne \pm \sqrt{5}\).

Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{5}; 0; \sqrt{5}\}\).

3) Il faut \(x+2 \ge 0 \iff x \ge -2\) (radicande positif) et \(x-1 \ne 0 \iff x \ne 1\) (dénominateur non nul).

Donc \(D_f = [-2; 1[ \cup ]1; +\infty[\).

4) Il faut \(x^2 + x + 1 \ge 0\).

\(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\), donc \(x^2 + x + 1 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

Donc \(D_f = \mathbb{R}\).

📌 Exercice 02 : (4 pts)

1) Étudier la parité de la fonction définie par :

\(f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}\). (2 pts)

2) Étudier la monotonie de la fonction \(g\) définie par :

\(g(x) = \frac{-3}{x} + 1\) sur \(I = ]0; +\infty[\). (2 pts)

✅ Corrigé détaillé

1) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\).

\(f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -\frac{x^3}{x^2 - 4} = -f(x)\).

Donc \(f\) est impaire.

2) Soient \(x_1, x_2 \in ]0; +\infty[\) avec \(x_1 < x_2\).

Alors \(\frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2}\) (fonction inverse décroissante sur \(\mathbb{R}^+\)).

Donc \(-\frac{3}{x_1} < -\frac{3}{x_2}\).

Donc \(-\frac{3}{x_1} + 1 < -\frac{3}{x_2} + 1\).

Donc \(g(x_1) < g(x_2)\).

Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]0; +\infty[\).

Tronc commun Sciences BIOF

II) FONCTIONS HOMAGRAPHIQUES ET POLYNÔMES - ÉTUDE COMPLÈTE

📌 Exercice 03 : (12 pts)

Soient \(f\) et \(g\) les deux fonctions définies par :

\[f(x) = \frac{5x - 11}{4x - 4} \quad \text{et} \quad g(x) = x^2 - 2x - 1\]

\((C_f)\) et \((C_g)\) les courbes représentatives de \(f\) et \(g\) dans un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).

1) Déterminer \(D_f\) et \(D_g\). (1 pt)

2) a) Déterminer la nature de \((C_g)\) et ses éléments caractéristiques. (1 pt)

b) Déterminer le tableau de variation de \(g\). (0.5 pt)

3) a) Déterminer la nature de \((C_f)\) et ses éléments caractéristiques. (1 pt)

b) Déterminer le tableau de variation de \(f\). (0.5 pt)

4) a) Trouver les points d'intersection de \((C_f)\) avec l'axe des abscisses. (1 pt)

b) Trouver les points d'intersection de \((C_g)\) avec l'axe des abscisses. (1 pt)

5) a) Déterminer \(a, b\) et \(c\) tels que :

\(g(x) - f(x) = \frac{(x+1)(ax^2 + bx + c)}{4x - 4}\) pour \(x \in D_f\). (1 pt)

b) Déterminer les points d'intersection de \((C_f)\) et \((C_g)\). (1.5 pts)

6) Tracer les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère en précisant les points d'intersection. (1 pt)

7) a) Résoudre graphiquement l'inéquation : \(g(x) > f(x)\). (1 pt)

b) Résoudre graphiquement l'inéquation : \(f(x) \times g(x) \ge 0\). (1 pt)

8) Soit la fonction définie par : \(h(x) = |g(x)|\). Tracer la courbe \((C_h)\) de \(h\) dans le même repère. (1 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) \(f(x) = \frac{5x - 11}{4x - 4} = \frac{5x - 11}{4(x - 1)}\).

Il faut \(4x - 4 \ne 0 \iff x \ne 1\). Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

\(g(x) = x^2 - 2x - 1\) est une fonction polynôme, donc \(D_g = \mathbb{R}\).

2) a) \(g(x) = x^2 - 2x - 1 = (x-1)^2 - 2\).

\((C_g)\) est une parabole de sommet \(S_g(1; -2)\), tournée vers le haut.

b) Tableau de variations de \(g\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(g'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(g(x)\)	\(+\infty\)	\(\searrow\)	\(-2\)	\(\nearrow\)	\(+\infty\)

3) a) \(f(x) = \frac{5x - 11}{4x - 4} = \frac{5}{4} - \frac{6}{4(x-1)} = \frac{5}{4} - \frac{3}{2(x-1)}\).

\((C_f)\) est une hyperbole de centre \(I\left(1; \frac{5}{4}\right)\).

Asymptotes : \(x = 1\) et \(y = \frac{5}{4}\).

b) Tableau de variations de \(f\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(\|\|\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\frac{5}{4}\)	\(\nearrow\)	\(\|\|\)	\(\nearrow\)	\(\frac{5}{4}\)

4) a) Intersection de \((C_f)\) avec l'axe des abscisses : \(f(x) = 0 \iff 5x - 11 = 0 \iff x = \frac{11}{5}\).

Point : \(A\left(\frac{11}{5}; 0\right)\).

b) Intersection de \((C_g)\) avec l'axe des abscisses : \(g(x) = 0 \iff x^2 - 2x - 1 = 0\).

\(\Delta = 4 + 4 = 8 = (2\sqrt{2})^2\).

\(x_1 = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}\) et \(x_2 = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2}\).

Points : \(B(1-\sqrt{2}; 0)\) et \(C(1+\sqrt{2}; 0)\).

5) a) \(g(x) - f(x) = x^2 - 2x - 1 - \frac{5x - 11}{4x - 4}\).

\(= \frac{(x^2 - 2x - 1)(4x - 4) - (5x - 11)}{4x - 4}\).

\(= \frac{4x^3 - 12x^2 + 4x + 4 - 5x + 11}{4x - 4} = \frac{4x^3 - 12x^2 - x + 15}{4x - 4}\).

On veut \(\frac{(x+1)(ax^2 + bx + c)}{4x - 4} = \frac{4x^3 - 12x^2 - x + 15}{4x - 4}\).

\((x+1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + (a+b)x^2 + (b+c)x + c\).

Par identification : \(a = 4\), \(a+b = -12 \Rightarrow b = -16\), \(b+c = -1 \Rightarrow c = 15\).

Donc \(a = 4\), \(b = -16\), \(c = 15\).

b) \(g(x) = f(x) \iff g(x) - f(x) = 0 \iff (x+1)(4x^2 - 16x + 15) = 0\).

\(x = -1\) ou \(4x^2 - 16x + 15 = 0\).

\(\Delta = 256 - 240 = 16\). \(x = \frac{16 \pm 4}{8} = \frac{3}{2}\) ou \(\frac{5}{2}\).

Points : \(D(-1; g(-1)) = D(-1; 1+2-1=2)\), \(E\left(\frac{3}{2}; g\left(\frac{3}{2}\right)\right) = E\left(\frac{3}{2}; \frac{9}{4} - 3 - 1 = -\frac{7}{4}\right)\), \(F\left(\frac{5}{2}; g\left(\frac{5}{2}\right)\right) = F\left(\frac{5}{2}; \frac{25}{4} - 5 - 1 = \frac{1}{4}\right)\).

6) Tracer la parabole \((C_g)\) de sommet \(S(1; -2)\) et l'hyperbole \((C_f)\) de centre \(I(1; \frac{5}{4})\) avec les asymptotes \(x = 1\) et \(y = \frac{5}{4}\).

Marquer les points d'intersection \(D(-1; 2)\), \(E\left(\frac{3}{2}; -\frac{7}{4}\right)\), \(F\left(\frac{5}{2}; \frac{1}{4}\right)\).

7) a) Graphiquement, \(g(x) > f(x)\) sur les intervalles où \((C_g)\) est au-dessus de \((C_f)\).

D'après les points d'intersection : \(x \in ]-1; 1[ \cup ]\frac{3}{2}; \frac{5}{2}[\).

b) \(f(x) \times g(x) \ge 0\).

• \(f(x) > 0 \iff x > 1\) (car \(5x - 11 > 0 \iff x > \frac{11}{5}\) ? Attention : \(f(x) = \frac{5x - 11}{4(x-1)}\).

Signe de \(f\) : \(x = \frac{11}{5}\) est la racine.

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(\frac{11}{5}\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)	\(+\)		\(\|\|\)		\(0\)		\(+\)

• \(g(x) \ge 0 \iff x \le 1-\sqrt{2}\) ou \(x \ge 1+\sqrt{2}\).

Tableau de signes du produit.

Donc \(f(x) \times g(x) \ge 0 \iff x \in ]-\infty; 1-\sqrt{2}] \cup [1+\sqrt{2}; +\infty[\).

8) La courbe \((C_h)\) s'obtient à partir de \((C_g)\) en symétrisant les parties où \(g(x) < 0\) par rapport à l'axe des abscisses.

آخر تعديل: الأحد، 21 يونيو 2026، 5:01 PM