exercice

a) \( f(x) = x^2 + 4x - 5 \) est une fonction polynôme. \( D_f = \mathbb{R} \).

b) \( f(x) = \frac{2x + 1}{x} \). Il faut \( x \ne 0 \). \( D_f = \mathbb{R}^* \).

c) \( f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9} \). Il faut \( x^2 - 9 \ne 0 \iff x \ne \pm 3 \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \).

d) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). \( x^2 + 1 > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). \( D_f = \mathbb{R} \).

e) \( f(x) = \sqrt{x^2 + x + 5} \). \( \Delta = 1 - 20 = -19 < 0 \), donc \( x^2 + x + 5 > 0 \). \( D_f = \mathbb{R} \).

f) \( f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x - 1} \). Il faut \( x \ge 0 \) et \( x \ne 1 \). \( D_f = [0; 1[ \cup ]1; +\infty[ \).

g) \( f(x) = \sqrt{x^2 - x - 2} \). Il faut \( x^2 - x - 2 \ge 0 \iff (x-2)(x+1) \ge 0 \). \( D_f = ]-\infty; -1] \cup [2; +\infty[ \).

h) \( f(x) = 3 - \sqrt{2 - x} \). Il faut \( 2 - x \ge 0 \iff x \le 2 \). \( D_f = ]-\infty; 2] \).

i) \( f(x) = \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \). Il faut \( x^2 - 6x + 5 > 0 \iff (x-1)(x-5) > 0 \). \( D_f = ]-\infty; 1[ \cup ]5; +\infty[ \).

j) \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \). Il faut \( x \ne 2 \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

k) \( f(x) = \frac{3x - 1}{2x^2 - 5x - 3} \). Il faut \( 2x^2 - 5x - 3 \ne 0 \). \( \Delta = 25 + 24 = 49 \), \( x = \frac{5 \pm 7}{4} \Rightarrow x = 3 \) ou \( x = -\frac{1}{2} \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}; 3\} \).

l) \( f(x) = \sqrt{3x - 6} + \frac{2}{x + 4} \). Il faut \( 3x - 6 \ge 0 \iff x \ge 2 \) et \( x \ne -4 \). \( D_f = [2; +\infty[ \).

m) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 3}} \). Il faut \( x^2 - 4x + 3 > 0 \iff (x-1)(x-3) > 0 \). \( D_f = ]-\infty; 1[ \cup ]3; +\infty[ \).

Un point \( M(x; y) \) appartient à \( (C_f) \) si et seulement si \( y = f(x) \).

• \( O(0;0) \) : \( f(0) = -2 \ne 0 \). Non.

• \( A(0;-2) \) : \( f(0) = -2 \). Oui.

• \( B(-2;0) \) : \( f(-2) = 4 - 2 - 2 = 0 \). Oui.

• \( C(1;1) \) : \( f(1) = 1 + 1 - 2 = 0 \ne 1 \). Non.

• \( D(2;7) \) : \( f(2) = 4 + 2 - 2 = 4 \ne 7 \). Non.

• \( E(1;0) \) : \( f(1) = 0 \). Oui.

Les points appartenant à \( (C_f) \) sont : \( A(0;-2) \), \( B(-2;0) \), \( E(1;0) \).

1) \( f(x) = -x^3 + 2x|x| \).

\( f(-x) = -(-x)^3 + 2(-x)|-x| = x^3 - 2x|x| = -(-x^3 + 2x|x|) = -f(x) \).

\( f \) est impaire.

2) \( f(x) = x^4 - 3|x| \).

\( f(-x) = (-x)^4 - 3|-x| = x^4 - 3|x| = f(x) \).

\( f \) est paire.

3) \( f(x) = -2x^3 + 5x - 2 \).

\( f(-x) = 2x^3 - 5x - 2 \ne f(x) \) et \( \ne -f(x) \).

\( f \) n'est ni paire ni impaire.

4) \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \).

\( f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = f(x) \).

\( f \) est paire.

5) \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4} \).

\( f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -f(x) \).

\( f \) est impaire.

1) \( f(x) = 3x - 4 \) est une fonction affine avec \( a = 3 > 0 \).

\( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).

2) \( f(x) = 5 - x^2 \) sur \( ]-\infty; 0] \).

Soient \( x_1 < x_2 \le 0 \). Alors \( x_1^2 > x_2^2 \), donc \( -x_1^2 < -x_2^2 \), donc \( f(x_1) < f(x_2) \).

\( f \) est strictement croissante sur \( ]-\infty; 0] \).

3) \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \) sur \( [0; +\infty[ \).

Soient \( 0 \le x_1 < x_2 \). Alors \( \sqrt{x_1} < \sqrt{x_2} \), donc \( \sqrt{x_1}+1 < \sqrt{x_2}+1 \).

Donc \( \frac{2}{\sqrt{x_1}+1} > \frac{2}{\sqrt{x_2}+1} \), donc \( f(x_1) > f(x_2) \).

\( f \) est strictement décroissante sur \( [0; +\infty[ \).

4) \( f(x) = \frac{1}{x} + 2 \) sur \( ]0; +\infty[ \).

La fonction inverse est décroissante sur \( ]0; +\infty[ \).

\( f \) est strictement décroissante sur \( ]0; +\infty[ \).

5) \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) sur \( ]-\infty; 0[ \).

Soient \( x_1 < x_2 < 0 \). Alors \( x_1^2 > x_2^2 \), donc \( \frac{1}{x_1^2} < \frac{1}{x_2^2} \).

\( f \) est strictement croissante sur \( ]-\infty; 0[ \).

6) \( f(x) = -2x^2 + 4x - 1 \) sur \( \mathbb{R} \).

\( f(x) = -2(x-1)^2 + 1 \). Le sommet est en \( x = 1 \).

\( f \) est strictement croissante sur \( ]-\infty; 1] \) et strictement décroissante sur \( [1; +\infty[ \).

1) \( T = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{(2a^2 - 3a + 1) - (2b^2 - 3b + 1)}{a - b} = \frac{2(a^2-b^2) - 3(a-b)}{a-b} = 2(a+b) - 3 \).

2) \( T = \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a - b} = \frac{\frac{b-a}{ab}}{a-b} = -\frac{1}{ab} \).

3) \( T = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \).