متطلبات الإكمال
Série : Courbes, variations et lectures graphiques
📌 Exercice1:
On considère les fonctions \( f \), \( g \) et \( h \) telles que :
\[f(x) = x^2 \quad ; \quad g(x) = \frac{1}{x} \quad ; \quad h(x) = \frac{x+1}{2}\]
1) Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation : \( g(x) = h(x) \). (0.75 pt)
2) Construire les courbes \((C_f)\), \((C_g)\) et \((C_h)\) dans un même repère orthonormé. (1.5 pts)
3) Résoudre graphiquement les inéquations :
a) \( \frac{1}{x} < x + 1 \) (0.75 pt)
b) \( 2x^2 - x \ge 1 \) (0.75 pt)
c) \( \frac{1}{x} - x^2 \ge 0 \) (0.75 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \( g(x) = h(x) \iff \frac{1}{x} = \frac{x+1}{2} \iff 2 = x(x+1) \iff x^2 + x - 2 = 0 \).
\( \Delta = 1 + 8 = 9 \). \( x = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow x = 1 \) ou \( x = -2 \).
\( S = \{-2; 1\} \).
2) Tracer la parabole \( y = x^2 \), l'hyperbole \( y = \frac{1}{x} \) et la droite \( y = \frac{x+1}{2} \).
3) a) \( \frac{1}{x} < x + 1 \). Graphiquement, \( (C_g) \) est en dessous de \( (C_h) \).
\( S = ]-\infty; -2[ \cup ]0; 1[ \).
b) \( 2x^2 - x \ge 1 \iff x^2 \ge \frac{x+1}{2} \iff f(x) \ge h(x) \).
\( S = ]-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [1; +\infty[ \).
c) \( \frac{1}{x} - x^2 \ge 0 \iff \frac{1}{x} \ge x^2 \iff g(x) \ge f(x) \).
\( S = ]0; 1] \).
📌 Exercice2:
On considère la fonction \( f \) telle que : \( f(x) = x^2 - 4x \).
1) a) Vérifier que pour tout réel \( x \) on a : \( f(x) = (x-2)^2 - 4 \). (0.5 pt)
b) Donner le tableau de variations de \( f \). (0.5 pt)
c) Construire \((C_f)\) dans un repère orthonormé. (1 pt)
2) En déduire le graphe de chacune des fonctions \( g \), \( h \) et \( k \) telles que :
\( g(x) = -x^2 + 4x \) ; \( h(x) = |x^2 - 4x| \) ; \( k(x) = x^2 - 4|x| \). (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) a) \( (x-2)^2 - 4 = x^2 - 4x + 4 - 4 = x^2 - 4x = f(x) \).
b) Sommet \( S(2;-4) \), tournée vers le haut.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(-4\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
c) Parabole de sommet \( S(2;-4) \), passant par \((0;0)\) et \((4;0)\).
2) \( g(x) = -f(x) \) → symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
\( h(x) = |f(x)| \) → on garde les parties positives, on symétrise les négatives.
\( k(x) = f(|x|) \) → on garde la partie pour \( x \ge 0 \), on symétrise par rapport à l'axe des ordonnées.
📌 Exercice3:
Soit la fonction numérique \( f : x \mapsto \frac{x-1}{x} \) et \((C_f)\) sa courbe représentative.
1) Tracer \((C_f)\). (1 pt)
2) a) En déduire la courbe de la fonction \( g \) telle que \( g(x) = |f(x)| \). (0.5 pt)
b) En utilisant le graphe de \((C_g)\), donner le tableau de variations de \( g \). (0.5 pt)
c) Montrer que \( 0 \le g(x) \le 1 \) pour tout \( x \in [\frac{1}{2}; 1] \). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \( f(x) = \frac{x-1}{x} = 1 - \frac{1}{x} \). Hyperbole de centre \( I(0;1) \), asymptotes \( x=0 \) et \( y=1 \).
2) a) \( (C_g) \) s'obtient en symétrisant les parties de \((C_f)\) sous l'axe des abscisses.
b) Tableau de variations de \( g \) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(||\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(1\) |
c) Sur \([\frac{1}{2}; 1]\), \( f(x) \le 0 \), donc \( g(x) = -f(x) = \frac{1}{x} - 1 \).
\( g\left(\frac{1}{2}\right) = 2 - 1 = 1 \), \( g(1) = 0 \), et \( g \) est décroissante.
Donc \( 0 \le g(x) \le 1 \).
📌 Exercice4:
On considère la fonction \( f \) telle que : \( f(x) = -x^2 + 2x + 1 \).
1) a) Vérifier que pour tout réel \( x \) on a : \( f(x) = -(x-1)^2 + 2 \). (0.5 pt)
b) Donner le tableau de variations de \( f \). (0.5 pt)
2) Quelle est la nature de \((C_f)\) ? Construire \((C_f)\). (1 pt)
3) a) En déduire la courbe de la fonction \( g \) telle que \( g(x) = |x^2 - 2x - 1| \). (0.5 pt)
b) Discuter selon les valeurs du réel \( m \), le nombre de solutions de l'équation \( g(x) - m = 0 \). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) a) \( -(x-1)^2 + 2 = -(x^2 - 2x + 1) + 2 = -x^2 + 2x - 1 + 2 = -x^2 + 2x + 1 = f(x) \).
b) Sommet \( S(1;2) \), tournée vers le bas.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(-\infty\) |
2) Parabole de sommet \( S(1;2) \), tournée vers le bas.
3) a) \( g(x) = |x^2 - 2x - 1| = | -f(x) | = |f(x)| \).
b) \( g(x) = m \).
• \( m < 0 \) : 0 solution.
• \( m = 0 \) : 2 solutions (\( x = 1 \pm \sqrt{2} \)).
• \( 0 < m < 2 \) : 4 solutions.
• \( m = 2 \) : 3 solutions.
• \( m > 2 \) : 2 solutions.
📌 Exercice5:
Soit la fonction numérique \( f : x \mapsto \frac{2x-1}{x-1} \).
1) a) Déterminer \( D_f \) et trouver les réels \( \alpha \) et \( \beta \) tels que : \( f(x) = \alpha + \frac{\beta}{x-1} \). (0.75 pt)
b) Donner le tableau de variations de \( f \) et construire \((C_f)\). (1 pt)
2) On considère l'équation \( (E) : x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0 \).
a) Vérifier que \( (E) \) est équivalente à \( x^2 = \frac{2x-1}{x-1} \). (0.75 pt)
b) En déduire le nombre de solutions de \( (E) \). (0.75 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) a) \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \).
\( f(x) = \frac{2x-1}{x-1} = 2 + \frac{1}{x-1} \). \( \alpha = 2 \), \( \beta = 1 \).
b) Hyperbole de centre \( I(1;2) \), asymptotes \( x=1 \) et \( y=2 \).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(||\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(2\) |
2) a) \( x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0 \iff x^3 - x^2 = 2x - 1 \iff x^2(x-1) = 2x-1 \).
Pour \( x \ne 1 \), on divise par \( x-1 \) : \( x^2 = \frac{2x-1}{x-1} \).
b) Les solutions de \( (E) \) sont les abscisses des points d'intersection de \((C_f)\) et de la parabole \( y = x^2 \).
Graphiquement, il y a 3 solutions.
📌 Exercice6:
On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :
\[f(x) = \begin{cases} x^2 - x, & x < 1 \\ \frac{1}{x} - 1, & x \ge 1 \end{cases}\]
Construire la courbe \((C_f)\) dans un repère orthonormé puis donner le tableau de variations de \( f \). (2 pts)
✅ Corrigé détaillé
Pour \( x < 1 \), \( f(x) = x^2 - x = (x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \). Parabole de sommet \( (\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}) \).
Pour \( x \ge 1 \), \( f(x) = \frac{1}{x} - 1 \). Hyperbole.
Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(-\) | |||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(-\frac{1}{4}\) | \(\nearrow\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(-1\) |
📌 Exercice7:
On considère la fonction \( f \) de la variable réelle \( t \) telle que :
\[f(t) = 20t - t^2\]
1) a) Trouver les réels \( \alpha \) et \( \beta \) tels que \( f(t) = \alpha - (t - \beta)^2 \). (0.5 pt)
b) Étudier les variations de \( f \) sur \( [10; +\infty[ \) et sur \( ]-\infty; 10] \). (0.5 pt)
2) Un lot de terrain est sous la forme d'un triangle équilatéral de côté 20 m. On veut construire une maison sur une portion rectangulaire ABCD.
Déterminer la longueur et la largeur pour que la surface du rectangle ABCD soit maximale. (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) a) \( f(t) = -t^2 + 20t = -(t^2 - 20t) = -[(t-10)^2 - 100] = 100 - (t-10)^2 \).
\( \alpha = 100 \), \( \beta = 10 \).
b) Sommet \( S(10;100) \), tournée vers le bas.
Sur \( [10; +\infty[ \), \( f \) est décroissante.
Sur \( ]-\infty; 10] \), \( f \) est croissante.
2) Soit \( x = BM \). La hauteur du triangle est \( h = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \).
Par Thalès, \( \frac{AM}{AN} = \frac{BM}{BN} \).
La largeur du rectangle est \( \ell = \frac{\sqrt{3}}{2}(20 - x) \).
La longueur est \( L = 2x \).
La surface est \( S(x) = 2x \times \frac{\sqrt{3}}{2}(20 - x) = \sqrt{3}x(20 - x) = \sqrt{3}(20x - x^2) \).
C'est une parabole de sommet \( x = 10 \).
Donc la surface est maximale pour \( x = 10 \).
Longueur \( L = 20 \) m, largeur \( \ell = \frac{\sqrt{3}}{2}(10) = 5\sqrt{3} \) m.