controle fonction

1) \(x^2 + 1 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

Donc \(D_f = \mathbb{R}\).

2) \(f(-x) = \frac{2(-x)^2 - 3}{(-x)^2 + 1} = \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1} = f(x)\).

Donc \(f\) est paire.

3) \(2 - \frac{5}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 5}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 + 2 - 5}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1} = f(x)\).

4) a) Soient \(x_1, x_2 \in [0; +\infty[\) avec \(x_1 < x_2\).

Alors \(0 \le x_1 < x_2 \Rightarrow x_1^2 < x_2^2 \Rightarrow x_1^2 + 1 < x_2^2 + 1\).

Donc \(\frac{1}{x_1^2 + 1} > \frac{1}{x_2^2 + 1}\) (fonction inverse décroissante sur \(\mathbb{R}^+\)).

Donc \(-\frac{5}{x_1^2 + 1} < -\frac{5}{x_2^2 + 1}\).

Donc \(f(x_1) < f(x_2)\).

Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0; +\infty[\).

b) Comme \(f\) est paire, elle est strictement décroissante sur \(]-\infty; 0]\).

5) Tableau de variations :

6) \(f\) admet un minimum en \(x = 0\) qui vaut \(f(0) = \frac{-3}{1} = -3\).

\(f\) n'admet pas de maximum (elle tend vers 2 en \(-\infty\) et \(+\infty\)).

1) Il faut \(x+1 \ne 0 \iff x \ne -1\).

Donc \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).

2) \(T = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2} = \frac{\frac{x_1}{x_1+1} - \frac{x_2}{x_2+1}}{x_1 - x_2} = \frac{\frac{x_1(x_2+1) - x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}}{x_1 - x_2} = \frac{\frac{x_1x_2 + x_1 - x_1x_2 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}}{x_1 - x_2} = \frac{\frac{x_1 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}}{x_1 - x_2} = \frac{1}{(x_1+1)(x_2+1)}\).

3) Sur \(I = ]-\infty; -1[\), on a \(x_1 < -1\) et \(x_2 < -1\), donc \(x_1+1 < 0\) et \(x_2+1 < 0\).

Le produit \((x_1+1)(x_2+1) > 0\), donc \(T > 0\).

Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty; -1[\).

Sur \(J = ]-1; +\infty[\), on a \(x_1 > -1\) et \(x_2 > -1\), donc \(x_1+1 > 0\) et \(x_2+1 > 0\).

Le produit \((x_1+1)(x_2+1) > 0\), donc \(T > 0\).

Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]-1; +\infty[\).

4) Tableau de variations :

5) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}\).

On remarque que \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = g(\sqrt{2})\).

En effet, \(g(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}\).

De plus, \(\frac{1}{2} = g(1)\) car \(g(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\).

Comme \(g\) est strictement croissante sur \(]-1; +\infty[\) et que \(\sqrt{2} > 1\), on a \(g(\sqrt{2}) > g(1)\).

Donc \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} > \frac{1}{2}\).

1) \(f(x) = 2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2[(x-1)^2 - 1] + 3 = 2(x-1)^2 - 2 + 3 = 2(x-1)^2 + 1\).

Donc \(\alpha = -1\) et \(\beta = 1\).

Donc \(f(x) = 2(x-1)^2 + 1\) avec \(D_f = \mathbb{R}\).

2) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(1; 1)\), tournée vers le haut (car \(a = 2 > 0\)).

3) Tableau de variations :

4) a) \(g(x) = x^2 - 2x + 3 - |x(x-2)|\).

On a \(x(x-2) = x^2 - 2x\).

• Si \(x \in ]-\infty; 0] \cup [2; +\infty[\), alors \(x(x-2) \ge 0\), donc \(|x(x-2)| = x^2 - 2x\).

Alors \(g(x) = x^2 - 2x + 3 - (x^2 - 2x) = 3\).

• Si \(x \in [0; 2]\), alors \(x(x-2) \le 0\), donc \(|x(x-2)| = -x^2 + 2x\).

Alors \(g(x) = x^2 - 2x + 3 - (-x^2 + 2x) = 2x^2 - 4x + 3 = f(x)\).

Donc :

\[g(x) = \begin{cases} 3 & \text{si } x \le 0 \text{ ou } x \ge 2 \\ 2x^2 - 4x + 3 & \text{si } 0 \le x \le 2 \end{cases}\]

b) On trace la courbe \((C_g)\) :

• Pour \(x \le 0\) et \(x \ge 2\), la courbe est la droite horizontale \(y = 3\).

• Pour \(0 \le x \le 2\), la courbe est la parabole \(f(x) = 2x^2 - 4x + 3\) (sommet \(S(1; 1)\)).

c) \(x^2 - |x(x-2)| - 2x + 1 = 0 \iff x^2 - 2x + 1 - |x(x-2)| = 0 \iff (x-1)^2 - |x(x-2)| = 0\).

Ou bien \(g(x) - 2 = 0 \iff g(x) = 2\).

Graphiquement, on cherche les points d'intersection de \((C_g)\) avec la droite horizontale \(y = 2\).

• Sur \(]-\infty; 0] \cup [2; +\infty[\), \(g(x) = 3 \ne 2\), donc pas de solution.

• Sur \([0; 2]\), on résout \(2x^2 - 4x + 3 = 2 \iff 2x^2 - 4x + 1 = 0\).

\(\Delta = 16 - 8 = 8\). \(x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Ces deux valeurs sont dans \([0; 2]\).

Donc l'équation a 2 solutions.