📌 Exercice 1 : Négation et valeur de vérité

Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :

  • 1) \( P : \forall x \in \mathbb{R} \,/\, x^2 > 0 \)
  • 2) \( P : \exists x \in \mathbb{R} \,/\, x^2 - 2 = 0 \)
  • 3) \( P : x \in [1; 2[ \)
  • 4) \( P : \forall n \in \mathbb{N} \,/\, \frac{n}{2} \in \mathbb{N}^* \)
  • 5) \( P : (\forall x \in \mathbb{R}) ;\, -1 \leq \cos x \leq 1 \)
  • 6) \( P : (\forall n \in \mathbb{N}) ;\, (\exists m \in \mathbb{N}) ;\, n < m \)
  • 7) \( P : (\exists n \in \mathbb{N}) ;\, 2n + 1 \text{ est pair } \)
  • 8) \( P : (\forall n \in \mathbb{N}) ;\, \sqrt{n} \in \mathbb{N} \)
  • 9) \( P : (\forall x \in \mathbb{R}) ;\, (\exists y \in \mathbb{R}) ;\, y - x > 0 \)
  • 10) \( P : (\exists x \in \mathbb{R}) ;\, 2x + 4 = 0 \)
  • 11) \( P : (\exists x \in \mathbb{R}) ;\, x^2 = 2 \)
  • 12) \( P : (\exists x \in \mathbb{Z}) ;\, \frac{x}{4} \in \mathbb{Z} \)
  • 13) \( P : (\forall x \in \mathbb{R}) ;\, (\exists y \in \mathbb{R}) ;\, y^2 = x \)
✅ Corrigé

1) \( \overline{P} : \exists x \in \mathbb{R} \,/\, x^2 \leq 0 \). Fausse car \(x^2 \geq 0\) et \(x^2=0\) pour \(x=0\).

2) \( \overline{P} : \forall x \in \mathbb{R} \,/\, x^2 - 2 \neq 0 \). Vraie car \(x = \pm\sqrt{2}\).

3) \( \overline{P} : x \notin [1; 2[ \iff x < 1 \text{ ou } x \geq 2 \). Vraie pour \(x=1,5\) par exemple.

4) \( \overline{P} : \exists n \in \mathbb{N} \,/\, \frac{n}{2} \notin \mathbb{N}^* \). Fausse (contre-exemple : \(n=1\)).

5) \( \overline{P} : \exists x \in \mathbb{R} ;\, \cos x < -1 \text{ ou } \cos x > 1 \). Vraie (propriété de \(\cos\)).

6) \( \overline{P} : \exists n \in \mathbb{N} ;\, \forall m \in \mathbb{N} ;\, n \geq m \). Vraie (prendre \(m = n+1\)).

7) \( \overline{P} : \forall n \in \mathbb{N} ;\, 2n+1 \text{ est impair } \). Fausse (\(2n+1\) est toujours impair).

8) \( \overline{P} : \exists n \in \mathbb{N} ;\, \sqrt{n} \notin \mathbb{N} \). Fausse (contre-exemple : \(n=2\)).

9) \( \overline{P} : \exists x \in \mathbb{R} ;\, \forall y \in \mathbb{R} ;\, y - x \leq 0 \). Vraie (prendre \(y = x+1\)).

10) \( \overline{P} : \forall x \in \mathbb{R} ;\, 2x+4 \neq 0 \). Vraie (\(x=-2\)).

11) \( \overline{P} : \forall x \in \mathbb{R} ;\, x^2 \neq 2 \). Vraie (\(x = \pm\sqrt{2}\)).

12) \( \overline{P} : \forall x \in \mathbb{Z} ;\, \frac{x}{4} \notin \mathbb{Z} \). Vraie (prendre \(x=4\)).

13) \( \overline{P} : \exists x \in \mathbb{R} ;\, \forall y \in \mathbb{R} ;\, y^2 \neq x \). Fausse (pour \(x<0\) il n'existe pas de \(y\)).

📌 Exercice 2 : Quantificateurs

Écrire à l'aide de quantificateurs les propositions suivantes :

  • 1) Le carré de tout réel est positif.
  • 2) Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.
  • 3) Aucun entier n'est supérieur à tous les autres.
  • 4) Tous les réels ne sont pas des quotients d'entiers.
  • 5) Il existe un entier multiple de tous les autres.
  • 6) Entre deux réels distincts, il existe un rationnel.
✅ Corrigé

1) \( \forall x \in \mathbb{R} \;,\; x^2 \geq 0 \)

2) \( \exists x \in \mathbb{R} \;,\; x > x^2 \)

3) \( \forall n \in \mathbb{N} \;,\; \exists m \in \mathbb{N} \;,\; m \geq n \) (ou \( \neg(\exists n \in \mathbb{N} \;,\; \forall m \in \mathbb{N} \;,\; n > m) \))

4) \( \forall x \in \mathbb{R} \;,\; \neg(\exists a \in \mathbb{Z} \;,\; \exists b \in \mathbb{Z}^* \;,\; x = \frac{a}{b}) \)

5) \( \exists n \in \mathbb{N} \;,\; \forall m \in \mathbb{N} \;,\; m \mid n \) (0 est multiple de tout entier)

6) \( \forall (x; y) \in \mathbb{R}^2 \;,\; x < y \Rightarrow \exists q \in \mathbb{Q} \;,\; x < q < y \)

📌 Exercice 3 à 8 – Raisonnements directs

Exercice 3 : \( x \in \mathbb{R} ; y \in \mathbb{R} \). Montrer que : \[ \begin{cases} 0 \leq x < 2 \\ 0 \leq y < 2 \end{cases} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 1 \]
Exercice 4 : \( x \in \mathbb{R}^+ \). Montrer que : \[ \frac{1}{1 + \sqrt{x}} = 1 - \sqrt{x} \Rightarrow x = 0 \]
Exercice 5 :

1) Montrer que : \( (\forall (a; b) \in \mathbb{R}^2) ;\; a^2 + b^2 = 0 \Rightarrow a = 0 \text{ et } b = 0 \)

2) \( x \in \mathbb{R}^+ \text{ et } y \in \mathbb{R}^+ \). Montrer que : \[ x + y + 2 = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} \Rightarrow x = y = 1 \]

Exercice 6 : Montrer que : \[ (\forall (a; b) \in \mathbb{R}^2) ;\; a^2 + b^2 = 1 \Rightarrow |a + b| \leq \sqrt{2} \]
Exercice 7 : Montrer que si \( a \in \mathbb{Q} \) et \( b \in \mathbb{Q} \) alors \( a + b \in \mathbb{Q} \).
Exercice 8 : \( f(x) = \frac{x + 2}{2x + 1} \). Montrer que : \[ |x - 1| < \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{4}|x - 1| \leq |f(x) - f(1)| \leq \frac{1}{2}|x - 1| \]
✅ Corrigé

Exercice 3 : \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} > 1 \iff \frac{x+y}{xy} > 1 \iff x+y > xy \iff xy - x - y < 0 \iff (x-1)(y-1) < 1 \). Comme \(0 \leq x < 2\) et \(0 \leq y < 2\), on a \((x-1)(y-1) < 1\).

Exercice 4 : \( \frac{1}{1+\sqrt{x}} = 1 - \sqrt{x} \Rightarrow 1 = (1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x}) = 1 - x \Rightarrow x = 0 \).

Exercice 5 : 1) \(a^2+b^2=0 \Rightarrow a^2=0\) et \(b^2=0 \Rightarrow a=b=0\).
2) \(x+y+2 = 2\sqrt{x}+2\sqrt{y} \iff (\sqrt{x}-1)^2+(\sqrt{y}-1)^2=0 \Rightarrow \sqrt{x}=1\) et \(\sqrt{y}=1 \Rightarrow x=y=1\).

Exercice 6 : \( (|a|+|b|)^2 = a^2+b^2+2|ab| \leq 1 + (a^2+b^2) = 2 \Rightarrow |a|+|b| \leq \sqrt{2} \). Or \(|a+b| \leq |a|+|b|\).

Exercice 7 : \(a = \frac{p}{q}\), \(b = \frac{r}{s}\) avec \(p,r \in \mathbb{Z}\), \(q,s \in \mathbb{Z}^*\). Alors \(a+b = \frac{ps+rq}{qs} \in \mathbb{Q}\).

Exercice 8 : \(f(1)=1\). \(f(x)-f(1) = \frac{x+2}{2x+1} - 1 = \frac{1-x}{2x+1}\). Donc \( |f(x)-f(1)| = \frac{|x-1|}{|2x+1|} \). Pour \(|x-1| < \frac12\), on a \( \frac12 < x < \frac32 \), donc \(2 < 2x+1 < 4\), d'où \( \frac14 \leq \frac{1}{|2x+1|} \leq \frac12 \).

📌 Exercice 9 à 14 – Divers raisonnements

Exercice 9 : Montrer que \( n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{n+1}{n+2} \notin \mathbb{N} \).
Exercice 10 : Montrer que \( \forall x \in [-2; 2] : 2\sqrt{2} > \sqrt{4 - x^2} \).
Exercice 11 : Montrer que \( \forall x \in \mathbb{R} ;\, |x-1| \leq x^2 - x + 1 \).
Exercice 12 : Résoudre dans \( \mathbb{R} \) : \( (E) : \frac{1}{4} - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{\sqrt{1+x}} \).
Exercice 13 : Résoudre dans \( \mathbb{R} \) : \( (I) : |x-1| + 2x - 3 \geq 0 \).
Exercice 14 : Montrer que \( \forall x \in \mathbb{R} ;\, \sqrt{x^2+1} + x > 0 \).
✅ Corrigé

Exercice 9 : Par l'absurde : supposons \( \frac{n+1}{n+2} = k \in \mathbb{N} \). Alors \(n+1 = k(n+2) \Rightarrow n+1 = kn+2k \Rightarrow n(1-k) = 2k-1\). Pour \(k=1\), \(0=1\) impossible. Pour \(k \geq 2\), \(1-k < 0\) donc \(n < 0\), contradiction.

Exercice 10 : Pour \(x \in [-2;2]\), \(4-x^2 \leq 4\), donc \(\sqrt{4-x^2} \leq 2 < 2\sqrt{2}\) car \(\sqrt{2} > 1\).

Exercice 11 : \(x^2-x+1 - |x-1| = \begin{cases} x^2-2x+2 = (x-1)^2+1 > 0 & \text{si } x \geq 1 \\ x^2 = x^2 \geq 0 & \text{si } x < 1 \end{cases}\). Donc toujours vrai.

Exercice 12 : \(D = ]-1; +\infty[\). On pose \(t = \sqrt{1+x} \geq 0\), \(x = t^2-1\). L'équation devient \(\frac14 - \frac{t^2-1}{t^2} = \frac{1}{t} \Rightarrow \frac14 - 1 + \frac{1}{t^2} = \frac{1}{t} \Rightarrow \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t} - \frac34 = 0\). On résout et on trouve \(t=2\) (solution), donc \(x=3\).

Exercice 13 : Cas \(x \geq 1\) : \(x-1+2x-3 \geq 0 \Rightarrow 3x-4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac43\). Donc \(x \geq \frac43\).
Cas \(x < 1\) : \(-x+1+2x-3 \geq 0 \Rightarrow x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\), impossible car \(x < 1\).
Donc \(S = [\frac43; +\infty[\).

Exercice 14 : \(\sqrt{x^2+1} > |x| \geq -x\), donc \(\sqrt{x^2+1} + x > 0\).

📌 Exercice 15 à 22 – Raisonnements avancés

Exercice 15 : Résoudre \( (I) : x^2 - |x-2| + 5 = 0 \).
Exercice 16 : Montrer que \( n(n+1)(n+2) \) est un multiple de 3 pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
Exercice 17 : \( x \in \mathbb{R} \) et \( y \in \mathbb{R} \). Montrer que \( x \neq 2 \text{ et } y \neq 2 \Rightarrow 2x+2y-xy-2 \neq 2 \).
Exercice 18 : \( x \in \mathbb{R} \) et \( x \neq -5 \). Montrer que \( x \neq -8 \Rightarrow \frac{x+2}{x+5} \neq 2 \).
Exercice 19 : Soit \( n \in \mathbb{N} \). Montrer que si \( n^2 \) est pair alors \( n \) est pair.
Exercice 20 : \( x \in \mathbb{R} ; y \in \mathbb{R} \). Montrer que \( x \neq y \Rightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1) \).
Exercice 21 : Soit \( n \in \mathbb{N} \) et \( p \in \mathbb{N} \). Montrer que \( n \times p \) est pair ou \( n^2 - p^2 \) est un multiple de 8.
Exercice 22 : Soient \( a > 0 \) et \( b > 0 \). Montrer que si \( \frac{a}{1+b} = \frac{b}{1+a} \) alors \( a = b \).
✅ Corrigé

Exercice 15 : Cas \(x \geq 2\) : \(x^2 - x + 2 + 5 = 0 \Rightarrow x^2 - x + 7 = 0\), discriminant négatif, pas de solution.
Cas \(x < 2\) : \(x^2 + x - 2 + 5 = 0 \Rightarrow x^2 + x + 3 = 0\), discriminant négatif. Donc \(S = \emptyset\).

Exercice 16 : Parmi trois entiers consécutifs \(n, n+1, n+2\), l'un est divisible par 3.

Exercice 17 : \(2x+2y-xy-2 = 2 \iff 2x+2y-xy-4=0 \iff (x-2)(y-2)=0 \iff x=2 \text{ ou } y=2\). Donc par contraposée.

Exercice 18 : \( \frac{x+2}{x+5} = 2 \iff x+2 = 2x+10 \iff x = -8 \). Donc par contraposée.

Exercice 19 : Par contraposée : si \(n\) est impair, \(n=2k+1\), alors \(n^2 = 4k^2+4k+1\) impair.

Exercice 20 : \((x+1)(y-1) = (x-1)(y+1) \iff xy - x + y - 1 = xy + x - y - 1 \iff -x + y = x - y \iff 2y = 2x \iff x = y\).

Exercice 21 : Si \(n\) et \(p\) sont impairs, \(n=2k+1\), \(p=2l+1\), alors \(n^2-p^2 = (n-p)(n+p)\) est multiple de 8. Sinon, \(np\) est pair.

Exercice 22 : \( \frac{a}{1+b} = \frac{b}{1+a} \iff a(1+a) = b(1+b) \iff a + a^2 = b + b^2 \iff (a-b)(a+b+1) = 0 \). Comme \(a+b+1 > 0\), on a \(a=b\).

📌 Exercice 23 à 39 – Synthèse

Exercice 23 : \( f(x) = x^2 + 2x \). Montrer qu'il n'existe pas de \( M > 0 \) tel que \( \forall x \in \mathbb{R} ,\; f(x) \leq M \).
Exercice 24 : Montrer que \( \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \).
Exercice 25 : \( a, b \in \mathbb{Q} \). 1) Montrer \( a+b\sqrt{2}=0 \Rightarrow a=b=0 \). 2) En déduire l'unicité de l'écriture \( a+b\sqrt{2} \).
Exercice 26 : \( A = \{1;2;\dots;n\} \) avec \( n \) impair. \( x_1,\dots,x_n \) distincts dans \( A \). Montrer que \( \exists i / x_i - i \) est pair.
Exercice 27 : Montrer que \( P : (\forall x \in [0,1]) : x^2 \geq x \) est fausse.
Exercice 28 : Montrer que \( P : (\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 + y^2 \geq x + y \) est fausse.
Exercice 29 : Montrer que \( P : (\forall a,b) \in \mathbb{R}^2 : \sqrt{a^2+b^2} = a+b \) est fausse.
Exercice 30 : « Tout entier positif est somme de trois carrés » est fausse (contre-exemple : 7).
Exercice 31 : \( P : (\forall x \in \mathbb{R}^*) : x + \frac{1}{x} \geq 2 \) est fausse (contre-exemple : \(x=-1\)).
Exercice 32 : \( f(x) = 2x^2 - x + 3 \) n'est ni paire ni impaire.
Exercice 33 : \( P : (\forall a,b,c,d) : \begin{cases} a \neq b \\ c \neq d \end{cases} \implies a+c \neq b+d \) est fausse.
Exercice 34 : \( P : (\forall x \in \mathbb{R}) : \exists y \in \mathbb{R} : x^2 - xy + y^2 = 0 \) est fausse.
Exercice 35 : \( \forall x > 0,\; x + \frac{1}{x} \geq 2 \). (Inégalité arithmético-géométrique)
Exercice 36 : \( |x-1| \leq \frac12 \Rightarrow \frac25 \leq \frac{1}{x+1} \leq \frac23 \).
Exercice 37 : Résoudre \( \sqrt{x^2+1} = 2x \).
Exercice 38 : \( x,y \in \mathbb{R} \). Montrer que \( \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} = 2 \Rightarrow x = y = 0 \).
Exercice 39 : Montrer que \( \sqrt{x^2+y^2} = 0 \Rightarrow x = y = 0 \).
✅ Corrigé

Exercice 23 : \( f(x) = (x+1)^2 - 1 \). Pour \(x\) grand, \(f(x)\) tend vers \(+\infty\), donc non majorée.

Exercice 24 : Par l'absurde : supposons \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) irréductible. Alors \(2q^2 = p^2\), donc \(p\) pair, \(p=2k\), alors \(q^2 = 2k^2\), \(q\) pair, contradiction.

Exercice 25 : 1) Si \(b \neq 0\), alors \(\sqrt{2} = -\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\), contradiction. Donc \(b=0\), puis \(a=0\).
2) \(a+b\sqrt{2} = a'+b'\sqrt{2} \Rightarrow (a-a') + (b-b')\sqrt{2} = 0 \Rightarrow a=a'\) et \(b=b'\).

Exercice 26 : Par l'absurde : si tous les \(x_i - i\) sont impairs, alors \(x_i\) et \(i\) sont de parités opposées. Il y a \(\frac{n+1}{2}\) impairs dans \(A\) mais seulement \(\frac{n-1}{2}\) pairs, contradiction.

Exercice 27 : Contre-exemple : \(x = \frac12\), \(x^2 = \frac14 < \frac12 = x\).

Exercice 28 : Contre-exemple : \(x = y = \frac12\), \(x^2+y^2 = \frac12 < 1 = x+y\).

Exercice 29 : Contre-exemple : \(a=1, b=1\), \(\sqrt{2} \neq 2\).

Exercice 30 : 7 n'est pas somme de trois carrés (vérification : 0,1,4).

Exercice 31 : Contre-exemple : \(x=-1\), \(-1-1 = -2 < 2\).

Exercice 32 : \(f(-x) = 2x^2 + x + 3\), \(f(x) = 2x^2 - x + 3\). Ni \(f(-x)=f(x)\) ni \(f(-x)=-f(x)\) pour tout \(x\).

Exercice 33 : Contre-exemple : \(a=1, b=2, c=2, d=1\) (ou \(a=1,b=2,c=3,d=4\) donne \(1+3=4=2+2\)).

Exercice 34 : Contre-exemple : \(x=1\), alors \(1 - y + y^2 = 0\) a pour discriminant \(\Delta = 1-4 = -3 < 0\), pas de solution réelle.

Exercice 35 : \(x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{(x-1)^2}{x} \geq 0\) pour \(x>0\).

Exercice 36 : \(|x-1| \leq \frac12 \Rightarrow \frac12 \leq x \leq \frac32\), donc \(\frac32 \leq x+1 \leq \frac52 \Rightarrow \frac25 \leq \frac{1}{x+1} \leq \frac23\).

Exercice 37 : \(2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\). On élève au carré : \(x^2+1 = 4x^2 \Rightarrow 3x^2=1 \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{3}}\) (la solution positive).

Exercice 38 : \(\sqrt{x^2+1} \geq 1\) et \(\sqrt{y^2+1} \geq 1\), donc si la somme vaut 2, on a \(\sqrt{x^2+1}=1\) et \(\sqrt{y^2+1}=1\), donc \(x=y=0\).

Exercice 39 : \(\sqrt{x^2+y^2}=0 \Rightarrow x^2+y^2=0 \Rightarrow x=y=0\).

📌 Exercice 40 à 50 – Récurrence et synthèse

Exercice 40 : Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N} : 3^n \geq 1 + 2n \).
Exercice 41 : \( 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2} \).
Exercice 42 : \( \forall n \geq 5 : 2^n \geq 6n \).
Exercice 43 : \( n^3 + 2n \) divisible par 3.
Exercice 44 : \( \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \).
Exercice 45 : \( \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \).
Exercice 46 : \( \sum_{k=1}^n (2k+1) = (n+1)^2 \).
Exercice 47 : \( 4^n + 6n - 1 \) divisible par 9.
Exercice 48 : \( 7^n - 1 \) divisible par 6.
Exercice 49 : \( P(n) : 10^n - 1 \) divisible par 9. 1) Hérédité. 2) \( Q(n) : 10n+1 \) divisible par 9 est faux pour tout \(n\). 3) L'élève a tort car l'initialisation de \(Q\) est fausse.
Exercice 50 : \( P(n) : 7^n - 1 \) divisible par 3. 1) Hérédité. 2) On peut conclure par récurrence car \(P(0)\) est vraie (\(0\) divisible par 3).
✅ Corrigé

Exercice 40 : Initialisation \(n=0\) : \(1 \geq 1\). Hérédité : \(3^{n+1} = 3 \times 3^n \geq 3(1+2n) = 3+6n \geq 1+2(n+1)\) car \(3+6n - (1+2n+2) = 4n \geq 0\).

Exercice 41 : Récurrence classique.

Exercice 42 : Initialisation \(n=5\) : \(32 \geq 30\). Hérédité : \(2^{n+1} = 2 \times 2^n \geq 2 \times 6n = 12n \geq 6(n+1)\) pour \(n \geq 1\).

Exercice 43 : \(n^3+2n = n(n^2+2)\). Modulo 3, si \(n \equiv 0 \pmod 3\), OK ; si \(n \equiv 1\), \(n^2+2 \equiv 1+2 \equiv 0\) ; si \(n \equiv 2\), \(4+2 \equiv 6 \equiv 0\).

Exercices 44, 45, 46 : Sommes classiques par récurrence.

Exercice 47 : Récurrence : \(4^{n+1}+6(n+1)-1 = 4(4^n+6n-1) - 18n + 9\). Si \(4^n+6n-1\) est multiple de 9, alors le premier terme l'est, et \(-18n+9\) l'est aussi.

Exercice 48 : Récurrence : \(7^{n+1}-1 = 7(7^n-1)+6\).

Exercice 49 : 1) \(10^{n+1}-1 = 10(10^n-1)+9\). 2) \(Q(n)\) est fausse : \(10n+1\) n'est pas multiple de 9 pour tout \(n\). 3) L'élève a tort car \(Q(0)=1\) n'est pas divisible par 9.

Exercice 50 : 1) \(7^{n+1}-1 = 7(7^n-1)+6\), si \(7^n-1\) est multiple de 3, alors le premier terme l'est et 6 aussi. 2) Initialisation \(n=0\) : \(0\) divisible par 3, donc vraie pour tout \(n\).

📌 Exercice 51 à 54 – Compléments

Exercice 51 : \( a,b \in \mathbb{R} \) tels que \( -1 < \frac{a+b}{1+ab} < 1 \).
Exercice 52 : Traduire en langage courant et déterminer la négation et la valeur de vérité :
  • 1) \( P : (\forall x \in \mathbb{R}) : (\exists y \in \mathbb{R}) : x > y \)
  • 2) \( P : (\exists x \in \mathbb{R}) : (\forall y \in \mathbb{R}) : x > y \)
  • 3) \( P : (\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 \geq 4 \Rightarrow x \geq 2 \)
  • 4) \( P : (\exists x \in \mathbb{R}) : x^2 = 4 \)
  • 5) \( P : (\forall x \in \mathbb{R}) : (\exists y \in \mathbb{R}) : x \neq y \)
Exercice 53 : À l'aide des tables de vérité, montrer que \( P \text{ ou } \overline{P} \) est une tautologie.
Exercice 54 :

1) (Direct) \( a,b \in \mathbb{R}^+ \), \( a \leq b \Rightarrow a \leq \frac{a+b}{2} \leq b \) et \( 0 \leq \sqrt{ab} \leq b \).

2) (Cas par cas) \( n(n+1) \) divisible par 2.

3) (Absurde) \( \sqrt{n^2+1} \notin \mathbb{N} \).

4) (Contre-exemple) \( x < 2 \Rightarrow x^2 < 4 \) ?

5) (Récurrence) \( (1+a)^n \geq 1 + n \times a \) pour \( a \in \mathbb{R}^+ \).

✅ Corrigé

Exercice 51 : \( -1 < \frac{a+b}{1+ab} < 1 \iff \frac{a+b}{1+ab} < 1 \) et \( \frac{a+b}{1+ab} > -1 \).
\(\frac{a+b - (1+ab)}{1+ab} < 0 \iff \frac{(a-1)(1-b)}{1+ab} < 0 \) et \( \frac{a+b + 1 + ab}{1+ab} > 0 \iff \frac{(a+1)(b+1)}{1+ab} > 0 \).

Exercice 52 : 1) Pour tout réel \(x\), il existe un réel \(y\) plus petit. Vraie. Négation : \(\exists x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R} : x \leq y\).
2) Il existe un réel plus grand que tous les autres. Fausse. Négation : \(\forall x \in \mathbb{R} : \exists y \in \mathbb{R} : x \leq y\).
3) \(x^2 \geq 4 \Rightarrow x \geq 2\). Fausse (contre-exemple : \(x=-3\)). Négation : \(\exists x \in \mathbb{R} : x^2 \geq 4 \text{ et } x < 2\).
4) Il existe un réel dont le carré vaut 4. Vraie. Négation : \(\forall x \in \mathbb{R} : x^2 \neq 4\).
5) Pour tout réel, il existe un réel différent. Vraie. Négation : \(\exists x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R} : x = y\).

Exercice 53 : \(P\) Vrai → \(P\) ou \(\overline{P}\) Vrai ; \(P\) Faux → \( \overline{P}\) Vrai → \(P\) ou \(\overline{P}\) Vrai. C'est une tautologie.

Exercice 54 : 1) \(a \leq \frac{a+b}{2} \leq b\) car \(\frac{a+b}{2} - a = \frac{b-a}{2} \geq 0\) et \(b - \frac{a+b}{2} = \frac{b-a}{2} \geq 0\). \( \sqrt{ab} \leq b \) car \(ab \leq b^2\).
2) Si \(n\) pair, \(n(n+1)\) pair ; si \(n\) impair, \(n+1\) pair.
3) Par l'absurde : si \(\sqrt{n^2+1} = k \in \mathbb{N}\), alors \(k^2 - n^2 = 1 \Rightarrow (k-n)(k+n)=1\), impossible pour \(n \geq 1\).
4) Non, contre-exemple : \(x=-3\), \(x<2\) mais \(x^2=9 \not< 4\).
5) Récurrence : initialisation \(n=0\) : \(1 \geq 1\). Hérédité : \((1+a)^{n+1} = (1+a)(1+a)^n \geq (1+a)(1+na) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a\).