متطلبات الإكمال
I) FONCTIONS RATIONNELLES ET VALEUR ABSOLUE
📌 Exercice1
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[f(x) = \frac{2x}{x+1}\]
1) Étudier la parité de la fonction \(f\). (1 pt)
2) Déterminer la nature et les caractéristiques de la courbe \((C_f)\). (1.5 pts)
3) a) Construire dans un même repère les deux courbes \((C_f)\) et la parabole \((P)\) d'équation \(y = x^2\). (1.5 pts)
b) Résoudre graphiquement l'inéquation \(\frac{2x}{x+1} - x^2 \ge 0\). (1 pt)
4) Soit \(g\) la fonction définie par :
\(g(x) = \frac{2|x|}{|x|+1}\).
a) Étudier la parité de la fonction \(g\). (0.5 pt)
b) Montrer que \(g(x) = f(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^+\). (0.5 pt)
c) Construire dans le même repère la courbe de la fonction \(g\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
\(f(-x) = \frac{2(-x)}{-x+1} = \frac{-2x}{1-x} = \frac{2x}{x-1}\).
On a \(f(-x) \ne f(x)\) et \(f(-x) \ne -f(x)\). Donc \(f\) n'est ni paire ni impaire.
2) \(f(x) = \frac{2x}{x+1} = 2 - \frac{2}{x+1}\).
\((C_f)\) est une hyperbole de centre \(I(-1; 2)\).
Asymptotes : \(x = -1\) et \(y = 2\).
3) a) Tracer l'hyperbole \((C_f)\) avec les asymptotes \(x=-1\) et \(y=2\), et la parabole \((P): y=x^2\).
b) \(\frac{2x}{x+1} - x^2 \ge 0 \iff \frac{2x}{x+1} \ge x^2\).
Graphiquement, on cherche les points où \((C_f)\) est au-dessus de \((P)\).
Les points d'intersection sont solutions de \(\frac{2x}{x+1} = x^2\).
\(2x = x^2(x+1) \iff x^3 + x^2 - 2x = 0 \iff x(x^2 + x - 2) = 0 \iff x(x+2)(x-1) = 0\).
Donc \(x = -2\), \(x = 0\), \(x = 1\).
Graphiquement, \(f(x) \ge x^2 \iff x \in ]-\infty; -2] \cup [0; 1]\).
4) a) \(g(-x) = \frac{2|-x|}{|-x|+1} = \frac{2|x|}{|x|+1} = g(x)\).
Donc \(g\) est paire.
b) Pour \(x \ge 0\), \(|x| = x\), donc \(g(x) = \frac{2x}{x+1} = f(x)\).
c) La courbe de \(g\) s'obtient en prenant la partie de \((C_f)\) pour \(x \ge 0\) et en la symétrisant par rapport à l'axe des ordonnées.
📌 Exercice2
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[f(x) = x^2 + \frac{4}{x^2}\]
1) a) Déterminer le domaine de définition de \(f\). (0.5 pt)
b) Étudier la parité de \(f\). (0.5 pt)
2) a) Montrer que :
\(T = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{(a+b)((ab)^2 - 4)}{(ab)^2}\) pour \(a\) et \(b\) deux éléments distincts de \(\mathbb{R}^*\). (1.5 pts)
b) Déduire que \(f\) est strictement croissante sur \([\sqrt{2}; +\infty[\) et strictement décroissante sur \(]0; \sqrt{2}]\). (1 pt)
c) Dresser le tableau des variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}^*\) (justifier). (1.5 pts)
d) Déduire que \(x^2 + \frac{4}{x^2} \ge 4\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^*\). (1 pt)
3) On considère la fonction \(h\) définie par :
\(h(x) = x|x| + \frac{4}{x|x|}\).
a) Étudier la parité de \(h\). (0.5 pt)
b) Montrer que \(h(x) = f(x)\) pour tout \(x\) de \(]0; +\infty[\). (0.5 pt)
c) Dresser le tableau des variations de \(h\) sur \(\mathbb{R}^*\) (justifier). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) a) Il faut \(x \ne 0\). Donc \(D_f = \mathbb{R}^*\).
b) \(f(-x) = (-x)^2 + \frac{4}{(-x)^2} = x^2 + \frac{4}{x^2} = f(x)\).
Donc \(f\) est paire.
2) a) \(T = \frac{(a^2 + \frac{4}{a^2}) - (b^2 + \frac{4}{b^2})}{a-b} = \frac{a^2-b^2 + 4(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2})}{a-b}\).
\(= \frac{(a-b)(a+b) + 4\frac{b^2-a^2}{(ab)^2}}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b) - 4\frac{(a-b)(a+b)}{(ab)^2}}{a-b} = \frac{(a+b)((ab)^2 - 4)}{(ab)^2}\).
b) Sur \([\sqrt{2}; +\infty[\), \(a+b > 0\) et \(ab \ge 2\), donc \((ab)^2 - 4 \ge 0\).
Donc \(T \ge 0\). \(f\) est strictement croissante sur \([\sqrt{2}; +\infty[\).
Sur \(]0; \sqrt{2}]\), \(a+b > 0\) et \(ab \le 2\), donc \((ab)^2 - 4 \le 0\).
Donc \(T \le 0\). \(f\) est strictement décroissante sur \(]0; \sqrt{2}]\).
c) Comme \(f\) est paire, sur \(]-\infty; -\sqrt{2}]\) elle est décroissante et sur \([-\sqrt{2}; 0[\) elle est croissante.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\sqrt{2}\) | \(0\) | \(\sqrt{2}\) | \(+\infty\) | ||||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(||\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(4\) | \(\nearrow\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(4\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
d) Le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}^*\) est \(f(\sqrt{2}) = 2 + \frac{4}{2} = 4\).
Donc \(x^2 + \frac{4}{x^2} \ge 4\) pour tout \(x \in \mathbb{R}^*\).
3) a) \(h(-x) = (-x)|-x| + \frac{4}{(-x)|-x|} = -x|x| - \frac{4}{x|x|} = -h(x)\).
Donc \(h\) est impaire.
b) Pour \(x > 0\), \(|x| = x\), donc \(h(x) = x^2 + \frac{4}{x^2} = f(x)\).
c) Sur \(]0; +\infty[\), \(h = f\).
Sur \(]-\infty; 0[\), \(h\) est impaire, donc elle est croissante sur \(]-\infty; -\sqrt{2}]\) et décroissante sur \([-\sqrt{2}; 0[\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\sqrt{2}\) | \(0\) | \(\sqrt{2}\) | \(+\infty\) | ||||
| \(h'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(||\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(h(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(-4\) | \(\searrow\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(4\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
