Completion requirements
I) FONCTIONS AVEC RACINES CARRÉES - DOMAINE, IMAGES ET ANTÉCÉDENTS
1) Fonction avec racine carrée
📌 Définition : Une fonction avec racine carrée est définie lorsque le radicande est positif ou nul.
✏️ Propriété : \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) pour \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\).
📌 Exercice 01 : (4.5 pts)
Soit la fonction \(f\) définie par :
\[f(x) = \sqrt{2x + 2} \times \sqrt{3 - x}\]
1) a) Déterminer \(D_f\). (1 pt)
b) Calculer \(f(0)\) et \(f(-1)\). (1 pt)
c) Déterminer les antécédents de 0 et \(\sqrt{6}\) par \(f\) (s'ils existent). (1 pt)
2) On considère la fonction \(g\) définie par :
\(g(x) = \sqrt{-2x^2 + 4x + 6}\).
Montrer que \(f = g\). (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) a) Il faut \(2x+2 \ge 0 \iff x \ge -1\) et \(3-x \ge 0 \iff x \le 3\).
Donc \(D_f = [-1; 3]\).
b) \(f(0) = \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}\).
\(f(-1) = \sqrt{0} \times \sqrt{4} = 0\).
c) \(f(x) = 0 \iff \sqrt{2x+2} \times \sqrt{3-x} = 0\).
\(\sqrt{2x+2} = 0 \iff 2x+2 = 0 \iff x = -1\).
\(\sqrt{3-x} = 0 \iff 3-x = 0 \iff x = 3\).
Les antécédents de 0 sont -1 et 3.
\(f(x) = \sqrt{6} \iff \sqrt{2x+2} \times \sqrt{3-x} = \sqrt{6} \iff (2x+2)(3-x) = 6\).
\((2x+2)(3-x) = -2x^2 + 4x + 6\).
Donc \(-2x^2 + 4x + 6 = 6 \iff -2x^2 + 4x = 0 \iff -2x(x-2) = 0\).
\(x = 0\) ou \(x = 2\).
Les antécédents de \(\sqrt{6}\) sont 0 et 2.
2) \(f(x) = \sqrt{2x+2} \times \sqrt{3-x} = \sqrt{(2x+2)(3-x)} = \sqrt{-2x^2 + 4x + 6} = g(x)\).
Donc \(f = g\).
📌 Exercice 02 : (10.5 pts)
Soit \(g\) une fonction numérique telle que :
\[g(x) = -x^2 + 4x - 1\]
1) Préciser le domaine de définition de \(g\). (0.5 pt)
2) Calculer le taux d'accroissement de \(g\) entre \(x_1\) et \(x_2\) avec \(x_1 \ne x_2\). (1 pt)
3) Étudier la monotonie de \(g\) sur \(I = [2; +\infty[\) et sur \(J = ]-\infty; 2]\). (2 pts)
4) Dresser le tableau de variation de \(g\). (0.5 pt)
5) En déduire les extrema de \(g\) sur \(\mathbb{R}\). (0.5 pt)
6) Trouver les points d'intersection de la courbe \((C_g)\) avec les axes du repère. (1 pt)
7) Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = x - 1\).
Tracer les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\). (2 pts)
8) Résoudre graphiquement et algébriquement l'équation \(f(x) = g(x)\). (1 pt)
9) Résoudre graphiquement et algébriquement l'inéquation \(g(x) > f(x)\). (1 pt)
10) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation :
\(x^2 - 4x + m + 1 = 0\) avec \(m \in \mathbb{R}\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(g\) est une fonction polynôme, donc \(D_g = \mathbb{R}\).
2) \(T = \frac{g(x_2) - g(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{(-x_2^2 + 4x_2 - 1) - (-x_1^2 + 4x_1 - 1)}{x_2 - x_1} = \frac{-(x_2^2 - x_1^2) + 4(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{-(x_2 - x_1)(x_2 + x_1) + 4(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = -(x_1 + x_2) + 4\).
Donc \(T = 4 - (x_1 + x_2)\).
3) Sur \(I = [2; +\infty[\), pour \(x_1 < x_2\), on a \(x_1 + x_2 > 4\), donc \(T < 0\).
Donc \(g\) est strictement décroissante sur \([2; +\infty[\).
Sur \(J = ]-\infty; 2]\), pour \(x_1 < x_2\), on a \(x_1 + x_2 < 4\), donc \(T > 0\).
Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty; 2]\).
4) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(g(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(3\) | \(\searrow\) | \(-\infty\) |
5) \(g\) admet un maximum en \(x = 2\) qui vaut \(g(2) = -4 + 8 - 1 = 3\).
\(g\) n'admet pas de minimum sur \(\mathbb{R}\).
6) Intersection avec l'axe des ordonnées : \(g(0) = -1\), donc \(A(0; -1)\).
Intersection avec l'axe des abscisses : \(g(x) = 0 \iff -x^2 + 4x - 1 = 0 \iff x^2 - 4x + 1 = 0\).
\(\Delta = 16 - 4 = 12 = (2\sqrt{3})^2\).
\(x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\) et \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\).
Points : \(B(2-\sqrt{3}; 0)\) et \(C(2+\sqrt{3}; 0)\).
7) Tracer la parabole \((C_g)\) de sommet \(S(2; 3)\), tournée vers le bas, et la droite \((C_f)\) de pente 1 passant par \((0; -1)\).
8) \(f(x) = g(x) \iff x - 1 = -x^2 + 4x - 1 \iff x^2 - 3x = 0 \iff x(x-3) = 0\).
\(x = 0\) ou \(x = 3\).
Points : \(D(0; -1)\) et \(E(3; 2)\).
9) \(g(x) > f(x) \iff -x^2 + 4x - 1 > x - 1 \iff -x^2 + 3x > 0 \iff x(3-x) > 0\).
Donc \(x \in ]0; 3[\).
10) \(x^2 - 4x + m + 1 = 0 \iff -x^2 + 4x - 1 = m \iff g(x) = m\).
Le nombre de solutions est le nombre d'intersections de \((C_g)\) avec la droite horizontale \(y = m\).
• Si \(m > 3\) : 0 solution.
• Si \(m = 3\) : 1 solution.
• Si \(m < 3\) : 2 solutions.
II) FONCTIONS HOMAGRAPHIQUES - HYPERBOLES
1) Fonction homographique
📌 Définition : Une fonction homographique est de la forme \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\) avec \(c \ne 0\) et \(ad - bc \ne 0\).
Théorème : La courbe d'une fonction homographique est une hyperbole de centre \(I\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right)\).
📌 Exercice 06 : (5 pts)
Soit \(f\) une fonction numérique telle que :
\[f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}\]
\((C_f)\) sa courbe représentative dans le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).
1) Déterminer \(D_f\). (0.5 pt)
2) Écrire \(f(x)\) sous la forme : \(f(x) = \beta + \frac{k}{x + \alpha}\) (déterminer \(\alpha\), \(\beta\) et \(k\)). (1 pt)
3) En déduire la nature de \((C_f)\) et ses éléments caractéristiques. (1 pt)
4) Dresser le tableau de variations de \(f\). (0.5 pt)
5) Tracer la courbe représentative \((C_f)\) dans le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\). (2 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) Il faut \(x-1 \ne 0 \iff x \ne 1\).
Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
2) On effectue la division : \(\frac{2x + 1}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}\).
Donc \(\alpha = -1\), \(\beta = 2\), \(k = 3\).
Donc \(f(x) = 2 + \frac{3}{x - 1}\).
3) \((C_f)\) est une hyperbole de centre \(I(1; 2)\).
Asymptotes : \(x = 1\) et \(y = 2\).
4) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(||\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(2\) |
5) Tracer l'hyperbole avec les asymptotes \(x = 1\) et \(y = 2\).
Points remarquables : \(f(0) = -1\), \(f(2) = 5\), \(f(3) = \frac{7}{2}\).