Completion requirements
📌 Exercice1:
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[f(x) = x^2 - 2x\]
1. Étudier la parité de \(f\). (0.5 pt)
2. a) Écrire le plus simplement possible :
\(T = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}\) pour tout \(a\) et \(b\) distincts de \(D_f\). (1 pt)
b) Déduire les variations de \(f\) sur chacun des deux intervalles \(]-\infty; 1]\) et \([1; +\infty[\). (1 pt)
c) Dresser le tableau des variations de \(f\) sur \(D_f\). (0.5 pt)
d) Déduire les extremums de \(f\) (s'ils existent). (0.5 pt)
3. Calculer \(f(2)\) et \(f(3)\) puis tracer \(C_f\) dans un repère orthonormé. (1.5 pts)
4. On considère la fonction \(g\) définie par :
\(g(x) = x|x| - 2x\).
a) Étudier la parité de \(g\). (0.5 pt)
b) Montrer que \(g(x) = f(x)\) pour tout \(x\) de \([0; +\infty[\). (0.5 pt)
c) Dresser le tableau des variations de \(g\) (justifier). (1 pt)
d) Tracer \(C_g\) dans le même repère (avec une autre couleur). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x\).
\(f(-x) \ne f(x)\) et \(f(-x) \ne -f(x)\). Donc \(f\) n'est ni paire ni impaire.
2. a) \(T = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{(a^2 - 2a) - (b^2 - 2b)}{a - b} = \frac{a^2 - b^2 - 2(a - b)}{a - b} = \frac{(a-b)(a+b) - 2(a-b)}{a-b} = a + b - 2\).
Donc \(T = a + b - 2\).
b) Sur \(]-\infty; 1]\), \(a < 1\) et \(b \le 1\), donc \(a+b < 2\), donc \(T < 0\).
\(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; 1]\).
Sur \([1; +\infty[\), \(a \ge 1\) et \(b \ge 1\), donc \(a+b > 2\), donc \(T > 0\).
\(f\) est strictement croissante sur \([1; +\infty[\).
c) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(-1\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
d) \(f\) admet un minimum en \(x = 1\) qui vaut \(f(1) = 1 - 2 = -1\).
\(f\) n'admet pas de maximum sur \(\mathbb{R}\).
3) \(f(2) = 4 - 4 = 0\). \(f(3) = 9 - 6 = 3\).
Parabole de sommet \(S(1; -1)\), tournée vers le haut, passant par \((0;0)\), \((2;0)\), \((3;3)\).
4. a) \(g(-x) = (-x)|-x| - 2(-x) = -x|x| + 2x = -(x|x| - 2x) = -g(x)\).
Donc \(g\) est impaire.
b) Pour \(x \ge 0\), \(|x| = x\), donc \(g(x) = x^2 - 2x = f(x)\).
c) Sur \([0; +\infty[\), \(g = f\).
Sur \(]-\infty; 0]\), comme \(g\) est impaire, elle est croissante sur \(]-\infty; -1]\) et décroissante sur \([-1; 0]\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(1\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(-1\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
d) Tracer \(C_g\) : sur \([0; +\infty[\) c'est \(C_f\), sur \(]-\infty; 0]\) c'est la symétrique par rapport à l'origine.
📌 Exercice2:
On considère la fonction \(f\) définie par :
\[f(x) = \frac{x - 2}{x + 1}\]
1. a) Déterminer \(D_f\) le domaine de définition de \(f\). (0.5 pt)
b) Déterminer les caractéristiques de \(C_f\). (1 pt)
c) Déduire le tableau des variations de \(f\). (0.5 pt)
d) Calculer \(f(-\frac{3}{2})\), \(f(-2)\) et \(f(-3)\) puis tracer \(C_f\) dans un repère orthonormé. (1 pt)
2. On considère la fonction \(g\) définie par :
\(g(x) = x^2\).
a) Dresser le tableau des variations de \(g\). (0.5 pt)
b) Calculer \(g(-1)\) et \(g(-2)\) puis tracer \(C_g\) dans le même repère. (0.5 pt)
c) Résoudre dans \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) et graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\) puis l'inéquation \(f(x) \ge g(x)\). (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
1. a) Il faut \(x+1 \ne 0 \iff x \ne -1\). Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
b) \(f(x) = \frac{x-2}{x+1} = 1 - \frac{3}{x+1}\).
\((C_f)\) est une hyperbole de centre \(I(-1; 1)\).
Asymptotes : \(x = -1\) et \(y = 1\).
c) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(||\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(||\) | \(\nearrow\) | \(1\) |
d) \(f(-\frac{3}{2}) = \frac{-\frac{3}{2}-2}{-\frac{3}{2}+1} = \frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}} = 7\).
\(f(-2) = \frac{-2-2}{-2+1} = \frac{-4}{-1} = 4\).
\(f(-3) = \frac{-3-2}{-3+1} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}\).
Tracer l'hyperbole avec les asymptotes \(x=-1\) et \(y=1\).
2. a) Tableau de variations de \(g\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
| \(g'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
b) \(g(-1) = 1\), \(g(-2) = 4\). Tracer la parabole \(y=x^2\).
c) \(f(x) = g(x) \iff \frac{x-2}{x+1} = x^2\).
\(x-2 = x^2(x+1) \iff x^3 + x^2 - x + 2 = 0\).
On vérifie que \(x = -2\) est solution : \(-8 + 4 + 2 + 2 = 0\).
Factorisation : \((x+2)(x^2 - x + 1) = 0\).
\(x^2 - x + 1 = 0\) a \(\Delta = -3 < 0\), donc pas de solution réelle.
Donc \(S = \{-2\}\).
\(f(x) \ge g(x)\) : graphiquement \(x \le -2\) ou \(-1 < x \le 1\).
Algébriquement : \(\frac{x-2}{x+1} \ge x^2 \iff \frac{x-2 - x^2(x+1)}{x+1} \ge 0 \iff \frac{-(x+2)(x^2-x+1)}{x+1} \ge 0\).
\(x^2-x+1 > 0\) pour tout \(x\). Donc le signe est celui de \(-\frac{x+2}{x+1}\).
Donc \(S = ]-\infty; -2] \cup ]-1; 1]\).