fn: serie1 | SeeDocx

📌 Exercice1:

Soit la fonction \( f \) définie par : \( f(x) = 3x^2 - 1 \).

1) Calculer l'image de 1, \(\sqrt{2}\) et \(-1\) par \( f \). (0.75 pt)

2) Déterminer les antécédents éventuels de 2 par \( f \). (0.75 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) \( f(1) = 3 \times 1^2 - 1 = 2 \).

\( f(\sqrt{2}) = 3 \times (\sqrt{2})^2 - 1 = 6 - 1 = 5 \).

\( f(-1) = 3 \times (-1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2 \).

2) On résout \( f(x) = 2 \).

\( 3x^2 - 1 = 2 \iff 3x^2 = 3 \iff x^2 = 1 \iff x = -1 \) ou \( x = 1 \).

Les antécédents de 2 sont \(-1\) et \(1\).

📌 Exercice2:

a) On considère la fonction définie par : \( x \mapsto \frac{1}{x - 3} \).

Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n'a/ont pas d'image par \( f \) ? \( 0 \); \( 2 \); \( -3 \); \( 3 \). (0.5 pt)

b) On considère la fonction définie par : \( x \mapsto \sqrt{x - 3} \).

Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n'a/ont pas d'image par \( g \) ? \( 0 \); \( 2 \); \( -3 \); \( 4 \). (0.5 pt)

c) On considère la fonction définie par : \( x \mapsto \frac{1}{\sqrt{7 - x}} \).

Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n'a/ont pas d'image par \( h \) ? \( 5 \); \( -6 \); \( 9 \); \( 7 \). (0.5 pt)

✅ Corrigé détaillé

a) \( f(x) = \frac{1}{x-3} \) est définie si \( x-3 \ne 0 \iff x \ne 3 \).

Donc \( 3 \) n'a pas d'image par \( f \).

b) \( g(x) = \sqrt{x-3} \) est définie si \( x-3 \ge 0 \iff x \ge 3 \).

Donc \( 0 \), \( 2 \) et \( -3 \) n'ont pas d'image par \( g \).

c) \( h(x) = \frac{1}{\sqrt{7-x}} \) est définie si \( 7-x > 0 \iff x < 7 \).

Donc \( 9 \) et \( 7 \) n'ont pas d'image par \( h \).

📌 Exercice3 :

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : (4 pts)

1) \( f(x) = 3x^2 - x + 1 \)

2) \( f(x) = \frac{x^3}{2x - 4} \)

3) \( f(x) = \frac{2x^4}{x^2 - 4} \)

4) \( f(x) = \frac{7x - 1}{x^3 - 2x} \)

5) \( f(x) = \sqrt{-3x + 6} \)

6) \( f(x) = \frac{x - 5}{2x^2 - 5x - 3} \)

7) \( f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2} \)

8) \( f(x) = \sqrt{\frac{-3x + 9}{x + 1}} \)

9) \( f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{-2x^2 + x + 3}} \)

10) \( f(x) = \frac{|x - 5|}{x^2 + 1} \)

11) \( f(x) = \frac{\sqrt{|x|}}{x} \)

12) \( f(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1} \)

13) \( f(x) = \sqrt{-2x^2 + x + 3} \)

14) \( f(x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{2x + 4} \)

15) \( f(x) = 3x^2 - \frac{1}{x} + \sqrt{-x} \)

16) \( f(x) = \frac{x}{|2x - 4| - |x - 1|} \)

17) \( f(x) = \frac{2\sin x}{2\cos x - 1} \)

18) \( f(x) = \frac{\sqrt{-2x^2 + 2x + 13}}{x^2 - x - 6} \)

19) \( f(x) = \sqrt{x^2 + (2\sqrt{3} - \sqrt{2})x - 2\sqrt{6}} \)

✅ Corrigé détaillé

1) Polynôme → \( D_f = \mathbb{R} \).

2) \( 2x - 4 \ne 0 \iff x \ne 2 \) → \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

3) \( x^2 - 4 \ne 0 \iff x \ne \pm 2 \) → \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2;2\} \).

4) \( x(x^2 - 2) \ne 0 \iff x \ne 0 \) et \( x \ne \pm \sqrt{2} \) → \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2};0;\sqrt{2}\} \).

5) \( -3x + 6 \ge 0 \iff x \le 2 \) → \( D_f = ]-\infty;2] \).

6) \( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \iff x = 3 \) ou \( x = -\frac{1}{2} \) → \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2};3\} \).

7) \( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \iff (x-1)(x-2) \ge 0 \) → \( D_f = ]-\infty;1] \cup [2;+\infty[ \).

8) \( \frac{-3x+9}{x+1} \ge 0 \) avec \( x \ne -1 \). Tableau de signes → \( D_f = [-1;3] \).

9) \( -2x^2 + x + 3 > 0 \iff x \in ]-1; \frac{3}{2}[ \) → \( D_f = ]-1; \frac{3}{2}[ \).

10) \( x^2 + 1 > 0 \) → \( D_f = \mathbb{R} \).

11) \( x \ne 0 \) → \( D_f = \mathbb{R}^* \).

12) \( x+2 \ge 0 \iff x \ge -2 \) et \( x \ne 1 \) → \( D_f = [-2;1[ \cup ]1;+\infty[ \).

13) \( -2x^2 + x + 3 \ge 0 \) → \( D_f = [-1; \frac{3}{2}] \).

14) \( x-2 \ge 0 \iff x \ge 2 \) et \( x \ne -2 \) → \( D_f = [2;+\infty[ \).

15) \( x \ne 0 \) et \( -x \ge 0 \iff x \le 0 \) → \( D_f = ]-\infty;0[ \).

16) \( |2x-4| - |x-1| \ne 0 \). Étudier les cas → \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1;3\} \).

17) \( 2\cos x - 1 \ne 0 \iff \cos x \ne \frac{1}{2} \iff x \ne \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \).

18) \( x^2 - x - 6 \ne 0 \iff x \ne -2 \) et \( x \ne 3 \), et \( -2x^2+2x+13 \ge 0 \).

19) \( x^2 + (2\sqrt{3}-\sqrt{2})x - 2\sqrt{6} \ge 0 \). Les racines sont \( \sqrt{2} \) et \( -2\sqrt{3} \) → \( D_f = ]-\infty;-2\sqrt{3}] \cup [\sqrt{2};+\infty[ \).

📌 Exercice4:

Soient les deux fonctions :

\[f(x) = \frac{3x^2 + 1}{\sqrt{x^2}} \quad \text{et} \quad g(x) = \frac{1 + 3x^2}{|x|}\]

Est-ce que \( f = g \) ? Justifier. (1 pt)

✅ Corrigé détaillé

\( \sqrt{x^2} = |x| \). Donc \( f(x) = \frac{3x^2 + 1}{|x|} = \frac{1 + 3x^2}{|x|} = g(x) \).

Donc \( f = g \).

📌 Exercice5:

Soient les deux fonctions :

\[h(x) = \frac{x^2 - x}{x} \quad \text{et} \quad t(x) = x - 1\]

Est-ce que \( h = t \) ? Justifier. (1 pt)

✅ Corrigé détaillé

\( h(x) = \frac{x^2 - x}{x} = \frac{x(x-1)}{x} = x - 1 \) pour \( x \ne 0 \).

Mais \( D_h = \mathbb{R}^* \) et \( D_t = \mathbb{R} \).

Donc \( h \ne t \) car les ensembles de définition sont différents.

📌 Exercice6:

Étudier la parité des fonctions suivantes : (1 pt)

1) \( f(x) = 3x^2 - 5 \)

2) \( g(x) = \frac{3}{x} \)

3) \( h(x) = 2x^3 + x^2 \)

4) \( t(x) = \frac{x}{x - 2} \)

✅ Corrigé détaillé

1) \( f(-x) = 3x^2 - 5 = f(x) \). Paire.

2) \( g(-x) = -\frac{3}{x} = -g(x) \). Impaire.

3) \( h(-x) = -2x^3 + x^2 \ne h(x) \) et \( \ne -h(x) \). Ni paire ni impaire.

4) \( t(-x) = \frac{-x}{-x-2} = \frac{x}{x+2} \ne t(x) \) et \( \ne -t(x) \). Ni paire ni impaire.

📌 Exercice7:

Étudier la parité des fonctions suivantes : (1.5 pts)

1) \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x} \)

2) \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x} \)

3) \( f(x) = \frac{|x|}{x^2 - 1} \)

4) \( f(x) = \sqrt{1 - x^2} \)

5) \( f(x) = \frac{2x^3}{x^2 + 5} \)

6) \( f(x) = |x| - \sqrt{2x^2 + 4} \)

7) \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2} \)

✅ Corrigé détaillé

1) \( f(-x) = \frac{x^2 - 1}{-x} = -f(x) \). Impaire.

2) \( f(-x) = x^2 - \frac{1}{x} \). Ni paire ni impaire.

3) \( f(-x) = \frac{|x|}{x^2 - 1} = f(x) \). Paire.

4) \( f(-x) = \sqrt{1 - x^2} = f(x) \). Paire.

5) \( f(-x) = -\frac{2x^3}{x^2 + 5} = -f(x) \). Impaire.

6) \( f(-x) = |x| - \sqrt{2x^2 + 4} = f(x) \). Paire.

7) \( D_f = [0;+\infty[ \) non symétrique. Ni paire ni impaire.

📌 Exercice8:

Étudier la monotonie des fonctions suivantes : (1 pt)

1) \( f(x) = 7x - 5 \)

2) \( g(x) = \frac{2}{x} \)

✅ Corrigé détaillé

1) \( f(x) = 7x - 5 \) avec \( a = 7 > 0 \).

\( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).

2) \( g(x) = \frac{2}{x} \).

\( g \) est strictement décroissante sur \( ]-\infty;0[ \) et sur \( ]0;+\infty[ \).

📌 Exercice9:

Soit \( f \) une fonction telle que : \( f(x) = 3x^2 + 2 \).

1) Déterminer \( D_f \). (0.25 pt)

2) Calculer le taux d'accroissement de \( f \) entre \( x_1 \) et \( x_2 \). (0.75 pt)

3) Étudier les variations de \( f \) sur \( [0;+\infty[ \) et \( ]-\infty;0] \). (1 pt)

4) Dresser le tableau de variation de \( f \). (0.5 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) \( D_f = \mathbb{R} \).

2) \( T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = 3(x_1 + x_2) \).

3) Sur \( [0;+\infty[ \), \( T \ge 0 \) → croissante. Sur \( ]-\infty;0] \), \( T \le 0 \) → décroissante.

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(+\infty\)	\(\searrow\)	\(2\)	\(\nearrow\)	\(+\infty\)

📌 Exercice10:

Soit \( g \) une fonction telle que : \( g(x) = \frac{x}{x+1} \).

1) Déterminer \( D_g \). (0.25 pt)

2) Calculer le taux d'accroissement de \( g \) entre \( x_1 \) et \( x_2 \). (0.75 pt)

3) Étudier les variations de \( g \) sur \( ]-\infty;-1[ \) et \( ]-1;+\infty[ \). (1 pt)

4) Dresser le tableau de variation de \( g \). (0.5 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).

2) \( T = \frac{1}{(x_1+1)(x_2+1)} \).

3) Sur les deux intervalles, \( T > 0 \). \( g \) est croissante.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(+\infty\)
\(g'(x)\)		\(+\)	\(\|\|\)	\(+\)
\(g(x)\)	\(1\)	\(\nearrow\)	\(\|\|\)	\(\nearrow\)	\(1\)

📌 Exercice11:

Soit \( f \) une fonction telle que : \( f(x) = x + \frac{1}{x} \).

1) Déterminer \( D_f \) et étudier la parité de \( f \). (0.5 pt)

2) Calculer le taux d'accroissement \( T(x_1;x_2) \). (1 pt)

3) Étudier les variations de \( f \) sur \( ]0;1] \) puis sur \( [1;+\infty[ \). (1 pt)

4) En déduire les variations de \( f \) sur \( D_f \). (0.5 pt)

5) Dresser le tableau de variations de \( f \). (0.5 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) \( D_f = \mathbb{R}^* \). \( f(-x) = -f(x) \) → impaire.

2) \( T = \frac{x_1x_2 - 1}{x_1x_2} \).

3) Sur \( ]0;1] \), \( T < 0 \) → décroissante. Sur \( [1;+\infty[ \), \( T > 0 \) → croissante.

4) Comme \( f \) est impaire, sur \( ]-\infty;-1] \) elle est croissante et sur \( [-1;0[ \) elle est décroissante.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(0\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(\|\|\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(-2\)	\(\searrow\)	\(\|\|\)	\(\searrow\)	\(2\)	\(\nearrow\)	\(+\infty\)

📌 Exercice12:

Soit \( f \) une fonction numérique telle que : \( f(x) = 5x^2 + 3 \).

Montrer que \( f(0) = 3 \) est un minimum de \( f \) sur \( \mathbb{R} \). (1 pt)

✅ Corrigé détaillé

Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( x^2 \ge 0 \), donc \( 5x^2 \ge 0 \).

Donc \( 5x^2 + 3 \ge 3 = f(0) \).

Donc \( f(0) = 3 \) est un minimum de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).

📌 Exercice13:

Soit \( g \) une fonction numérique telle que : \( g(x) = -4x^2 + 1 \).

Montrer que \( g(0) = 1 \) est un maximum de \( g \) sur \( \mathbb{R} \). (1 pt)

✅ Corrigé détaillé

Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( x^2 \ge 0 \), donc \( -4x^2 \le 0 \).

Donc \( -4x^2 + 1 \le 1 = g(0) \).

Donc \( g(0) = 1 \) est un maximum de \( g \) sur \( \mathbb{R} \).

📌 Exercice14:

Soit \( f \) une fonction numérique telle que :

\[f(x) = -4x^2 + 4x + 5\]

1) a) Montrer que \( f(x) = 6 - (2x - 1)^2 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). (0.75 pt)

b) Montrer que \( f(x) \le 6 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). (0.5 pt)

2) Calculer \( f\left(\frac{1}{2}\right) \) et en déduire les extremums de \( f \) sur \( \mathbb{R} \). (0.75 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) a) \( 6 - (2x-1)^2 = 6 - (4x^2 - 4x + 1) = -4x^2 + 4x + 5 = f(x) \).

b) \( (2x-1)^2 \ge 0 \Rightarrow -(2x-1)^2 \le 0 \Rightarrow f(x) = 6 - (2x-1)^2 \le 6 \).

2) \( f\left(\frac{1}{2}\right) = 6 - (2 \times \frac{1}{2} - 1)^2 = 6 \).

Donc \( f \) admet un maximum en \( x = \frac{1}{2} \) qui vaut 6.

📌 Exercice15:

Soit \( f \) une fonction numérique telle que :

\[f(x) = 2x^2 - 4x - 2\]

et \((C_f)\) sa courbe représentative dans le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).

1) Déterminer \( D_f \). (0.25 pt)

2) Déterminer \( \alpha \) et \( \beta \) tels que \( f(x) = 2(x - \alpha)^2 + \beta \). (0.75 pt)

3) Déterminer le tableau de variations de \( f \). (0.5 pt)

4) Tracer la courbe représentative \((C_f)\) dans le repère. (1 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) \( D_f = \mathbb{R} \).

2) \( f(x) = 2(x-1)^2 - 4 \). \( \alpha = 1 \), \( \beta = -4 \).

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(+\infty\)	\(\searrow\)	\(-4\)	\(\nearrow\)	\(+\infty\)

4) Parabole de sommet \( S(1;-4) \), tournée vers le haut.

📌 Exercice16:

Soit \( g \) une fonction numérique telle que :

\[g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1\]

et \((C_g)\) sa courbe représentative dans le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).

1) Déterminer \( D_g \). (0.25 pt)

2) Déterminer \( \alpha \) et \( \beta \) tels que \( g(x) = -\frac{1}{2}(x - \alpha)^2 + \beta \). (0.75 pt)

3) Déterminer le tableau de variations de \( g \). (0.5 pt)

4) Tracer la courbe représentative \((C_g)\) dans le repère. (1 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) \( D_g = \mathbb{R} \).

2) \( g(x) = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3 \). \( \alpha = 2 \), \( \beta = 3 \).

\(x\)	\(-\infty\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(g'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(g(x)\)	\(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(3\)	\(\searrow\)	\(-\infty\)

4) Parabole de sommet \( S(2;3) \), tournée vers le bas.

📌 Exercice17:

Soit \( f \) une fonction numérique telle que :

\[f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}\]

et \((C_f)\) sa courbe représentative dans le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).

1) Déterminer \( D_f \). (0.25 pt)

2) Déterminer \( \alpha \), \( \beta \) et \( k \) tels que \( f(x) = \beta + \frac{k}{x - \alpha} \). (0.75 pt)

3) Déterminer le tableau de variations de \( f \). (0.5 pt)

4) Tracer la courbe représentative \((C_f)\) dans le repère. (1 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

2) \( f(x) = 2 + \frac{3}{x-1} \). \( \alpha = 1 \), \( \beta = 2 \), \( k = 3 \).

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(\|\|\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(2\)	\(\searrow\)	\(\|\|\)	\(\searrow\)	\(2\)

4) Hyperbole de centre \( I(1;2) \), asymptotes \( x=1 \) et \( y=2 \).

📌 Exercice18:

Soit \( g \) une fonction numérique telle que :

\[g(x) = \frac{-x}{x - 2}\]

et \((C_g)\) sa courbe représentative dans le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).

1) Déterminer \( D_g \). (0.25 pt)

2) Déterminer \( \alpha \), \( \beta \) et \( k \) tels que \( g(x) = \beta + \frac{k}{x - \alpha} \). (0.75 pt)

3) Déterminer le tableau de variations de \( g \). (0.5 pt)

4) Tracer la courbe représentative \((C_g)\) dans le repère. (1 pt)

✅ Corrigé détaillé

1) \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

2) \( g(x) = -1 - \frac{2}{x-2} \). \( \alpha = 2 \), \( \beta = -1 \), \( k = -2 \).

\(x\)	\(-\infty\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(g'(x)\)		\(+\)	\(\|\|\)	\(+\)
\(g(x)\)	\(-1\)	\(\nearrow\)	\(\|\|\)	\(\nearrow\)	\(-1\)

4) Hyperbole de centre \( I(2;-1) \), asymptotes \( x=2 \) et \( y=-1 \).