serie 4:

1) \( \overline{P} : (\forall m \in \mathbb{R})(\exists x \in \mathbb{R}^+)\; \frac{1+\sqrt{x}}{2} > m \)

2) \( \overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R}^+)(\exists y \in \mathbb{R}^+)\; x+y \leq xy \)

3) \( \overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R})\; \frac{x}{1+x^2} > \frac12 \)

4) \( \overline{P} : (\exists x \in \mathbb{Q})(\forall y \in \mathbb{Q})\; xy \notin \mathbb{Q} \)

5) \( \overline{P} : (\exists a \in \mathbb{R})(\forall b \in \mathbb{R})\; a^2+b^2 \neq 1 \)

1) \( x \geq 2 \Rightarrow x^2 \geq 4 \) (ou \( \sqrt{x} \geq \sqrt{2} \))

2) \( x \geq 16 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 4 \) (ou \( x^2 \geq 256 \))

3) \( x \geq \frac{1}{x} \Rightarrow x^2 \geq 1 \Rightarrow x \geq 1 \) (car \(x>0\))

4) \( x^2 \geq x \iff x(x-1) \geq 0 \iff x \in ]-\infty;0] \cup [1;+\infty[ \)

1) Contraposée : \( \sqrt{1-\frac{4}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{4}{b^2}} \Rightarrow 1-\frac{4}{a^2} = 1-\frac{4}{b^2} \Rightarrow \frac{1}{a^2} = \frac{1}{b^2} \Rightarrow a=b \) (car \(a,b>0\)).

2) Contraposée : \( \frac{a-b}{a+b} = 3 \iff a-b = 3a+3b \iff -2a = 4b \iff a = -2b \iff a = -\frac12 b \times 4\) ? En fait \(a = -2b\), donc \(a = -\frac12 b \times 4\) ? Non, \(a = -2b\) signifie \(a = 4 \times (-\frac12 b)\). Donc la contraposée est \( \frac{a-b}{a+b} = 3 \Rightarrow a = -2b \).

3) Contraposée : \( \frac{x}{x^2+x+1} = \frac{y}{y^2+y+1} \iff x(y^2+y+1) = y(x^2+x+1) \iff xy^2+xy+x = x^2y+xy+y \iff xy(y-x) + (x-y) = 0 \iff (x-y)(1-xy) = 0 \iff x=y \text{ ou } xy=1 \).

4) a) \( \overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\; x^2+y-xy \neq 0 \).
b) Pour \(x=1\), \(1+y-y = 1 \neq 0\) pour tout \(y\). Donc \( \overline{P}\) est vraie, donc \(P\) est fausse.

1) \(D = ]-\infty;2] \cup [3;+\infty[\). Si \(x+4 < 0\), l'inéquation est vraie : \(x < -4\). Si \(x \geq -4\), on élève au carré : \(x^2-5x+6 > x^2+8x+16 \iff -13x > 10 \iff x < -\frac{10}{13}\). Donc \(S = ]-\infty; -\frac{10}{13}[ \cap [-4;+\infty[ = [-4; -\frac{10}{13}[ \). Donc \(S = ]-\infty; -\frac{10}{13}[\).

2) \(D = [1;11]\). L'inéquation équivaut à \(\sqrt{x-1} \geq 2 + \sqrt{11-x}\). On élève au carré : \(x-1 \geq 4 + 4\sqrt{11-x} + 11-x \iff 2x-16 \geq 4\sqrt{11-x} \iff x-8 \geq 2\sqrt{11-x}\). Si \(x \leq 8\), impossible. Si \(x \geq 8\), on élève au carré : \(x^2-16x+64 \geq 4(11-x) \iff x^2-12x+20 \geq 0 \iff (x-2)(x-10) \geq 0 \iff x \leq 2 \text{ ou } x \geq 10\). Donc \(x \in [10;11]\).

3) a) \( \overline{P} : (\exists a \in \mathbb{R})(\exists b \in \mathbb{R})\; [a \neq b \text{ et } a^2 = b^2] \).
b) \(P\) est fausse car \(a=1, b=-1\) donne \(a \neq b\) et \(a^2=b^2\).

4) a) \(2 \leq \frac{3}{x+1} < 3 \iff \frac{3}{2} \leq x+1 < 1 \iff \frac12 \leq x < 0\), impossible. \(S = \emptyset\).
b) \( \frac{x}{2} = E(\frac{x^2-2x}{3}) \Rightarrow \frac{x}{2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 2k \). Alors \(E(\frac{4k^2-4k}{3}) = k \iff k \leq \frac{4k^2-4k}{3} < k+1 \iff 3k \leq 4k^2-4k < 3k+3 \iff 0 \leq 4k^2-7k < 3\). On résout.
c) \(E(2x-1) = \frac{2}{3}\) impossible car \(E\) est entier. \(S = \emptyset\).

1) Initialisation \(n=0\) : \(1-1=0\). Hérédité : \(16^{n+1}+12(n+1)-1 = 16(16^n+12n-1) - 180n + 15\).

2) Initialisation \(n=0\) : \(1+5+2=8\). Hérédité : \(1+5^{n+2}+2 \times 3^{n+1} = (1+5^{n+1}+2 \times 3^n) + 4 \times 5^{n+1} + 4 \times 3^n\).

3) Somme géométrique classique.

4) Énoncé étrange, vérifier la formule.

5) \(\sum_{k=1}^n k(n+k) = n \sum k + \sum k^2 = n \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(3n+2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(5n+1)}{6}\).

6) Initialisation \(n=1\) : \(1 \leq 2\). Hérédité : \(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2\sqrt{n+1} \iff \frac{1}{\sqrt{n+1}} \leq 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\), vrai.

7) Initialisation \(n=2\) : \(2 \times 3^2 = 18\), et \(\frac{18}{5}(6-1) = 18\). Hérédité : \(\frac{18}{5}(6^{n-1}-1) + 2^n \times 3^{n+1} = \frac{18}{5}(6^{n-1}-1) + 6 \times 6^{n-1} \times 3\) ? En fait \(2^n \times 3^{n+1} = 2 \times 3 \times 2^{n-1} \times 3^n = 6 \times 6^{n-1} \times 3\) ? Non, \(2^n \times 3^{n+1} = 6 \times 6^{n-1} \times 3\) ? \(2^n \times 3^{n+1} = 2 \times 2^{n-1} \times 3 \times 3^n = 6 \times 6^{n-1} \times 3\) ? Plus simplement, \(2^n \times 3^{n+1} = 6 \times 6^{n-1} \times 3\) non.

1) \(x^2+y^2+xy-x-y-1 = (x-1)(x+1) + (y-1)(y+1) + xy - 1\) ? Posons \(X=x-1 \geq 0\), \(Y=y-1 \geq 0\). Alors \(x=X+1\), \(y=Y+1\). L'équation devient : \((X+1)^2+(Y+1)^2+(X+1)(Y+1)-(X+1)-(Y+1)-1 = X^2+Y^2+XY+X+Y = 0\). Donc \(X=Y=0 \Rightarrow x=y=1\).

2) Contraposée : \((x-1)\sqrt{x+1} = (y-1)\sqrt{y+1} \Rightarrow x=y\). La fonction \(f(t)=(t-1)\sqrt{t+1}\) est strictement croissante sur \([1;+\infty[\).

1) a) \(h(1)=2 \times 3 + 5 = 11\), \(h(2)=2 \times 11 + 5 = 27\).
b) Initialisation \(h(0)=3>0\). Hérédité : si \(h(n)>0\), alors \(h(n+1)=2h(n)+5>0\). De plus \(h(n+1)-h(n)=h(n)+5>0\).

2) Initialisation \(n=0\) : \(2^{3}-5=8-5=3\). Hérédité : \(h(n+1)=2(2^{n+3}-5)+5 = 2^{n+4}-10+5 = 2^{n+4}-5\).

1) On utilise l'inégalité \(\sqrt{t} \leq \frac{t+1}{2}\) pour \(t \geq 0\). Alors \(\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}\), \(\sqrt{y-1} \leq \frac{y}{2}\), \(\sqrt{z-2} \leq \frac{z-1}{2}\). La somme donne \(\frac{x+y+z}{2} \leq \frac{x+y+z}{2}\) avec égalité seulement si \(x=1\), \(y-1=1 \Rightarrow y=2\), \(z-2=1 \Rightarrow z=3\).

2) \(\frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} = \frac{a^2}{b} + \frac{1}{b} + \frac{b^2}{a} + \frac{1}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b} \times \frac{b^2}{a}} + 2\sqrt{\frac{1}{ab}} = 2\sqrt{ab} + \frac{2}{\sqrt{ab}} \geq 4\).

3) \(|a|+|b| = \max(|a+b|, |a-b|) \leq c\). \(|ab| = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4} \leq \frac{c^2}{4}\).

4) \(S_3 = (-1)^0(3)^2 + (-1)^1(2)^2 + (-1)^2(1)^2 = 9 - 4 + 1 = 6 = \frac{3 \times 4}{2}\). Récurrence : \(S_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k (n+1-k)^2 = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k (n-k)^2 + 2\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k (n-k) + \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k + (n+1)^2\).

1) \(\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n \left(1+\frac{1}{n}\right) < 1 \iff \left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n \frac{n+1}{n} < 1 \iff \left(\frac{n-1}{n}\right)^n \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \frac{n+1}{n} < 1 \iff \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1} < \left(\frac{n}{n-1}\right)^n\).

2) \(\frac{1}{n^2} > \frac{1}{n^2-1}\), donc \(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n < \left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n\).

3) a) Inégalité de Bernoulli stricte pour \(x>0\).
b) En prenant \(x = \frac{1}{n^2-1}\), on a \(\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^n > 1 + \frac{n}{n^2-1} > 1 + \frac{1}{n}\) car \(\frac{n}{n^2-1} > \frac{1}{n} \iff n^2 > n^2-1\).

1) \(x(y+z)+y(z+x)+z(x+y) = 2(xy+yz+zx) = 18 \Rightarrow xy+yz+zx=9\). Si \(x=y=z\), alors \(3x^2=9 \Rightarrow x^2=3\), impossible pour \(x \in \mathbb{Q}\). Donc les trois ne sont pas égaux.

2) a) La fonction \(f(t)=\sqrt{t+1}-\sqrt{t}\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}^+\). Donc \(f(x)=f(y) \Rightarrow x=y\).
b) \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \sqrt{6}-\sqrt{5}\). Donc \(x=5\) par unicité.