Conditions d’achèvement
I) HOMOTHÉTIE - IMAGES DE POINTS ET CONSERVATION DES MILIEUX
1) Homothétie
📌 Définition : L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (\(k \ne 0\)) associe à tout point \(M\) le point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}\).
✏️ Propriété : Une homothétie conserve les milieux : l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image.
📌 Exercice 01 : (4 pts)
\(ABC\) un triangle. Soient les points \(E\) et \(F\) tels que :
\[\overrightarrow{AE} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\]
On considère l'homothétie \(h\) de centre \(B\) et de rapport \(k = -\frac{1}{3}\).
1) Montrer que \(h(A) = E\) et \(h(C) = F\). (2 pts)
2) Soit \(I\) le milieu du segment \([AC]\) et \(J\) le milieu du segment \([EF]\).
Montrer que : \(\overrightarrow{BJ} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{BI}\). (2 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) \(h(A) = A'\) tel que \(\overrightarrow{BA'} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\).
\(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BA} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} - \frac{4}{3}\overrightarrow{BA} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\).
Donc \(\overrightarrow{BE} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\), donc \(h(A) = E\).
\(h(C) = C'\) tel que \(\overrightarrow{BC'} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).
\(\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{BA} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BA} - \frac{4}{3}\overrightarrow{BA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{BA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = -\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).
Donc \(h(C) = F\).
2) L'homothétie \(h\) conserve les milieux.
\(I\) est le milieu de \([AC]\), donc \(h(I)\) est le milieu de \([h(A)h(C)] = [EF]\).
Donc \(h(I) = J\).
Par définition de l'homothétie, \(\overrightarrow{BJ} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{BI}\).
II) PRODUIT SCALAIRE - PROJECTION ORTHOGONALE
1) Projection orthogonale
📌 Définition : Le projeté orthogonal d'un point sur une droite est le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur cette droite.
✏️ Propriété : \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BH}\) lorsque \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).
📌 Exercice 02 : (4 pts)
Considérons un triangle \(ABC\) tel que \(BC = 6\), \(I\) est le milieu de \([BC]\) et \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \([BC]\).
On a \(H \in [BI]\) et \(IH = 1\).
1) Calculer \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}\). (2 pts)
2) Calculer \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}\). (2 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\), donc \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BH}\).
\(BC = 6\), \(I\) est le milieu de \([BC]\), donc \(BI = 3\).
\(H \in [BI]\) et \(IH = 1\), donc \(BH = BI - IH = 3 - 1 = 2\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BH}\) sont dans le même sens, donc :
\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = BC \times BH = 6 \times 2 = 12\).
2) \(\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}\).
\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BC} \cdot (-\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}) = -BC^2 + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = -36 + 12 = -24\).
📌 Exercice 03 : (5.5 pts)
Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) tel que :
\[\cos(\widehat{BAC}) = \frac{1}{4} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 16\]
\(I\) un point tel que : \(\overrightarrow{BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BA}\) et \(J\) le milieu du segment \([BC]\).
Soit la droite \((\Delta)\) qui passe par \(I\) et est perpendiculaire à la droite \((AB)\).
Soit \(E\) un point tel que \(E \in (\Delta)\).
1) Construire une figure. (0.5 pt)
2) a) Montrer que \(AB = 8\). (1 pt)
b) Calculer \(BC\). (1 pt)
3) Calculer \(\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BA}\). (1 pt)
4) Montrer que \(\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{AB} = 48\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) Figure : Tracer un triangle isocèle en \(A\) avec \(AB = AC\). Placer \(I\) sur \([BA]\) tel que \(BI = \frac{3}{4}BA\). Tracer la droite \((\Delta)\) perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(I\).
2) a) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})\).
Comme \(ABC\) est isocèle en \(A\), \(AB = AC = x\).
Donc \(x \times x \times \frac{1}{4} = 16 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8\).
Donc \(AB = 8\).
b) D'après la formule d'Al-Kashi :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) = 64 + 64 - 2 \times 8 \times 8 \times \frac{1}{4} = 128 - 32 = 96\).
Donc \(BC = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\).
3) \(\overrightarrow{BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BA}\).
Donc \(\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{BA} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BA} = \frac{3}{4} \times BA^2 = \frac{3}{4} \times 64 = 48\).
4) \(E \in (\Delta)\) et \((\Delta) \perp (AB)\), donc \(\overrightarrow{IE} \perp \overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{EI} + \overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IE} - \overrightarrow{BI}\).
\(\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{IE} \cdot \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{AB}\).
Comme \(\overrightarrow{IE} \perp \overrightarrow{AB}\), on a \(\overrightarrow{IE} \cdot \overrightarrow{AB} = 0\).
Donc \(\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BI} \cdot \overrightarrow{AB} = -48\).
Donc \(\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{AB} = -48\).
III) TRANSLATION ET PARALLÉLOGRAMME
📌 Exercice 04 : (2.5 pts)
Soit \(ABCD\) un quadrilatère tel que :
\(B\) est l'image du point \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{v}\) et \(D\) est l'image du point \(C\) par la translation de vecteur \(2\overrightarrow{v}\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\). (1.5 pts)
2) Soit \(O\) le milieu du segment \([CD]\). Montrer que \(ABOC\) est un parallélogramme. (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(B\) est l'image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{v}\), donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{v}\).
\(D\) est l'image de \(C\) par la translation de vecteur \(2\overrightarrow{v}\), donc \(\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{v}\).
Donc \(\overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{AB}\), soit \(\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\).
2) \(O\) est le milieu de \([CD]\), donc \(\overrightarrow{CO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\).
Donc \(\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{AB}\).
Dans le quadrilatère \(ABOC\), on a \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CO}\).
Donc \(ABOC\) est un parallélogramme.
IV) TÉTRAÈDRE - THÉORÈME DES MILIEUX ET ORTHOGONALITÉ
1) Théorème des milieux dans l'espace
📌 Définition : Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci.
✏️ Propriété : Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi hauteur.
📌 Exercice 05 : (4 pts)
\(ABCD\) est un tétraèdre tel que \(BD = DC\).
Soient \(I\), \(J\) et \(K\) les milieux respectifs des segments \([AB]\), \([AC]\) et \([BC]\).
1) Faire une figure. (1 pt)
2) Montrer que \((DK) \perp (IJ)\). (3 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) Figure : Tracer un tétraèdre \(ABCD\) avec \(BD = DC\). Placer \(I\), \(J\), \(K\) les milieux de \([AB]\), \([AC]\), \([BC]\).
2) Dans le triangle \(ABC\), \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([AB]\) et \([AC]\).
Par le théorème des milieux, \((IJ) \parallel (BC)\).
Dans le triangle \(DBC\), \(BD = DC\), donc le triangle \(DBC\) est isocèle en \(D\).
\(K\) est le milieu de \([BC]\), donc \((DK)\) est la médiane issue de \(D\).
Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi hauteur.
Donc \((DK) \perp (BC)\).
Comme \((IJ) \parallel (BC)\), on a \((DK) \perp (IJ)\).
Donc \((DK) \perp (IJ)\).