I) TRANSLATION ET IMAGES DE POINTS

1) Translation

📌 Définition : La translation de vecteur \(\vec{u}\) associe à tout point \(M\) le point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\).
✏️ Propriété : Une translation conserve les distances, les parallélismes et les angles.

📌 Exercice 01 : (4.5 pts)

Soit \(ABCD\) un trapèze tel que \(DC = 2AB\).

Soit \(I\) le milieu du segment \([CD]\) et \(J\) un point tel que \(ACJD\) est un parallélogramme.

On considère la translation \(t_{\overrightarrow{AD}}\) de vecteur \(\overrightarrow{AD}\).

1) Déterminer les images des points \(A\) et \(C\) par la translation \(t_{\overrightarrow{AD}}\). (2 pts)
2) Montrer que \(t_{\overrightarrow{AD}}(B) = I\). (1 pt)
3) En déduire que \((IJ) \parallel (BC)\). (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé

1) \(t_{\overrightarrow{AD}}(A) = D\) car \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD}\).

\(t_{\overrightarrow{AD}}(C) = C'\) tel que \(\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD}\). Donc \(C'\) est le point tel que \(ACC'D\) est un parallélogramme, c'est-à-dire \(C' = J\) (car \(ACJD\) est un parallélogramme).

Donc \(t_{\overrightarrow{AD}}(A) = D\) et \(t_{\overrightarrow{AD}}(C) = J\).

2) \(t_{\overrightarrow{AD}}(B) = B'\) tel que \(\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AD}\).

Comme \(ABCD\) est un trapèze avec \(DC = 2AB\), on a \(\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AB}\).

I est le milieu de \([CD]\), donc \(\overrightarrow{DI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\).

Donc \(\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AI}\) ?

En fait, \(\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DI} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}\).

Donc \(\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AD}\), ce qui signifie que \(t_{\overrightarrow{AD}}(B) = I\).

3) \(t_{\overrightarrow{AD}}(B) = I\) et \(t_{\overrightarrow{AD}}(C) = J\).

Une translation transforme une droite en une droite parallèle. Donc l'image de la droite \((BC)\) est la droite \((IJ)\).

Donc \((IJ) \parallel (BC)\).

📌 Exercice 02 : (4.5 pts)

Soit \(ABC\) un triangle et soient les points \(M\) et \(N\) tels que :

\[\overrightarrow{AM} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad 5\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{CN} = \vec{0}\]

On considère l'homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(k = -\frac{1}{4}\).

1) Montrer que \(h(B) = M\) et \(h(C) = N\). (2 pts)
2) Faire une figure. (0.5 pt)
3) Montrer que \(BC = 4MN\). (1 pt)
4) Montrer que \((MN) \parallel (BC)\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé

1) L'homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(k = -\frac{1}{4}\) vérifie :

Pour tout point \(X\), \(h(X) = X'\) tel que \(\overrightarrow{AX'} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AX}\).

Donc \(h(B) = M\) car \(\overrightarrow{AM} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\).

Pour \(C\) : \(5\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{CN} = \vec{0} \iff 5\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CN}\).

Or \(\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AN}\).

Donc \(5\overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AN} \iff 4\overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AC} \iff \overrightarrow{AN} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).

Donc \(h(C) = N\).

2) Figure : Tracer un triangle \(ABC\). Placer \(M\) sur la droite \((AB)\) du côté opposé à \(B\) par rapport à \(A\) avec \(AM = \frac{1}{4}AB\). Placer \(N\) sur la droite \((AC)\) du côté opposé à \(C\) par rapport à \(A\) avec \(AN = \frac{1}{4}AC\).

3) Par l'homothétie de rapport \(k = -\frac{1}{4}\), on a :

\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{AC} - \left(-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\right) = -\frac{1}{4}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\).

Donc \(MN = \frac{1}{4}BC\), donc \(BC = 4MN\).

4) \(\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\), donc les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont colinéaires.

Donc \((MN) \parallel (BC)\).
 II) PRODUIT SCALAIRE - CALCULS ET APPLICATIONS

1) Produit scalaire

📌 Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est :
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})\]
✏️ Propriété : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}\).

📌 Exercice 03 : (6 pts)

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = \sqrt{7}\), \(AC = 2\) et \(BC = 3\). \(I\) est le milieu du segment \([BC]\).

1) a) Calculer \(\cos(\widehat{BAC})\). (1.5 pts)
b) Montrer que \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1\). (1 pt)
c) Calculer \(AI\). (1 pt)
2) Soit \(M\) un point tel que : \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\).
a) Calculer \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC}\). (1 pt)
b) Montrer que \(\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\). (1 pt)
c) Que peut-on déduire des droites \((MB)\) et \((AC)\) ? (0.5 pt)
✅ Corrigé détaillé

1) a) D'après la formule d'Al-Kashi dans le triangle \(ABC\) :

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\).

\(9 = 7 + 4 - 2 \times \sqrt{7} \times 2 \times \cos(\widehat{BAC})\).

\(9 = 11 - 4\sqrt{7}\cos(\widehat{BAC})\).

\(-2 = -4\sqrt{7}\cos(\widehat{BAC}) \Rightarrow \cos(\widehat{BAC}) = \frac{2}{4\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}}\).

Donc \(\cos(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2\sqrt{7}}\).

b) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) = \sqrt{7} \times 2 \times \frac{1}{2\sqrt{7}} = 1\).

c) I est le milieu de \([BC]\), donc \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\).

\(AI^2 = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})^2 = \frac{1}{4}(AB^2 + AC^2 + 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}(7 + 4 + 2 \times 1) = \frac{1}{4}(13) = \frac{13}{4}\).

Donc \(AI = \frac{\sqrt{13}}{2}\).

2) a) \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\right) \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \frac{1}{6}AC^2 = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{6} \times 4 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\).

b) \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\).

\(\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{AC} = \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\right) \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \frac{1}{6}AC^2 = \frac{2}{3} \times 1 - \frac{1}{6} \times 4 = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0\).

c) \(\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\), donc \(\overrightarrow{MB} \perp \overrightarrow{AC}\).

Donc \((MB) \perp (AC)\).
III) INTERSECTION DE PLANS ET VOLUME D'UNE PYRAMIDE

1) Intersection de plans

📌 Définition : L'intersection de deux plans sécants est une droite.
✏️ Propriété : Si deux plans ont deux points communs distincts, leur intersection est la droite passant par ces deux points.
Volume d'une pyramide : \(V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}\).

📌 Exercice 04 : (5 pts)

\(ABCD\) un trapèze de diagonales \([AC]\) et \([BD]\) qui se coupent en \(I\) et soit \(S\) un point de l'espace qui n'appartient pas au plan \((ABC)\) et tel que \((SI) \perp (ABC)\).

1) Déterminer l'intersection des plans \((SAC)\) et \((SBD)\), et l'intersection des plans \((SAB)\) et \((SDC)\). (2 pts)
2) Vérifier que \((SI) \perp (AB)\) et montrer que les plans \((SAC)\) et \((ABC)\) sont orthogonaux. (1 pt)
3) On suppose que \(ABC\) est un triangle rectangle en \(B\) et que :
\(SI = 3\), \(AB = 2\), \(BC = \frac{1}{4}\) et \(CD = 3\).
Calculer le volume de la pyramide \(SABCD\). (2 pts)
✅ Corrigé détaillé

1) Intersection de \((SAC)\) et \((SBD)\) :

Les deux plans ont en commun le point \(S\).

Le point \(I\) appartient à \((AC)\) (donc à \((SAC)\)) et à \((BD)\) (donc à \((SBD)\)).

Donc \(I\) est aussi un point commun.

Donc \((SAC) \cap (SBD) = (SI)\).

Intersection de \((SAB)\) et \((SDC)\) :

Les deux plans ont en commun le point \(S\).

Ils ont aussi en commun le point d'intersection de \((AB)\) et \((DC)\).

Comme \(ABCD\) est un trapèze, \((AB)\) et \((DC)\) sont parallèles, donc ne se coupent pas dans le plan.

Dans l'espace, les droites \((AB)\) et \((DC)\) sont parallèles, donc les plans \((SAB)\) et \((SDC)\) se coupent selon une droite passant par \(S\) et parallèle à \((AB)\).

Donc \((SAB) \cap (SDC)\) est la droite passant par \(S\) parallèle à \((AB)\).

2) \((SI) \perp (ABC)\), donc \((SI)\) est perpendiculaire à toutes les droites de \((ABC)\).

En particulier, \((SI) \perp (AB)\).

Le plan \((SAC)\) contient la droite \((SI)\) qui est perpendiculaire au plan \((ABC)\).

Donc les plans \((SAC)\) et \((ABC)\) sont orthogonaux.

3) Le volume de la pyramide \(SABCD\) est :

\(V = \frac{1}{3} \times \text{Aire}(ABCD) \times SI\).

\(ABCD\) est un trapèze rectangle en \(B\) (car \(ABC\) est rectangle en \(B\)).

L'aire du trapèze est : \(\text{Aire} = \frac{(AB + CD) \times BC}{2} = \frac{(2 + 3) \times \frac{1}{4}}{2} = \frac{5 \times \frac{1}{4}}{2} = \frac{5}{8}\).

Donc \(V = \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} \times 3 = \frac{5}{8}\).

Donc le volume de la pyramide est \(\frac{5}{8}\) unités de volume.


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