exercices

1) \( f(1) = 3 \times 1^2 - 1 = 3 - 1 = 2 \).

\( f(\sqrt{2}) = 3 \times (\sqrt{2})^2 - 1 = 6 - 1 = 5 \).

\( f(-1) = 3 \times (-1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2 \).

2) On résout \( f(x) = 2 \).

\( 3x^2 - 1 = 2 \iff 3x^2 = 3 \iff x^2 = 1 \iff x = -1 \) ou \( x = 1 \).

Les antécédents de 2 sont \(-1\) et \(1\).

a) \( f(x) = \frac{1}{x-3} \) est définie si \( x-3 \ne 0 \iff x \ne 3 \).

Donc \( 3 \) n'a pas d'image par \( f \).

b) \( g(x) = \sqrt{x-3} \) est définie si \( x-3 \ge 0 \iff x \ge 3 \).

Donc \( 0 \), \( 2 \) et \( -3 \) n'ont pas d'image par \( g \).

c) \( h(x) = \frac{1}{\sqrt{7-x}} \) est définie si \( 7-x > 0 \iff x < 7 \).

Donc \( 9 \) et \( 7 \) n'ont pas d'image par \( h \).

1) \( f(x) = 3x^2 - x + 1 \) est un polynôme. \( D_f = \mathbb{R} \).

2) \( f(x) = \frac{x^3}{2x - 4} \). Il faut \( 2x - 4 \ne 0 \iff x \ne 2 \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

3) \( f(x) = \frac{2x^4}{x^2 - 4} \). Il faut \( x^2 - 4 \ne 0 \iff x \ne \pm 2 \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2;2\} \).

4) \( f(x) = \frac{7x - 1}{x^3 - 2x} = \frac{7x - 1}{x(x^2 - 2)} \).

Il faut \( x(x^2 - 2) \ne 0 \iff x \ne 0 \) et \( x \ne \pm \sqrt{2} \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2};0;\sqrt{2}\} \).

5) \( f(x) = \sqrt{-3x + 6} \). Il faut \( -3x + 6 \ge 0 \iff x \le 2 \). \( D_f = ]-\infty;2] \).

6) \( f(x) = \frac{x - 5}{2x^2 - 5x - 3} \).

\( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \). \( \Delta = 25 + 24 = 49 \). \( x = \frac{5 \pm 7}{4} \Rightarrow x = 3 \) ou \( x = -\frac{1}{2} \).

\( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2};3\} \).

7) \( f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2} \).

\( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \iff (x-1)(x-2) \ge 0 \). \( D_f = ]-\infty;1] \cup [2;+\infty[ \).

8) \( f(x) = \frac{-3x + 9}{x + 1} \). Il faut \( x+1 \ne 0 \iff x \ne -1 \). \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).

9) \( f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{-2x^2 + x + 3}} \).

Il faut \( -2x^2 + x + 3 > 0 \). \( -2x^2 + x + 3 = 0 \iff 2x^2 - x - 3 = 0 \).

\( \Delta = 1 + 24 = 25 \). \( x = \frac{1 \pm 5}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{2} \) ou \( x = -1 \).

Le trinôme est positif entre les racines. \( D_f = ]-1; \frac{3}{2}[ \).

10) \( f(x) = \frac{|x - 5|}{x^2 + 1} \). \( x^2 + 1 > 0 \) pour tout \( x \). \( D_f = \mathbb{R} \).

11) \( f(x) = \frac{\sqrt{|x|}}{x} \). Il faut \( |x| \ge 0 \) (toujours vrai) et \( x \ne 0 \). \( D_f = \mathbb{R}^* \).

12) \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1} \). Il faut \( x+2 \ge 0 \iff x \ge -2 \) et \( x \ne 1 \). \( D_f = [-2;1[ \cup ]1;+\infty[ \).

13) \( f(x) = \sqrt{-2x^2 + x + 3} \).

Il faut \( -2x^2 + x + 3 \ge 0 \). Les racines sont \( -1 \) et \( \frac{3}{2} \).

\( D_f = [-1; \frac{3}{2}] \).

14) \( f(x) = \frac{|x - 5|}{x^2 + 1} \). \( x^2 + 1 > 0 \). \( D_f = \mathbb{R} \).

15) \( f(x) = \frac{\sqrt{|x|}}{x} \). \( D_f = \mathbb{R}^* \).

16) \( f(x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{2x + 4} = \frac{\sqrt{x - 2}}{2(x + 2)} \).

Il faut \( x-2 \ge 0 \iff x \ge 2 \) et \( x \ne -2 \). \( D_f = [2;+\infty[ \).