Conditions d’achèvement
I) OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES - INTERSECTION ET UNION
1) Ensembles de nombres
📌 Définitions :
• \(\mathbb{N}\) : ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...)
• \(\mathbb{Z}\) : ensemble des entiers relatifs (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
• \(\mathbb{Q}\) : ensemble des nombres rationnels
• \(\mathbb{R}\) : ensemble des nombres réels
• \(\mathbb{N}\) : ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ...)
• \(\mathbb{Z}\) : ensemble des entiers relatifs (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
• \(\mathbb{Q}\) : ensemble des nombres rationnels
• \(\mathbb{R}\) : ensemble des nombres réels
✏️ Propriétés :
• \(A \cap B\) = ensemble des éléments communs à A et B
• \(A \cup B\) = ensemble des éléments appartenant à A ou à B
• \(A \cap B\) = ensemble des éléments communs à A et B
• \(A \cup B\) = ensemble des éléments appartenant à A ou à B
📌 Exercice 01 : (2 pts)
Soient \( A = \left\{-\frac{28}{5}, -3, -\sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \frac{5}{2}, 49\right\}, B = \{-3, 3, \frac{147}{3}\}, C = \{\sqrt{3}, \frac{5}{2}, 49\}\).
Déterminer \( A \cap B; A \cap C; A \cup B; A \cup C; A \cap \mathbb{N}; A \cap \mathbb{Z}; A \cap \mathbb{Q}; A \cap \mathbb{R} \).
✅ Corrigé détaillé
1) \( A \cap B = \{-3\} \).
2) \( A \cap C = \{\sqrt{3}, \frac{5}{2}, 49\} \).
3) \( A \cup B = \left\{-\frac{28}{5}, -3, -\sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \frac{5}{2}, 49, 3\right\} \).
4) \( A \cup C = \left\{-\frac{28}{5}, -3, -\sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \frac{5}{2}, 49\right\} = A \).
5) \( A \cap \mathbb{N} = \{2, 49\} \).
6) \( A \cap \mathbb{Z} = \{-3, 2, 49\} \).
7) \( A \cap \mathbb{Q} = \left\{-\frac{28}{5}, -3, 2, \frac{5}{2}, 49\right\} \).
8) \( A \cap \mathbb{R} = A \).
II) RACINES CARRÉES ET EXPRESSIONS SIMPLIFIÉES
1) Propriétés des racines carrées
📌 Propriétés :
• \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) pour \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\).
• \((\sqrt{a})^2 = a\) pour \(a \ge 0\).
• \(\sqrt{a^2} = |a|\).
• \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) pour \(a \ge 0\) et \(b \ge 0\).
• \((\sqrt{a})^2 = a\) pour \(a \ge 0\).
• \(\sqrt{a^2} = |a|\).
📌 Exercice 02 : (4 pts)
On pose : \( A = \sqrt{4+2\sqrt{3}} \) et \( B = \sqrt{4-2\sqrt{3}} \).
1) Montrer que \( A \times B = 2 \). (1 pt)
2) On pose \( X = A + B \) et \( Y = A - B \). Calculer \( X^2 \) et \( Y^2 \). (1 pt)
3) En déduire une écriture simple de \( X \) et \( Y \). (1 pt)
4) En déduire une écriture simple de \( A \) et \( B \). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \( A \times B = \sqrt{4+2\sqrt{3}} \times \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2 \).
2) \( X^2 = (A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB = (4+2\sqrt{3}) + (4-2\sqrt{3}) + 2 \times 2 = 8 + 4 = 12 \).
\( Y^2 = (A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB = 8 - 4 = 4 \).
3) \( X = A+B > 0 \), donc \( X = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
\( A > B \), donc \( Y = A-B > 0 \), donc \( Y = \sqrt{4} = 2 \).
4) On a \( \begin{cases} A+B = 2\sqrt{3} \\ A-B = 2 \end{cases} \).
En additionnant : \( 2A = 2 + 2\sqrt{3} \Rightarrow A = 1 + \sqrt{3} \).
En soustrayant : \( 2B = 2\sqrt{3} - 2 \Rightarrow B = \sqrt{3} - 1 \).
📌 Exercice 03 : (5.5 pts)
1) Simplifier :
\( E = \frac{4}{\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}} - \frac{4}{\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}} \). (1.5 pts)
2) Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(5 < x < y < 8\) et \(x + y = 12\).
Simplifier : \( F = \sqrt{(5-x)^2} + |10-x| + \sqrt{(x-y)^2} + |2y-16| \). (2 pts)
3) Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x \in [-1; 2]\) et \(y \in [-5; -3]\).
Simplifier : \( G = 2|3x+3| - |2y| + 5|y+3| - 3|y-2x| \). (2 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) \(\sqrt{(1-\sqrt{2})^2} = |1-\sqrt{2}| = \sqrt{2}-1\) (car \(1-\sqrt{2} < 0\)).
\(\sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = |1+\sqrt{2}| = 1+\sqrt{2}\).
\( E = \frac{4}{\sqrt{2}-1} - \frac{4}{1+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{2}+1)}{2-1} - \frac{4(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 4(\sqrt{2}+1) - 4(\sqrt{2}-1) = 8 \).
2) \(5 < x < y < 8\) et \(x+y=12\).
\(5-x < 0 \Rightarrow |5-x| = x-5\).
\(10-x > 0\) (car \(x < 8 < 10\)) \(\Rightarrow |10-x| = 10-x\).
\(x-y < 0 \Rightarrow |x-y| = y-x\).
\(y < 8 \Rightarrow 2y < 16 \Rightarrow 2y-16 < 0 \Rightarrow |2y-16| = 16-2y\).
Donc \(F = (x-5) + (10-x) + (y-x) + (16-2y) = x-5+10-x+y-x+16-2y = 21 - x - y\).
Comme \(x+y=12\), \(F = 21 - 12 = 9\).
3) \(x \in [-1; 2] \Rightarrow 3x+3 = 3(x+1) \ge 0 \Rightarrow |3x+3| = 3x+3\).
\(y \in [-5; -3] \Rightarrow |2y| = -2y\).
\(y+3 \le 0 \Rightarrow |y+3| = -y-3\).
\(y-2x < 0\) (car \(y \le -3\) et \(x \ge -1 \Rightarrow -2x \le 2\), donc \(y-2x \le -1 < 0\)) \(\Rightarrow |y-2x| = 2x-y\).
Donc \(G = 2(3x+3) - (-2y) + 5(-y-3) - 3(2x-y) = 6x+6 + 2y - 5y - 15 - 6x + 3y = -9\).
III) FACTORISATION D'EXPRESSIONS
1) Factorisation
📌 Définition : Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs.
✏️ Identités remarquables :
• \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
• \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
• \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
• \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
📌 Exercice 04 : (3.5 pts)
Factoriser les expressions suivantes :
\( A = 12x^2 - 6x \). (0.5 pt)
\( B = (4x-2)(3x-1) - 9x^2 + 1 \). (1.5 pts)
\( C = (x-3)(2x-1) + x^3 - 27 \). (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
A) \( A = 12x^2 - 6x = 6x(2x - 1) \).
B) \( B = (4x-2)(3x-1) - (9x^2 - 1) = 2(2x-1)(3x-1) - (3x-1)(3x+1) \).
\( B = (3x-1)[2(2x-1) - (3x+1)] = (3x-1)(4x-2-3x-1) = (3x-1)(x-3) \).
C) \( x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2+3x+9) \).
\( C = (x-3)(2x-1) + (x-3)(x^2+3x+9) = (x-3)(2x-1+x^2+3x+9) = (x-3)(x^2+5x+8) \).
IV) ÉQUATIONS DE DROITES ET SYSTÈMES D'INÉQUATIONS
1) Équation cartésienne d'une droite
📌 Définition : Une droite peut être représentée par une équation de la forme \(ax + by + c = 0\).
✏️ Propriété : Un vecteur directeur de la droite \(ax + by + c = 0\) est \(\vec{u}(-b; a)\).
📌 Exercice 05 : (5 pts)
Le plan est rapporté au repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j})\).
Soient \(A(-2; -1)\) et \(B\left(\frac{1}{2}; -2\right)\).
1) a) Donner une équation cartésienne de la droite \((AB)\). (1 pt)
b) Déterminer les coordonnées du point \(I\) d'intersection de \((AB)\) avec l'axe des abscisses. (1 pt)
2) Soit \((\Delta)\) la droite définie par la représentation paramétrique :
\[ \begin{cases} x = 3t - 1 \\ y = 4t - 4 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]
a) Vérifier que \(B \in (\Delta)\). (0.5 pt)
b) Donner une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\). (1 pt)
3) Résoudre graphiquement le système :
\[ \begin{cases} 4x - 3y - 8 \le 0 \\ 2x + 5y + 9 \ge 0 \\ y \le 0 \end{cases} \] (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) a) \(\overrightarrow{AB} = \left(\frac{1}{2} - (-2); -2 - (-1)\right) = \left(\frac{5}{2}; -1\right)\).
Un vecteur directeur est \(\vec{u}(5; -2)\).
Une équation de la droite est de la forme \(2x + 5y + c = 0\) (car \(\vec{u}(-b; a)\)).
En utilisant \(A(-2; -1)\) : \(2(-2) + 5(-1) + c = 0 \Rightarrow -4 -5 + c = 0 \Rightarrow c = 9\).
Donc \((AB) : 2x + 5y + 9 = 0\).
b) Intersection avec l'axe des abscisses : \(y = 0\).
\(2x + 5(0) + 9 = 0 \Rightarrow 2x = -9 \Rightarrow x = -\frac{9}{2}\).
Donc \(I\left(-\frac{9}{2}; 0\right)\).
2) a) Pour \(B\left(\frac{1}{2}; -2\right)\), on cherche \(t\) tel que :
\(\frac{1}{2} = 3t - 1 \Rightarrow 3t = \frac{3}{2} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\).
\(-2 = 4t - 4 \Rightarrow 4t = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}\).
Donc \(B \in (\Delta)\).
b) On élimine \(t\) : \(t = \frac{x+1}{3}\) et \(y = 4\frac{x+1}{3} - 4 = \frac{4x+4-12}{3} = \frac{4x-8}{3}\).
Donc \(3y = 4x - 8 \Rightarrow 4x - 3y - 8 = 0\).
Donc \((\Delta) : 4x - 3y - 8 = 0\).
3) Graphiquement, on trace les droites :
\(d_1 : 4x - 3y - 8 = 0\) (passant par \((2;0)\) et \((-1;-4)\)).
\(d_2 : 2x + 5y + 9 = 0\) (passant par \((-2;-1)\) et \((\frac{1}{2};-2)\)).
\(d_3 : y = 0\) (axe des abscisses).
La solution est l'intersection des demi-plans \(4x-3y-8 \le 0\), \(2x+5y+9 \ge 0\) et \(y \le 0\).
C'est le triangle formé par les trois droites dans la région \(y \le 0\).