Completion requirements
I) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES
1) Fonction numérique d'une variable numérique
📌 Définition : Une fonction numérique est une relation qui associe à chaque nombre réel \(x\) d'un ensemble \(D\) un unique nombre réel \(f(x)\).
🔹 Exemple : Une tortue se déplace à 4 cm par minute. La distance parcourue en fonction du temps est donnée par \(f(t) = 4t\).
| Temps \(t\) (min) | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | x |
| Distance \(d\) (cm) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 4x |
✏️ Vocabulaire :
• \(f(x)\) est l'image de \(x\) par \(f\).
• \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\).
• L'ensemble des réels \(x\) qui ont une image par \(f\) est l'ensemble de définition noté \(D_f\).
• \(f(x)\) est l'image de \(x\) par \(f\).
• \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\).
• L'ensemble des réels \(x\) qui ont une image par \(f\) est l'ensemble de définition noté \(D_f\).
🔹 Exemples d'ensembles de définition :
• \(f(x) = \frac{1}{x}\) : \(D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[\).
• \(f(x) = \sqrt{x}\) : \(D_f = \mathbb{R}^+ = [0; +\infty[\).
• \(f(x) = 2x\) : \(D_f = \mathbb{R}\).
• \(f(x) = \frac{1}{x}\) : \(D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[\).
• \(f(x) = \sqrt{x}\) : \(D_f = \mathbb{R}^+ = [0; +\infty[\).
• \(f(x) = 2x\) : \(D_f = \mathbb{R}\).
2) Courbe représentative d'une fonction
📌 Définition : La courbe représentative d'une fonction \(f\), notée \((C_f)\), est l'ensemble des points \(M(x; f(x))\) où \(x \in D_f\).
✏️ Propriété : \(M(x; y) \in (C_f) \iff x \in D_f\) et \(y = f(x)\).
L'équation \(y = f(x)\) est l'équation cartésienne de la courbe \((C_f)\).
L'équation \(y = f(x)\) est l'équation cartésienne de la courbe \((C_f)\).
🔹 Exemple : Pour \(f(x) = 2x\), on construit quelques points :
\(A(0;0)\), \(B(1;2)\), \(C(2;4)\), \(D(3;6)\), \(E(4;8)\), \(F(5;10)\).
\(A(0;0)\), \(B(1;2)\), \(C(2;4)\), \(D(3;6)\), \(E(4;8)\), \(F(5;10)\).
II) PARITÉ D'UNE FONCTION
1) Fonction paire
📌 Définition : Une fonction \(f\) est paire sur \(D_f\) si et seulement si :
• Pour tout \(x \in D_f\), \(-x \in D_f\).
• \(f(-x) = f(x)\).
• Pour tout \(x \in D_f\), \(-x \in D_f\).
• \(f(-x) = f(x)\).
✨ Propriété : La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
🔹 Exemple : \(f(x) = 3x^2 + 5\).
\(f(-x) = 3(-x)^2 + 5 = 3x^2 + 5 = f(x)\). Donc \(f\) est paire.
\(f(-x) = 3(-x)^2 + 5 = 3x^2 + 5 = f(x)\). Donc \(f\) est paire.
✏️ Domaine d'étude : Si \(f\) est paire, il suffit de l'étudier sur \(D_E = D_f \cap \mathbb{R}^+\).
On complète par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
On complète par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
2) Fonction impaire
📌 Définition : Une fonction \(f\) est impaire sur \(D_f\) si et seulement si :
• Pour tout \(x \in D_f\), \(-x \in D_f\).
• \(f(-x) = -f(x)\).
• Pour tout \(x \in D_f\), \(-x \in D_f\).
• \(f(-x) = -f(x)\).
✨ Propriété : La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
🔹 Exemple : \(f(x) = 7x^3 + 2x\).
\(f(-x) = 7(-x)^3 + 2(-x) = -7x^3 - 2x = -f(x)\). Donc \(f\) est impaire.
\(f(-x) = 7(-x)^3 + 2(-x) = -7x^3 - 2x = -f(x)\). Donc \(f\) est impaire.
✏️ Domaine d'étude : Si \(f\) est impaire, on l'étudie sur \(D_E = D_f \cap \mathbb{R}^+\).
On complète par symétrie par rapport à l'origine.
On complète par symétrie par rapport à l'origine.
III) SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION
1) Fonction croissante et décroissante
📌 Définition :
• \(f\) est strictement croissante sur un intervalle \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\) avec \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) < f(x_2)\).
• \(f\) est strictement décroissante sur un intervalle \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\) avec \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) > f(x_2)\).
• \(f\) est strictement croissante sur un intervalle \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\) avec \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) < f(x_2)\).
• \(f\) est strictement décroissante sur un intervalle \(I\) si pour tous \(x_1, x_2 \in I\) avec \(x_1 < x_2\), on a \(f(x_1) > f(x_2)\).
🔹 Exemple : Pour \(f(x) = 5x - 3\) :
Si \(x_1 < x_2\), alors \(5x_1 < 5x_2\), donc \(5x_1 - 3 < 5x_2 - 3\).
Donc \(f(x_1) < f(x_2)\). \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Si \(x_1 < x_2\), alors \(5x_1 < 5x_2\), donc \(5x_1 - 3 < 5x_2 - 3\).
Donc \(f(x_1) < f(x_2)\). \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
IV) TAUX D'ACCROISSEMENT D'UNE FONCTION
1) Définition
📌 Définition : Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(x\) et \(x'\) est :
\[ T_f = \frac{f(x) - f(x')}{x - x'} \]
(avec \(x \neq x'\)).✏️ Propriété :
• Si \(T_f > 0\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
• Si \(T_f < 0\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
• Si \(T_f = 0\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
• Si \(T_f > 0\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
• Si \(T_f < 0\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
• Si \(T_f = 0\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
🔹 Exemple : Pour \(f(x) = 5x - 3\) :
\[ T_f = \frac{5x - 3 - (5x' - 3)}{x - x'} = \frac{5(x - x')}{x - x'} = 5 > 0 \] Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[ T_f = \frac{5x - 3 - (5x' - 3)}{x - x'} = \frac{5(x - x')}{x - x'} = 5 > 0 \] Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
2) Cas de \(f(x) = ax^2\)
🔹 Étude de \(f(x) = ax^2\) (avec \(a \neq 0\)) :
\(D_f = \mathbb{R}\). La fonction est paire. Domaine d'étude : \(D_E = [0; +\infty[\).
\[ T_f = \frac{ax^2 - ax'^2}{x - x'} = \frac{a(x-x')(x+x')}{x - x'} = a(x + x') \] Sur \([0; +\infty[\), \(x + x' > 0\).
• Si \(a > 0\), \(T_f > 0\) : \(f\) est croissante sur \([0; +\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty; 0]\).
• Si \(a < 0\), \(T_f < 0\) : \(f\) est décroissante sur \([0; +\infty[\) et croissante sur \(]-\infty; 0]\).
\(D_f = \mathbb{R}\). La fonction est paire. Domaine d'étude : \(D_E = [0; +\infty[\).
\[ T_f = \frac{ax^2 - ax'^2}{x - x'} = \frac{a(x-x')(x+x')}{x - x'} = a(x + x') \] Sur \([0; +\infty[\), \(x + x' > 0\).
• Si \(a > 0\), \(T_f > 0\) : \(f\) est croissante sur \([0; +\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty; 0]\).
• Si \(a < 0\), \(T_f < 0\) : \(f\) est décroissante sur \([0; +\infty[\) et croissante sur \(]-\infty; 0]\).
V) EXTREMUMS D'UNE FONCTION
1) Maximum et minimum
📌 Définition :
• \(f(a)\) est un maximum de \(f\) sur un intervalle \(I\) si \(f(x) \le f(a)\) pour tout \(x \in I\).
• \(f(a)\) est un minimum de \(f\) sur un intervalle \(I\) si \(f(x) \ge f(a)\) pour tout \(x \in I\).
• \(f(a)\) est un maximum de \(f\) sur un intervalle \(I\) si \(f(x) \le f(a)\) pour tout \(x \in I\).
• \(f(a)\) est un minimum de \(f\) sur un intervalle \(I\) si \(f(x) \ge f(a)\) pour tout \(x \in I\).
✏️ Remarques :
• Un extrémum est un maximum ou un minimum.
• Si l'extrémum est sur tout \(D_f\), on parle d'extrémum absolu.
• Sinon, il est relatif (local).
• Un extrémum est un maximum ou un minimum.
• Si l'extrémum est sur tout \(D_f\), on parle d'extrémum absolu.
• Sinon, il est relatif (local).
🔹 Exemple : Sur l'intervalle \([2;4]\), la valeur \(1,7\) est un maximum. Sur l'intervalle \([-4;-2]\), la valeur \(-1,7\) est un minimum.
VI) OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS
1) Somme de deux fonctions
📌 Définition : Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies respectivement sur \(D_f\) et \(D_g\).
La fonction somme \(f + g\) est définie sur \(D_f \cap D_g\) par :
La fonction somme \(f + g\) est définie sur \(D_f \cap D_g\) par :
\[ (f + g)(x) = f(x) + g(x) \]
2) Produit de deux fonctions
📌 Définition : La fonction produit \(f \times g\) est définie sur \(D_f \cap D_g\) par :
\[ (f \times g)(x) = f(x) \times g(x) \]
3) Quotient de deux fonctions
📌 Définition : La fonction quotient \(\frac{f}{g}\) est définie sur \(D_f \cap D_g\) avec \(g(x) \neq 0\) par :
\[ \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \]
4) Composée de deux fonctions
📌 Définition : La fonction composée \(g \circ f\) est définie pour tout \(x \in D_f\) tel que \(f(x) \in D_g\) par :
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
🔹 Exemple : Soient \(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = x^2\).
\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\).
\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1\).
\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\).
\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1\).
VII) FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
1) Fonction affine \(f(x) = ax + b\)
📌 Définition : Une fonction affine est de la forme \(f(x) = ax + b\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\).
✏️ Propriétés :
• \(D_f = \mathbb{R}\).
• Si \(a > 0\), \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(a < 0\), \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
• Sa courbe est une droite passant par \((0; b)\) de pente \(a\).
• \(D_f = \mathbb{R}\).
• Si \(a > 0\), \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(a < 0\), \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
• Sa courbe est une droite passant par \((0; b)\) de pente \(a\).
🔹 Exemple : \(f(x) = 2x - 3\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(g(x) = -x + 4\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
\(g(x) = -x + 4\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
2) Fonction carré \(f(x) = x^2\)
📌 Définition : La fonction carré est définie par \(f(x) = x^2\).
✏️ Propriétés :
• \(D_f = \mathbb{R}\).
• \(f\) est paire : \(f(-x) = f(x)\).
• \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; 0]\) et strictement croissante sur \([0; +\infty[\).
• Sa courbe est une parabole de sommet \(S(0; 0)\).
• \(f(x) \ge 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
• \(D_f = \mathbb{R}\).
• \(f\) est paire : \(f(-x) = f(x)\).
• \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; 0]\) et strictement croissante sur \([0; +\infty[\).
• Sa courbe est une parabole de sommet \(S(0; 0)\).
• \(f(x) \ge 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
3) Fonction inverse \(f(x) = \frac{1}{x}\)
📌 Définition : La fonction inverse est définie par \(f(x) = \frac{1}{x}\).
✏️ Propriétés :
• \(D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[\).
• \(f\) est impaire : \(f(-x) = -f(x)\).
• \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; 0[\) et sur \(]0; +\infty[\).
• Sa courbe est une hyperbole.
• \(f(x)\) n'est jamais nul.
• \(D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[\).
• \(f\) est impaire : \(f(-x) = -f(x)\).
• \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; 0[\) et sur \(]0; +\infty[\).
• Sa courbe est une hyperbole.
• \(f(x)\) n'est jamais nul.
4) Fonction racine carrée \(f(x) = \sqrt{x}\)
📌 Définition : La fonction racine carrée est définie par \(f(x) = \sqrt{x}\).
✏️ Propriétés :
• \(D_f = [0; +\infty[\).
• \(f\) est strictement croissante sur \([0; +\infty[\).
• \(f(x) \ge 0\) pour tout \(x \in D_f\).
• Sa courbe est une demi-parabole.
• \(D_f = [0; +\infty[\).
• \(f\) est strictement croissante sur \([0; +\infty[\).
• \(f(x) \ge 0\) pour tout \(x \in D_f\).
• Sa courbe est une demi-parabole.
5) Fonction valeur absolue \(f(x) = |x|\)
📌 Définition : La fonction valeur absolue est définie par :
\[ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \]
✏️ Propriétés :
• \(D_f = \mathbb{R}\).
• \(f\) est paire : \(f(-x) = f(x)\).
• \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; 0]\) et strictement croissante sur \([0; +\infty[\).
• \(f(x) \ge 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
• Sa courbe est en forme de V.
• \(D_f = \mathbb{R}\).
• \(f\) est paire : \(f(-x) = f(x)\).
• \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; 0]\) et strictement croissante sur \([0; +\infty[\).
• \(f(x) \ge 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
• Sa courbe est en forme de V.
VIII) TRANSFORMATIONS DE COURBES
1) Translation de la courbe
✏️ Propriétés :
• La courbe de \(g(x) = f(x) + k\) est l'image de \((C_f)\) par la translation de vecteur \(k\vec{j}\) (déplacement vertical).
• La courbe de \(g(x) = f(x - h)\) est l'image de \((C_f)\) par la translation de vecteur \(h\vec{i}\) (déplacement horizontal).
• La courbe de \(g(x) = f(x) + k\) est l'image de \((C_f)\) par la translation de vecteur \(k\vec{j}\) (déplacement vertical).
• La courbe de \(g(x) = f(x - h)\) est l'image de \((C_f)\) par la translation de vecteur \(h\vec{i}\) (déplacement horizontal).
🔹 Exemple : \(f(x) = x^2\) est une parabole de sommet \((0;0)\).
\(g(x) = x^2 + 3\) est la même parabole translatée de \(3\) vers le haut.
\(h(x) = (x - 2)^2\) est la parabole translatée de \(2\) vers la droite.
\(g(x) = x^2 + 3\) est la même parabole translatée de \(3\) vers le haut.
\(h(x) = (x - 2)^2\) est la parabole translatée de \(2\) vers la droite.
2) Symétries de la courbe
✏️ Propriétés :
• La courbe de \(g(x) = -f(x)\) est l'image de \((C_f)\) par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
• La courbe de \(g(x) = f(-x)\) est l'image de \((C_f)\) par la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
• La courbe de \(g(x) = |f(x)|\) s'obtient en symétrisant les parties de \((C_f)\) situées sous l'axe des abscisses par rapport à cet axe.
• La courbe de \(g(x) = -f(x)\) est l'image de \((C_f)\) par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
• La courbe de \(g(x) = f(-x)\) est l'image de \((C_f)\) par la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
• La courbe de \(g(x) = |f(x)|\) s'obtient en symétrisant les parties de \((C_f)\) situées sous l'axe des abscisses par rapport à cet axe.
3) Courbe de \(g(x) = f(x + a) + b\)
📌 Règle : La courbe de \(g(x) = f(x + a) + b\) est l'image de \((C_f)\) par la translation de vecteur \(-a\vec{i} + b\vec{j}\).
IX) RÉSOLUTION GRAPHIQUE D'ÉQUATIONS ET D'INÉQUATIONS
1) Équation \(f(x) = k\)
📌 Méthode : Les solutions de l'équation \(f(x) = k\) sont les abscisses des points d'intersection de \((C_f)\) avec la droite horizontale \(y = k\).
2) Équation \(f(x) = g(x)\)
📌 Méthode : Les solutions de l'équation \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des points d'intersection de \((C_f)\) et \((C_g)\).
3) Inéquation \(f(x) < k\)
📌 Méthode : Les solutions de l'inéquation \(f(x) < k\) sont les abscisses des points de \((C_f)\) situés en dessous de la droite \(y = k\).
4) Inéquation \(f(x) > g(x)\)
📌 Méthode : Les solutions de l'inéquation \(f(x) > g(x)\) sont les abscisses des points de \((C_f)\) situés au-dessus de \((C_g)\).
🔹 Exemple : Pour \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x + 3\) :
L'équation \(x^2 = 2x + 3 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x-3)(x+1) = 0\) donne \(x = -1\) ou \(x = 3\).
L'inéquation \(x^2 > 2x + 3 \iff x \in ]-\infty; -1[ \cup ]3; +\infty[\).
L'équation \(x^2 = 2x + 3 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x-3)(x+1) = 0\) donne \(x = -1\) ou \(x = 3\).
L'inéquation \(x^2 > 2x + 3 \iff x \in ]-\infty; -1[ \cup ]3; +\infty[\).
X) TABLEAU DE VARIATIONS
1) Comment dresser un tableau de variations
📌 Méthode :
1. Déterminer \(D_f\).
2. Étudier la parité (éventuellement).
3. Calculer le taux d'accroissement ou la dérivée.
4. Déterminer le signe du taux d'accroissement sur chaque intervalle.
5. En déduire les variations (croissance ou décroissance).
6. Remplir le tableau avec les valeurs aux bornes des intervalles.
1. Déterminer \(D_f\).
2. Étudier la parité (éventuellement).
3. Calculer le taux d'accroissement ou la dérivée.
4. Déterminer le signe du taux d'accroissement sur chaque intervalle.
5. En déduire les variations (croissance ou décroissance).
6. Remplir le tableau avec les valeurs aux bornes des intervalles.
🔹 Exemple : Pour \(f(x) = x^2\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
✏️ Remarque : Les flèches \(\nearrow\) et \(\searrow\) indiquent respectivement une croissance et une décroissance strictes.