Conditions d’achèvement
I) EXPRESSIONS DÉVELOPPÉES ET FACTORISÉES - IMAGES ET ANTÉCÉDENTS
1) Formes développée et factorisée
📌 Définition : Une expression peut être écrite sous forme développée (somme de termes) ou factorisée (produit de facteurs).
✏️ Propriété : On choisit la forme la plus adaptée selon le calcul à effectuer (image, antécédent, résolution d'équation...).
📌 Exercice 01 : (5 pts)
Soit la fonction \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :
\[f(x) = x - 2 - (x - 2)^2\]
1) Factoriser puis développer \(f(x)\). (1 pt)
2) En choisissant l'expression la mieux adaptée (développée ou factorisée), calculer les images de 2, 0 et \(\sqrt{2}\) par \(f\). (1.5 pts)
3) Montrer que \(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}\) est un antécédent de -1 par \(f\). (1 pt)
4) Déterminer les antécédents de 0 par \(f\). (1 pt)
5) Donner une interprétation géométrique du résultat de la question 4). (0.5 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(f(x) = (x-2) - (x-2)^2 = (x-2)[1 - (x-2)] = (x-2)(1 - x + 2) = (x-2)(3 - x)\).
Forme développée : \(f(x) = (x-2)(3-x) = -x^2 + 5x - 6\).
Forme factorisée : \(f(x) = (x-2)(3-x)\).
Forme développée : \(f(x) = -x^2 + 5x - 6\).
2) • Pour \(x = 2\) : forme factorisée \(f(2) = (2-2)(3-2) = 0\).
• Pour \(x = 0\) : forme développée \(f(0) = -0^2 + 5 \times 0 - 6 = -6\).
• Pour \(x = \sqrt{2}\) : forme développée \(f(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^2 + 5\sqrt{2} - 6 = -2 + 5\sqrt{2} - 6 = 5\sqrt{2} - 8\).
3) On utilise la forme factorisée : \(f\left(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}\right) = \left(\frac{5 - \sqrt{5}}{2} - 2\right)\left(3 - \frac{5 - \sqrt{5}}{2}\right)\).
\(\frac{5 - \sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{5 - \sqrt{5} - 4}{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\).
\(3 - \frac{5 - \sqrt{5}}{2} = \frac{6 - 5 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).
Donc \(f\left(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \times \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1\).
Donc \(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}\) est un antécédent de -1.
4) On résout \(f(x) = 0 \iff (x-2)(3-x) = 0\).
\(x-2 = 0 \iff x = 2\) ou \(3-x = 0 \iff x = 3\).
Les antécédents de 0 sont 2 et 3.
5) Les antécédents de 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe \((C_f)\) avec l'axe des abscisses.
📌 Exercice 02 : (7 pts)
Soit \(f\) une fonction telle que :
\[f(x) = \frac{-x + 3}{x + 1}\]
Et soit \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).
1) Déterminer \(D_f\). (0.5 pt)
2) Montrer que : \(f(x) = -1 + \frac{4}{x+1}\) pour tout \(x \in D_f\). (0.5 pt)
3) a) Montrer que \((C_f)\) est une hyperbole et déterminer son centre et ses asymptotes. (0.5 pt)
b) Déterminer le tableau de variations de \(f\) et tracer la courbe \((C_f)\). (1.5 pts)
4) Soit \(g\) une fonction telle que :
\(g(x) = \frac{-|x| + 3}{|x| + 1}\).
a) Déterminer \(D_g\). (0.5 pt)
b) Étudier la parité de \(g\). (0.5 pt)
c) Tracer \((C_g)\) dans un repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\). (2 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) Il faut \(x+1 \ne 0 \iff x \ne -1\).
Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
2) \(-1 + \frac{4}{x+1} = \frac{-(x+1) + 4}{x+1} = \frac{-x - 1 + 4}{x+1} = \frac{-x + 3}{x+1} = f(x)\).
3) a) \(f(x) = -1 + \frac{4}{x+1}\) est une hyperbole de centre \(I(-1; -1)\).
Asymptotes : \(x = -1\) et \(y = -1\).
b) Tableau de variations de \(f\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(||\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(-1\) | \(\searrow\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(-1\) |
Tracer l'hyperbole avec les asymptotes \(x = -1\) et \(y = -1\).
4) a) \(g(x) = \frac{-|x| + 3}{|x| + 1}\).
Le dénominateur \(|x| + 1 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Donc \(D_g = \mathbb{R}\).
b) \(g(-x) = \frac{-|-x| + 3}{|-x| + 1} = \frac{-|x| + 3}{|x| + 1} = g(x)\).
Donc \(g\) est paire.
c) Pour \(x \ge 0\), \(g(x) = \frac{-x + 3}{x + 1} = f(x)\).
Pour \(x \le 0\), \(g(x) = \frac{x + 3}{-x + 1}\).
On trace la courbe de \(g\) en prenant la courbe de \(f\) pour \(x \ge 0\) et en la symétrisant par rapport à l'axe des ordonnées pour \(x \le 0\).
1) Taux d'accroissement
📌 Définition : Le taux d'accroissement d'une fonction \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) est :
\[T = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\]
✏️ Propriété : Si \(T > 0\) sur un intervalle, \(f\) est croissante. Si \(T < 0\), \(f\) est décroissante.
📌 Exercice 03 : (8 pts)
Soit \(f\) une fonction numérique telle que :
\[f(x) = x^2 + 6x - 2\]
1) Préciser le domaine de définition de \(f\). (0.5 pt)
2) Soient \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) avec \(x_1 \ne x_2\).
Montrer que : \(\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = x_1 + x_2 + 6\). (1 pt)
3) a) Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(I = [-3; +\infty[\). (1.5 pts)
b) Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur \(J = ]-\infty; -3]\). (1.5 pts)
4) Dresser le tableau de variation de \(f\). (1 pt)
5) a) En déduire que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a : \(-11 \le f(x) \le 14\). (1 pt)
b) En déduire que pour tout \(x \in [-6; -4]\), on a : \(-10 \le f(x) \le -2\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(f\) est une fonction polynôme, donc \(D_f = \mathbb{R}\).
2) \(\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = \frac{(x_1^2 + 6x_1 - 2) - (x_2^2 + 6x_2 - 2)}{x_1 - x_2} = \frac{(x_1^2 - x_2^2) + 6(x_1 - x_2)}{x_1 - x_2} = \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + 6(x_1 - x_2)}{x_1 - x_2} = x_1 + x_2 + 6\).
3) a) Soient \(x_1, x_2 \in I = [-3; +\infty[\) avec \(x_1 < x_2\).
Alors \(x_1 > -3\) et \(x_2 > -3\), donc \(x_1 + x_2 > -6\), donc \(x_1 + x_2 + 6 > 0\).
Donc \(\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} > 0\), donc \(f(x_1) < f(x_2)\).
Donc \(f\) est strictement croissante sur \([-3; +\infty[\).
b) Soient \(x_1, x_2 \in J = ]-\infty; -3]\) avec \(x_1 < x_2\).
Alors \(x_1 < -3\) et \(x_2 < -3\), donc \(x_1 + x_2 < -6\), donc \(x_1 + x_2 + 6 < 0\).
Donc \(\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0\), donc \(f(x_1) > f(x_2)\).
Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; -3]\).
4) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(-11\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
5) a) Le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est \(f(-3) = 9 - 18 - 2 = -11\).
Donc \(f(x) \ge -11\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Mais la question dit \(-11 \le f(x) \le 14\). La borne supérieure 14 n'est pas correcte car \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(\pm\infty\).
En réalité, \(f(x) \ge -11\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
b) Sur \([-6; -4]\), \(f\) est décroissante (car cet intervalle est inclus dans \(]-\infty; -3]\)).
Donc le maximum est atteint en \(x = -6\) et le minimum en \(x = -4\).
\(f(-6) = 36 - 36 - 2 = -2\).
\(f(-4) = 16 - 24 - 2 = -10\).
Donc \(-10 \le f(x) \le -2\) pour tout \(x \in [-6; -4]\).