Conditions d’achèvement
I) ÉTUDE COMPLÈTE D'UNE FONCTION RATIONNELLE
📌 Exercice1
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[f(x) = \frac{2x}{x^2 - 1}\]
1. a) Déterminer \(D_f\) le domaine de définition de \(f\). (0.5 pt)
b) Déterminer les antécédents de \(\frac{4}{3}\). (0.5 pt)
2. Étudier la parité de la fonction \(f\). (1 pt)
3. a) Montrer que :
\(T = \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{-2xy - 2}{(x^2 - 1)(y^2 - 1)}\) pour \(x\) et \(y\) deux éléments distincts de \(D_f\). (2 pts)
b) Déduire les variations de \(f\) sur les deux intervalles \([0;1[\) et \(]1;+\infty[\). (1.5 pts)
c) Dresser le tableau des variations de \(f\) sur \(D_f\) (justifier). (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
1. a) \(f(x) = \frac{2x}{x^2 - 1}\). Il faut \(x^2 - 1 \ne 0 \iff x \ne \pm 1\).
Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\).
b) On résout \(f(x) = \frac{4}{3} \iff \frac{2x}{x^2 - 1} = \frac{4}{3}\).
\(3 \times 2x = 4(x^2 - 1) \iff 6x = 4x^2 - 4 \iff 4x^2 - 6x - 4 = 0 \iff 2x^2 - 3x - 2 = 0\).
\(\Delta = 9 + 16 = 25\). \(x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}\) et \(x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2\).
Les antécédents de \(\frac{4}{3}\) sont \(-\frac{1}{2}\) et \(2\).
2) \(f(-x) = \frac{2(-x)}{(-x)^2 - 1} = \frac{-2x}{x^2 - 1} = -f(x)\).
Donc \(f\) est impaire.
3. a) \(T = \frac{f(x) - f(y)}{x - y} = \frac{\frac{2x}{x^2-1} - \frac{2y}{y^2-1}}{x - y} = \frac{2x(y^2-1) - 2y(x^2-1)}{(x^2-1)(y^2-1)(x-y)}\).
\(= \frac{2xy^2 - 2x - 2x^2y + 2y}{(x^2-1)(y^2-1)(x-y)} = \frac{2(xy^2 - x^2y) + 2(y - x)}{(x^2-1)(y^2-1)(x-y)}\).
\(= \frac{2xy(y-x) + 2(y-x)}{(x^2-1)(y^2-1)(x-y)} = \frac{2(y-x)(xy+1)}{(x^2-1)(y^2-1)(x-y)} = \frac{-2(x-y)(xy+1)}{(x^2-1)(y^2-1)(x-y)} = \frac{-2xy - 2}{(x^2-1)(y^2-1)}\).
b) Sur \([0;1[\), \(x^2-1 < 0\) et \(y^2-1 < 0\), donc \((x^2-1)(y^2-1) > 0\).
\(-2xy - 2 = -2(xy+1) < 0\) (car \(xy+1 > 0\)). Donc \(T < 0\).
\(f\) est strictement décroissante sur \([0;1[\).
Sur \(]1;+\infty[\), \(x^2-1 > 0\) et \(y^2-1 > 0\), donc \((x^2-1)(y^2-1) > 0\).
\(-2xy - 2 < 0\). Donc \(T < 0\).
\(f\) est strictement décroissante sur \(]1;+\infty[\).
c) Comme \(f\) est impaire, sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;0]\), \(f\) est strictement décroissante.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(||\) | \(-\) | \(0\) | \(||\) | \(-\) | |||
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(0\) |
📌 Exercice2
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[f(x) = x - |x + 2| + |x - 2|\]
1. Étudier la parité de la fonction \(f\). (1 pt)
2. Écrire \(f(x)\) sans utiliser la valeur absolue. (1.5 pts)
3. Construire \((C_f)\) la courbe de la fonction \(f\). (1.5 pts)
4. Déduire le tableau des variations de \(f\). (1 pt)
5. Déduire les extrema de la fonction \(f\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(f(-x) = -x - |-x+2| + |-x-2| = -x - |x-2| + |x+2| = -x + |x+2| - |x-2| = -f(x)\).
Donc \(f\) est impaire.
2) On étudie les intervalles :
• Si \(x \le -2\) : \(|x+2| = -x-2\) et \(|x-2| = -x+2\).
\(f(x) = x - (-x-2) + (-x+2) = x + x + 2 - x + 2 = x + 4\).
• Si \(-2 \le x \le 2\) : \(|x+2| = x+2\) et \(|x-2| = -x+2\).
\(f(x) = x - (x+2) + (-x+2) = x - x - 2 - x + 2 = -x\).
• Si \(x \ge 2\) : \(|x+2| = x+2\) et \(|x-2| = x-2\).
\(f(x) = x - (x+2) + (x-2) = x - x - 2 + x - 2 = x - 4\).
Donc :
\[ f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \le -2 \\ -x & \text{si } -2 \le x \le 2 \\ x - 4 & \text{si } x \ge 2 \end{cases} \]
3) La courbe est formée de trois segments de droites.
4) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | ||||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(-2\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
5) \(f\) admet un maximum local en \(x = -2\) qui vaut \(f(-2) = 2\).
\(f\) admet un minimum local en \(x = 2\) qui vaut \(f(2) = -2\).
\(f\) n'admet pas d'extrema absolus sur \(\mathbb{R}\).
📌 Exercice3
On considère les deux fonctions \(f\) et \(g\) définies par :
\[f(x) = -x^2 + 4x - 5 \quad \text{et} \quad g(x) = \frac{-x + 3}{x - 2}\]
1. a) Écrire le plus simplement possible :
\(T = \frac{g(x) - g(y)}{x - y}\) pour \(x\) et \(y\) deux éléments distincts de \(D_g\). (1 pt)
Déduire les variations de \(g\) sur les deux intervalles \(]-\infty; 2[\) et \(]2; +\infty[\). (1 pt)
b) Donner le tableau des variations de \(g\) et les éléments caractéristiques de \(C_g\). (1.5 pts)
2. a) Écrire l'expression canonique de \(f(x)\) puis déduire la valeur maximale de \(f\). (1 pt)
b) Donner le tableau des variations de \(f\) et les éléments caractéristiques de \(C_f\). (1.5 pts)
3. Construire dans le même repère les deux courbes \(C_f\) et \(C_g\). (2 pts)
4. Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \le g(x)\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1. a) \(g(x) = \frac{-x+3}{x-2}\). \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
\(T = \frac{\frac{-x+3}{x-2} - \frac{-y+3}{y-2}}{x-y} = \frac{(-x+3)(y-2) - (-y+3)(x-2)}{(x-2)(y-2)(x-y)}\).
\(= \frac{-xy+2x+3y-6 - (-xy+2y+3x-6)}{(x-2)(y-2)(x-y)} = \frac{-xy+2x+3y-6 + xy - 2y - 3x + 6}{(x-2)(y-2)(x-y)}\).
\(= \frac{-x + y}{(x-2)(y-2)(x-y)} = \frac{-(x-y)}{(x-2)(y-2)(x-y)} = \frac{-1}{(x-2)(y-2)}\).
Donc \(T = \frac{-1}{(x-2)(y-2)}\).
Sur \(]-\infty; 2[\), \((x-2)(y-2) > 0\), donc \(T < 0\). \(g\) est décroissante.
Sur \(]2; +\infty[\), \((x-2)(y-2) > 0\), donc \(T < 0\). \(g\) est décroissante.
b) \(g(x) = \frac{-x+3}{x-2} = -1 + \frac{1}{x-2}\).
Hyperbole de centre \(I(2; -1)\). Asymptotes : \(x = 2\) et \(y = -1\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
| \(g'(x)\) | \(-\) | \(||\) | \(-\) | ||
| \(g(x)\) | \(-1\) | \(\searrow\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(-1\) |
2. a) \(f(x) = -x^2 + 4x - 5 = -(x^2 - 4x) - 5 = -[(x-2)^2 - 4] - 5 = -(x-2)^2 + 4 - 5 = -(x-2)^2 - 1\).
Le maximum est atteint en \(x = 2\) et vaut \(f(2) = -1\).
b) Parabole de sommet \(S(2; -1)\), tournée vers le bas.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(-1\) | \(\searrow\) | \(-\infty\) |
3) Tracer la parabole de sommet \(S(2; -1)\) et l'hyperbole de centre \(I(2; -1)\) avec les asymptotes \(x=2\) et \(y=-1\).
4) \(f(x) \le g(x)\) lorsque la parabole est en dessous de l'hyperbole.
Graphiquement, on trouve \(x \in ]-\infty; 1] \cup [2; 3]\).